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摘 要：本文在经典风险模型的基础上建立了理赔次数服从Cox过程的带干扰多险种风险模型，运用鞅方法得到了破产概率，并对Lundberg不等式作了推广。
关键词：风险过程；Cox过程；破产概率；鞅；Lundberg不等式。
1、引言
经典风险模型的一个局限性就是模型只考虑经营一种险种时的情形。由于保险公司经营规模的日益扩大，险种的多元化及新险种的不断开发，单险种风险模型已经不能适应时代的要求。因此，采用多险种风险模型来描述实际情况，对于保险公司的经营及监管部门的监管更具有实际意义。
文献[1] 得到了许多经典的结论，文献[2]建立了一类多险种的风险模型，文献[3]对风险模型的带干扰问题进行了讨论，基于以上的情况，本文用带干扰的多险种Cox风险模型来研究破产问题。
2、模型的建立
给定概率空间，以下讨论的随机过程和随机变量都是定义在此空间上。
定义1 随机过程{Λ(t)，t ≥0}以概率1满足：
(1)Λ(0) = 0；
(2)对任意的t<+∞,Λ(t) <+∞；
(3)其实现是时间t的单调不减的(连续)函数。
则称它是一个(扩散的)随机测度。
在以下的讨论中所遇到的随机测度都假设是扩散的，且当t→+∞时，Λ(t)→+∞，P-a.s.
定义2 假设{Λ(t),t ≥0}是随机测度，{，t≥0}是标准的泊松过程,且Λ(t)与 是相互独立的，则点过程N(t) =Λ(t) =称为是COX过程(或者称为重随机泊松过程)，其中Λ(t)又称为累积强度过程，若假设Λ(t) = ，显然以概率1有λ(t) ≥0，{λ(t)，t ≥0}称为强度过程。
下面定义带干扰的多险种Cox风险模型。
定义3 设u≥0，＞0，t≥0
R(t) = =u+(1+ )- + W(t)， （1）
= (1+)- + W(t),（2）
称R(t)为带干扰的多险种Cox风险模型，为盈利过程。其中，R(t)表示t时刻的盈余，u为初始资本；>0为相对安全负荷，为一固定常量；{ ，t≥0}表示保险公司第k类风险的理赔次数，是强度为的相互独立的Cox过程， ， ；
{；； }表示保险公司第k类风险的第j次理赔额，且独立同分布，其分布函数为 ，均值为 ，；>0为常数，表示扰动强度，W(t)为标准布朗运动，W(t)表示保险公司的不确定收益。
同经典的风险模型一样,定义=P{R(t)<0，对某个t ＞0)为破产概率，=inf{ t≥0｜R(t)<0}为破产时刻。
Cox风险模型中险种的多样化更符合实际情况，对实际更有指导价值。
3、推广的Lundberg不等式
引理1【4】 如果Λ(t)是一随机测度，且假设E[Λ(t)]<∞,=(Λ(t)；t<∞)，则N(t)是相对应的COX过程当且仅当满足下列条件：
(1)N(t)对有条件独立增量；
(2)N(t)-N(s)对服从均值为Λ(t)-Λ(s)的条件泊松分布，即对任意的0≤s＜t和非负的整数k有：
（3）
下面给出模型(1)中破产概率所满足的Lundberg上界。令， ，
定理1 令 ，则是Ft-鞅，
其中， =，
由标准布朗运动的知识可知，
所以 是Ft-鞅。
引理2【4】 令T为有界停时，即T ＜,且M是一个右连续的F-鞅(F-上鞅)，则有，
定理2 破产概率满足不等式（5）
证明 取＜，则∧是有界停时，再利用引理2得：
由于当时，u+Y( ) ，则有：
如同经典风险模型，我们通常选择最大的r作为Lundberg指数。于是我们给出如下Lundberg指数的定义。
定义4 令R=sup，则称R为带干扰多险种COX风险模型(1)的Lundberg指数。
在经典风险模型中，得到了一个完美的Lundberg不等式 。但在此模型中由于 的随机性，在实际中很难找到具体的R，所以我们试图找到R的一个近似值，对Lundberg不等式进行以下推广。
定理4 令，则
。
证明 与带干扰的经典风险模型的情形类似。容易验证是对应的单险种的Cox风险模型
4、结束语
当然，我们的推广也存在不足，好多方面的问题还没有考虑进去，比如利率（变利率）问题，分红问题，甚至是当调节系数不存在时的问题，这也是以后应当继续研究的方向。
参考文献：
[1] 蒋志明、王汉兴：一类多险种风险过程的破产概率[J].应
用数学与计算数学报，2000，14（1）：14-18.
[2] 周绍伟、王传会： 多险种的Cox风险模型[J].山东科技大学学报（自然科学版），2007，26（5）：69-71.
[3] 张茂、秦海鹰、何树红：双险种Cox风险模型的带干扰问题的讨论[J].云南大学学报（自然科学版），2007，29（S1）：33-36.
[4] Grandell J. Aspects of Risk Theory [M].New York: Springer-Verlag,1991.
[5] 邓珠子:带干扰多险种风险模型联合分布及再保险的研究[D].中南大学，2006.
