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摘 要:本文在经典风险模型的基础上建立了理赔次数服从Cox过程的带干扰多险种风险模型,运用鞅方法得到了破产概率,并对Lundberg不等式作了推广。
关键词:风险过程;Cox过程;破产概率;鞅;Lundberg不等式。
1、引言
经典风险模型的一个局限性就是模型只考虑经营一种险种时的情形。由于保险公司经营规模的日益扩大,险种的多元化及新险种的不断开发,单险种风险模型已经不能适应时代的要求。因此,采用多险种风险模型来描述实际情况,对于保险公司的经营及监管部门的监管更具有实际意义。
文献[1] 得到了许多经典的结论,文献[2]建立了一类多险种的风险模型,文献[3]对风险模型的带干扰问题进行了讨论,基于以上的情况,本文用带干扰的多险种Cox风险模型来研究破产问题。
2、模型的建立
给定概率空间,以下讨论的随机过程和随机变量都是定义在此空间上。
定义1 随机过程{Λ(t),t ≥0}以概率1满足:
(1)Λ(0) = 0;
(2)对任意的t<+∞,Λ(t) <+∞;
(3)其实现是时间t的单调不减的(连续)函数。
则称它是一个(扩散的)随机测度。
在以下的讨论中所遇到的随机测度都假设是扩散的,且当t→+∞时,Λ(t)→+∞,P-a.s.
定义2 假设{Λ(t),t ≥0}是随机测度,{,t≥0}是标准的泊松过程,且Λ(t)与 是相互独立的,则点过程N(t) =Λ(t) =称为是COX过程(或者称为重随机泊松过程),其中Λ(t)又称为累积强度过程,若假设Λ(t) = ,显然以概率1有λ(t) ≥0,{λ(t),t ≥0}称为强度过程。
下面定义带干扰的多险种Cox风险模型。
定义3 设u≥0,>0,t≥0
R(t) = =u+(1+ )- + W(t), (1)
= (1+)- + W(t),(2)
称R(t)为带干扰的多险种Cox风险模型,为盈利过程。其中,R(t)表示t时刻的盈余,u为初始资本;>0为相对安全负荷,为一固定常量;{ ,t≥0}表示保险公司第k类风险的理赔次数,是强度为的相互独立的Cox过程, , ;
{;; }表示保险公司第k类风险的第j次理赔额,且独立同分布,其分布函数为 ,均值为 ,;>0为常数,表示扰动强度,W(t)为标准布朗运动,W(t)表示保险公司的不确定收益。
同经典的风险模型一样,定义=P{R(t)<0,对某个t >0)为破产概率,=inf{ t≥0|R(t)<0}为破产时刻。
Cox风险模型中险种的多样化更符合实际情况,对实际更有指导价值。
3、推广的Lundberg不等式
引理1【4】 如果Λ(t)是一随机测度,且假设E[Λ(t)]<∞,=(Λ(t);t<∞),则N(t)是相对应的COX过程当且仅当满足下列条件:
(1)N(t)对有条件独立增量;
(2)N(t)-N(s)对服从均值为Λ(t)-Λ(s)的条件泊松分布,即对任意的0≤s<t和非负的整数k有:
(3)
下面给出模型(1)中破产概率所满足的Lundberg上界。令, ,
定理1 令 ,则是Ft-鞅,
其中, =,
由标准布朗运动的知识可知,
所以 是Ft-鞅。
引理2【4】 令T为有界停时,即T <,且M是一个右连续的F-鞅(F-上鞅),则有,
定理2 破产概率满足不等式(5)
证明 取<,则∧是有界停时,再利用引理2得:
由于当时,u+Y( ) ,则有:
如同经典风险模型,我们通常选择最大的r作为Lundberg指数。于是我们给出如下Lundberg指数的定义。
定义4 令R=sup,则称R为带干扰多险种COX风险模型(1)的Lundberg指数。
在经典风险模型中,得到了一个完美的Lundberg不等式 。但在此模型中由于 的随机性,在实际中很难找到具体的R,所以我们试图找到R的一个近似值,对Lundberg不等式进行以下推广。
定理4 令,则
。
证明 与带干扰的经典风险模型的情形类似。容易验证是对应的单险种的Cox风险模型
4、结束语
当然,我们的推广也存在不足,好多方面的问题还没有考虑进去,比如利率(变利率)问题,分红问题,甚至是当调节系数不存在时的问题,这也是以后应当继续研究的方向。
参考文献:
[1] 蒋志明、王汉兴:一类多险种风险过程的破产概率[J].应
用数学与计算数学报,2000,14(1):14-18.
[2] 周绍伟、王传会: 多险种的Cox风险模型[J].山东科技大学学报(自然科学版),2007,26(5):69-71.
[3] 张茂、秦海鹰、何树红:双险种Cox风险模型的带干扰问题的讨论[J].云南大学学报(自然科学版),2007,29(S1):33-36.
[4] Grandell J. Aspects of Risk Theory [M].New York: Springer-Verlag,1991.
[5] 邓珠子:带干扰多险种风险模型联合分布及再保险的研究[D].中南大学,2006.
