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摘要：本文从高等数学的习题课设计阐述如何从教师的方面来提高学生学习高等数学的兴趣和效果
关键词：习题课；曲线积分；设计
高等数学是普通高校尤其是工科院校最重要的一门基础课程，对于一般的大学一年级学生，学习高等数学都会或多或少遇到一些困难。造成这种局面的因素是多方面的，但其中最主要的原因是，进入大学后需要在短时间内获取大量的知识和信息，这对于刚从中学升入大学的学子们来说是很难适应的。为了帮助学生尽早习惯这种高强度、高要求的大学学习方式，作为大学教师有义不容辞的责任。
本文根据笔者多年的高等数学教学经验，站在教师的角度探讨如何通过高等数学习题课的设计来让学生从纷繁复杂的微积分定理、推导和知识点中尽快掌握高等数学的基础知识。
高等数学的研究对象是函数，研究工具是函数极限。一元函数微积分是通过一元函数的极限来研究一元函数的动态特性；类似的，多元函数微积分是通过多元函数的极限来研究多元函数的动态特性。这是整个这门课的主线。抓住了这条主线，就抓住了高等数学的魂。高等数学的每一个章节都是围绕这条主线展开，而每一章节又有各自的一条脉络串联起来。教师在讲授完一个章节后，非常有必要讲一次习题课。习题课上，教师要为学生梳理出这个章节的主要脉络，便于学生“回头看”，这对于学生掌握和巩固已学知识非常关键。于是，教师的习题课设计就显得至关重要了。那怎样去设计一个章节的习题课呢？
笔者认为，突出章节的脉络是一堂优质习题课设计的关键。下面我从高等数学中《曲线积分》这个章节的习题课设计为例说一说本人的做法。
《曲线积分》这个章节的主线或者脉络又或者说重点难点是曲线积分的计算。曲线积分有两类即对弧长的曲线积分（也称为第一类曲线积分）： 和对坐标的曲线积分（也称为第二类曲线积分）： ，两类曲线积分可以相互转换。它们最基本的计算方法是利用积分曲线 的参数方程：
将 转化成定积分：
来计算。当然，这当中有条件和注意事项，比如积分曲线有方向，所以，积分下限 和上限 分别对应 的起点和终点参数。后来又学习了格林公式（Green）以及积分与路径无关的四大等价命题。这些又为我们提供了一系列计算曲线积分的方法。学生学完后一般会感到方法众多，纷乱复杂，导致思绪混乱。最后拿到一个题，反而不知从何入手。此时，教师设计的习题课就是梳理学生的思路。为此，笔者如下设计：
对于： ，我们首先考察： 是否等于 ， 结果两个：（1）是和（2）否； 再考察： 是否闭合； 结果两个：①是和②否。当（1）、①同时成立时，原积分等于0；当（1）、②同时成立时，有三条路可走：要么用积分与路径无关，选取一条特殊路径进行计算，要么采取将 添加辅助曲线 ，使得 闭合，此时 ，要么使用基本方法，利用 的参数方程进行计算；当（2）、①同时成立时，利用Green公式： 将原曲线积分转化成二重积分来计算；当（2）、②同时成立时，有两条路可走：要么采取将 添加辅助曲线 ，使得 闭合，然后利用Green公式，将原曲线积分转化成二重积分来计算，之后再用计算结果减去 上的积分；要么使用基本方法，利用 的参数方程进行计算。上述设计可以用下面图示表达：
通过以上设计，就把《曲线积分》这个章节的主线完全展现在学生面前，对于他们系统地掌握和巩固该章节知识能起到很大帮助。
如果我们教师每堂习题课都能精心设计，抓住章节主线，展现给学生，我想，本文可以起到抛砖引玉的效果。这对于增强学生学习高等数学的兴趣和提高他们的学习成绩能起到积極的作用。
关键词：习题课；曲线积分；设计
高等数学是普通高校尤其是工科院校最重要的一门基础课程，对于一般的大学一年级学生，学习高等数学都会或多或少遇到一些困难。造成这种局面的因素是多方面的，但其中最主要的原因是，进入大学后需要在短时间内获取大量的知识和信息，这对于刚从中学升入大学的学子们来说是很难适应的。为了帮助学生尽早习惯这种高强度、高要求的大学学习方式，作为大学教师有义不容辞的责任。
本文根据笔者多年的高等数学教学经验，站在教师的角度探讨如何通过高等数学习题课的设计来让学生从纷繁复杂的微积分定理、推导和知识点中尽快掌握高等数学的基础知识。
高等数学的研究对象是函数，研究工具是函数极限。一元函数微积分是通过一元函数的极限来研究一元函数的动态特性；类似的，多元函数微积分是通过多元函数的极限来研究多元函数的动态特性。这是整个这门课的主线。抓住了这条主线，就抓住了高等数学的魂。高等数学的每一个章节都是围绕这条主线展开，而每一章节又有各自的一条脉络串联起来。教师在讲授完一个章节后，非常有必要讲一次习题课。习题课上，教师要为学生梳理出这个章节的主要脉络，便于学生“回头看”，这对于学生掌握和巩固已学知识非常关键。于是，教师的习题课设计就显得至关重要了。那怎样去设计一个章节的习题课呢？
笔者认为，突出章节的脉络是一堂优质习题课设计的关键。下面我从高等数学中《曲线积分》这个章节的习题课设计为例说一说本人的做法。
《曲线积分》这个章节的主线或者脉络又或者说重点难点是曲线积分的计算。曲线积分有两类即对弧长的曲线积分（也称为第一类曲线积分）： 和对坐标的曲线积分（也称为第二类曲线积分）： ，两类曲线积分可以相互转换。它们最基本的计算方法是利用积分曲线 的参数方程：
将 转化成定积分：
来计算。当然，这当中有条件和注意事项，比如积分曲线有方向，所以，积分下限 和上限 分别对应 的起点和终点参数。后来又学习了格林公式（Green）以及积分与路径无关的四大等价命题。这些又为我们提供了一系列计算曲线积分的方法。学生学完后一般会感到方法众多，纷乱复杂，导致思绪混乱。最后拿到一个题，反而不知从何入手。此时，教师设计的习题课就是梳理学生的思路。为此，笔者如下设计：
对于： ，我们首先考察： 是否等于 ， 结果两个：（1）是和（2）否； 再考察： 是否闭合； 结果两个：①是和②否。当（1）、①同时成立时，原积分等于0；当（1）、②同时成立时，有三条路可走：要么用积分与路径无关，选取一条特殊路径进行计算，要么采取将 添加辅助曲线 ，使得 闭合，此时 ，要么使用基本方法，利用 的参数方程进行计算；当（2）、①同时成立时，利用Green公式： 将原曲线积分转化成二重积分来计算；当（2）、②同时成立时，有两条路可走：要么采取将 添加辅助曲线 ，使得 闭合，然后利用Green公式，将原曲线积分转化成二重积分来计算，之后再用计算结果减去 上的积分；要么使用基本方法，利用 的参数方程进行计算。上述设计可以用下面图示表达：
通过以上设计，就把《曲线积分》这个章节的主线完全展现在学生面前，对于他们系统地掌握和巩固该章节知识能起到很大帮助。
如果我们教师每堂习题课都能精心设计，抓住章节主线，展现给学生，我想，本文可以起到抛砖引玉的效果。这对于增强学生学习高等数学的兴趣和提高他们的学习成绩能起到积極的作用。