[6] 洪圣光、赵秀青：再保险的COX风险模型[J].长春工程学院学报（自然科学版），2008，9（2）：86-88.
关键词：风险过程；Cox过程；破产概率；鞅；Lundberg不等式。
1、引言
经典风险模型的一个局限性就是模型只考虑经营一种险种时的情形。由于保险公司经营规模的日益扩大，险种的多元化及新险种的不断开发，单险种风险模型已经不能适应时代的要求。因此，采用多险种风险模型来描述实际情况，对于保险公司的经营及监管部门的监管更具有实际意义。
文献[1] 得到了许多经典的结论，文献[2]建立了一类多险种的风险模型，文献[3]对风险模型的带干扰问题进行了讨论，基于以上的情况，本文用带干扰的多险种Cox风险模型来研究破产问题。
2、模型的建立
给定概率空间，以下讨论的随机过程和随机变量都是定义在此空间上。
定义1 随机过程{Λ(t)，t ≥0}以概率1满足：
(1)Λ(0) = 0；
(2)对任意的t<+∞,Λ(t) <+∞；
(3)其实现是时间t的单调不减的(连续)函数。
则称它是一个(扩散的)随机测度。
在以下的讨论中所遇到的随机测度都假设是扩散的，且当t→+∞时，Λ(t)→+∞，P-a.s.
定义2 假设{Λ(t),t ≥0}是随机测度，{，t≥0}是标准的泊松过程,且Λ(t)与 是相互独立的，则点过程N(t) =Λ(t) =称为是COX过程(或者称为重随机泊松过程)，其中Λ(t)又称为累积强度过程，若假设Λ(t) = ，显然以概率1有λ(t) ≥0，{λ(t)，t ≥0}称为强度过程。
下面定义带干扰的多险种Cox风险模型。
定义3 设u≥0，＞0，t≥0
R(t) = =u+(1+ )- + W(t)， （1）
= (1+)- + W(t),（2）
称R(t)为带干扰的多险种Cox风险模型，为盈利过程。其中，R(t)表示t时刻的盈余，u为初始资本；>0为相对安全负荷，为一固定常量；{ ，t≥0}表示保险公司第k类风险的理赔次数，是强度为的相互独立的Cox过程， ， ；
{；； }表示保险公司第k类风险的第j次理赔额，且独立同分布，其分布函数为 ，均值为 ，；>0为常数，表示扰动强度，W(t)为标准布朗运动，W(t)表示保险公司的不确定收益。
同经典的风险模型一样,定义=P{R(t)<0，对某个t ＞0)为破产概率，=inf{ t≥0｜R(t)<0}为破产时刻。
Cox风险模型中险种的多样化更符合实际情况，对实际更有指导价值。
3、推广的Lundberg不等式
引理1【4】 如果Λ(t)是一随机测度，且假设E[Λ(t)]<∞,=(Λ(t)；t<∞)，则N(t)是相对应的COX过程当且仅当满足下列条件：
(1)N(t)对有条件独立增量；
(2)N(t)-N(s)对服从均值为Λ(t)-Λ(s)的条件泊松分布，即对任意的0≤s＜t和非负的整数k有：
（3）
下面给出模型(1)中破产概率所满足的Lundberg上界。令， ，
定理1 令 ，则是Ft-鞅，
其中， =，
由标准布朗运动的知识可知，
所以 是Ft-鞅。
引理2【4】 令T为有界停时，即T ＜,且M是一个右连续的F-鞅(F-上鞅)，则有，
定理2 破产概率满足不等式（5）
证明 取＜，则∧是有界停时，再利用引理2得：
由于当时，u+Y( ) ，则有：
如同经典风险模型，我们通常选择最大的r作为Lundberg指数。于是我们给出如下Lundberg指数的定义。
定义4 令R=sup，则称R为带干扰多险种COX风险模型(1)的Lundberg指数。
在经典风险模型中，得到了一个完美的Lundberg不等式 。但在此模型中由于 的随机性，在实际中很难找到具体的R，所以我们试图找到R的一个近似值，对Lundberg不等式进行以下推广。
定理4 令，则
。
证明 与带干扰的经典风险模型的情形类似。容易验证是对应的单险种的Cox风险模型
4、结束语
当然，我们的推广也存在不足，好多方面的问题还没有考虑进去，比如利率（变利率）问题，分红问题，甚至是当调节系数不存在时的问题，这也是以后应当继续研究的方向。
参考文献：
[1] 蒋志明、王汉兴：一类多险种风险过程的破产概率[J].应
用数学与计算数学报，2000，14（1）：14-18.
[2] 周绍伟、王传会： 多险种的Cox风险模型[J].山东科技大学学报（自然科学版），2007，26（5）：69-71.
[3] 张茂、秦海鹰、何树红：双险种Cox风险模型的带干扰问题的讨论[J].云南大学学报（自然科学版），2007，29（S1）：33-36.
[4] Grandell J. Aspects of Risk Theory [M].New York: Springer-Verlag,1991.
[5] 邓珠子:带干扰多险种风险模型联合分布及再保险的研究[D].中南大学，2006.
[6] 洪圣光、赵秀青：再保险的COX风险模型[J].长春工程学院学报（自然科学版），2008，9（2）：86-88.