[6] 洪圣光、赵秀青:再保险的COX风险模型[J].长春工程学院学报(自然科学版),2008,9(2):86-88.
关键词:风险过程;Cox过程;破产概率;鞅;Lundberg不等式。
1、引言
经典风险模型的一个局限性就是模型只考虑经营一种险种时的情形。由于保险公司经营规模的日益扩大,险种的多元化及新险种的不断开发,单险种风险模型已经不能适应时代的要求。因此,采用多险种风险模型来描述实际情况,对于保险公司的经营及监管部门的监管更具有实际意义。
文献[1] 得到了许多经典的结论,文献[2]建立了一类多险种的风险模型,文献[3]对风险模型的带干扰问题进行了讨论,基于以上的情况,本文用带干扰的多险种Cox风险模型来研究破产问题。
2、模型的建立
给定概率空间,以下讨论的随机过程和随机变量都是定义在此空间上。
定义1 随机过程{Λ(t),t ≥0}以概率1满足:
(1)Λ(0) = 0;
(2)对任意的t<+∞,Λ(t) <+∞;
(3)其实现是时间t的单调不减的(连续)函数。
则称它是一个(扩散的)随机测度。
在以下的讨论中所遇到的随机测度都假设是扩散的,且当t→+∞时,Λ(t)→+∞,P-a.s.
定义2 假设{Λ(t),t ≥0}是随机测度,{,t≥0}是标准的泊松过程,且Λ(t)与 是相互独立的,则点过程N(t) =Λ(t) =称为是COX过程(或者称为重随机泊松过程),其中Λ(t)又称为累积强度过程,若假设Λ(t) = ,显然以概率1有λ(t) ≥0,{λ(t),t ≥0}称为强度过程。
下面定义带干扰的多险种Cox风险模型。
定义3 设u≥0,>0,t≥0
R(t) = =u+(1+ )- + W(t), (1)
= (1+)- + W(t),(2)
称R(t)为带干扰的多险种Cox风险模型,为盈利过程。其中,R(t)表示t时刻的盈余,u为初始资本;>0为相对安全负荷,为一固定常量;{ ,t≥0}表示保险公司第k类风险的理赔次数,是强度为的相互独立的Cox过程, , ;
{;; }表示保险公司第k类风险的第j次理赔额,且独立同分布,其分布函数为 ,均值为 ,;>0为常数,表示扰动强度,W(t)为标准布朗运动,W(t)表示保险公司的不确定收益。
同经典的风险模型一样,定义=P{R(t)<0,对某个t >0)为破产概率,=inf{ t≥0|R(t)<0}为破产时刻。
Cox风险模型中险种的多样化更符合实际情况,对实际更有指导价值。
3、推广的Lundberg不等式
引理1【4】 如果Λ(t)是一随机测度,且假设E[Λ(t)]<∞,=(Λ(t);t<∞),则N(t)是相对应的COX过程当且仅当满足下列条件:
(1)N(t)对有条件独立增量;
(2)N(t)-N(s)对服从均值为Λ(t)-Λ(s)的条件泊松分布,即对任意的0≤s<t和非负的整数k有:
(3)
下面给出模型(1)中破产概率所满足的Lundberg上界。令, ,
定理1 令 ,则是Ft-鞅,
其中, =,
由标准布朗运动的知识可知,
所以 是Ft-鞅。
引理2【4】 令T为有界停时,即T <,且M是一个右连续的F-鞅(F-上鞅),则有,
定理2 破产概率满足不等式(5)
证明 取<,则∧是有界停时,再利用引理2得:
由于当时,u+Y( ) ,则有:
如同经典风险模型,我们通常选择最大的r作为Lundberg指数。于是我们给出如下Lundberg指数的定义。
定义4 令R=sup,则称R为带干扰多险种COX风险模型(1)的Lundberg指数。
在经典风险模型中,得到了一个完美的Lundberg不等式 。但在此模型中由于 的随机性,在实际中很难找到具体的R,所以我们试图找到R的一个近似值,对Lundberg不等式进行以下推广。
定理4 令,则
。
证明 与带干扰的经典风险模型的情形类似。容易验证是对应的单险种的Cox风险模型
4、结束语
当然,我们的推广也存在不足,好多方面的问题还没有考虑进去,比如利率(变利率)问题,分红问题,甚至是当调节系数不存在时的问题,这也是以后应当继续研究的方向。
参考文献:
[1] 蒋志明、王汉兴:一类多险种风险过程的破产概率[J].应
用数学与计算数学报,2000,14(1):14-18.
[2] 周绍伟、王传会: 多险种的Cox风险模型[J].山东科技大学学报(自然科学版),2007,26(5):69-71.
[3] 张茂、秦海鹰、何树红:双险种Cox风险模型的带干扰问题的讨论[J].云南大学学报(自然科学版),2007,29(S1):33-36.
[4] Grandell J. Aspects of Risk Theory [M].New York: Springer-Verlag,1991.
[5] 邓珠子:带干扰多险种风险模型联合分布及再保险的研究[D].中南大学,2006.
[6] 洪圣光、赵秀青:再保险的COX风险模型[J].长春工程学院学报(自然科学版),2008,9(2):86-88.