〔关键词〕 数列；三角数阵；线性规化；矩阵
　　〔中图分类号〕 G6３3.62〔文献标识码〕 C
　　〔文章编号〕 1004—0463（2009）01（Ａ）—0026—０1
　　
　　由于关于数列的试题不断受到高等数学初等化的影响，因而数列便演绎出各种新的载体.如数列以三角数阵、线性规划及矩阵为载体出现，已成为数列问题的一个亮点.这类问题设计巧妙、构思新颖，旨在考查学生灵活应用数列知识，解决新问题的能力.下面就这类创新题加以综合.
　　三角数阵为载体
　　问题一：如图１所示，给出一个三角形数阵，已知每一列的数成等差数列，从第3行起，每一行的数成等比数列，每一行的公比都相等，记第i行第j列的数为aij（i≥j，i、j∈N+）.
　　（1）试写出aij关于i、j的表达式，并求a83；
　　（2）设这个数阵共有n行，求数阵表中的所有数之和.
　　解析：（1）易知第i行的第一个数ai1=＋（i-1）=，第i行的第j个数为aij=•（）j-1，故a83=•（）2=.
　　（2）设数阵中第n行的所有数之和为An，则An=（１+++…+）=•=-•.设所求数之和为P，则P=（1+2+…+n）-（1•2-1+2•2-2+…+n•2-n），再结合数列求和中的错位相减法知：P=-（1--）=+.
　　矩阵为载体
　　问题二：如图２，有n2（n≥4）个正数排成的n×n阶矩阵（n行n列的数表），其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有的公比都相等，且满足a24=1，a42=，a43=.
　　（1）求公比q；（2）用k表示a4k；（3）求a11+a22+a33+…ann的值.
　　解析：（1）因为矩阵中每一行的数成等差数列，所以a42，a43，a44成等差数列，即有2a43=a42+a44，于是得到a44=.又因为每一列的数成等比数例，所以a44=a24•q2，而a24=1，所以q2=，又an＞0，所以q＝.
　　（2）a4k=a42+（k-2）d=+（k-2）（a43-a42）=.
　　（3）因为第k列的数成等比数列，所以akk=a4k•qk-４=（）k-4=k（）k（k=1，2，…，n），设a11+a22+…＋ann=Sn，由错位相减法可得Sn=2-.
　　线性规划为载体
　　问题三：对于n∈N+，不等式组x＞0，y＞0，y=-nx+2n .所表示的平面为Dn，把Dn内的整点（横坐标与纵坐标均为整数的点）按其到原点的距离从近到远排成点列：（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），…
　　（1）求xn，yn；（2）数列｛an｝满足a1=x1，n≥2n且an=y（++…＋）.证明：n≥2n时，-=.
　　解析：（1）由上述线性约束条件可知-nx+2n＞0，于是有x＜2.又x＞0且x∈N，所以x＝1，故Dn内的整点都落在直线x=1上.又因y＜n，故Dn内的整点按其到原点的距离从近到远排成的点列为：（1，1），（1，2），…（1，n），于是得到结论：xn=1，yn=n.
　　（2）当n≥2n时，把条件an=y（++…＋）进行恒等变形得：=++…＋，即得到：＝++…＋①.根据数列的递推性可得：=++…++ ②.再由②减①得：-=（n≥2n）.