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〔关键词〕 数列;三角数阵;线性规化;矩阵
〔中图分类号〕 G633.62〔文献标识码〕 C
〔文章编号〕 1004—0463(2009)01(A)—0026—01
由于关于数列的试题不断受到高等数学初等化的影响,因而数列便演绎出各种新的载体.如数列以三角数阵、线性规划及矩阵为载体出现,已成为数列问题的一个亮点.这类问题设计巧妙、构思新颖,旨在考查学生灵活应用数列知识,解决新问题的能力.下面就这类创新题加以综合.
三角数阵为载体
问题一:如图1所示,给出一个三角形数阵,已知每一列的数成等差数列,从第3行起,每一行的数成等比数列,每一行的公比都相等,记第i行第j列的数为aij(i≥j,i、j∈N+).
(1)试写出aij关于i、j的表达式,并求a83;
(2)设这个数阵共有n行,求数阵表中的所有数之和.
解析:(1)易知第i行的第一个数ai1=+(i-1)=,第i行的第j个数为aij=•()j-1,故a83=•()2=.
(2)设数阵中第n行的所有数之和为An,则An=(1+++…+)=•=-•.设所求数之和为P,则P=(1+2+…+n)-(1•2-1+2•2-2+…+n•2-n),再结合数列求和中的错位相减法知:P=-(1--)=+.
矩阵为载体
问题二:如图2,有n2(n≥4)个正数排成的n×n阶矩阵(n行n列的数表),其中每一行的数成等差数列,每一列的数成等比数列,并且所有的公比都相等,且满足a24=1,a42=,a43=.
(1)求公比q;(2)用k表示a4k;(3)求a11+a22+a33+…ann的值.
解析:(1)因为矩阵中每一行的数成等差数列,所以a42,a43,a44成等差数列,即有2a43=a42+a44,于是得到a44=.又因为每一列的数成等比数例,所以a44=a24•q2,而a24=1,所以q2=,又an>0,所以q=.
(2)a4k=a42+(k-2)d=+(k-2)(a43-a42)=.
(3)因为第k列的数成等比数列,所以akk=a4k•qk-4=()k-4=k()k(k=1,2,…,n),设a11+a22+…+ann=Sn,由错位相减法可得Sn=2-.
线性规划为载体
问题三:对于n∈N+,不等式组x>0,y>0,y=-nx+2n .所表示的平面为Dn,把Dn内的整点(横坐标与纵坐标均为整数的点)按其到原点的距离从近到远排成点列:(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),…
(1)求xn,yn;(2)数列{an}满足a1=x1,n≥2n且an=y(++…+).证明:n≥2n时,-=.
解析:(1)由上述线性约束条件可知-nx+2n>0,于是有x<2.又x>0且x∈N,所以x=1,故Dn内的整点都落在直线x=1上.又因y<n,故Dn内的整点按其到原点的距离从近到远排成的点列为:(1,1),(1,2),…(1,n),于是得到结论:xn=1,yn=n.
(2)当n≥2n时,把条件an=y(++…+)进行恒等变形得:=++…+,即得到:=++…+①.根据数列的递推性可得:=++…++ ②.再由②减①得:-=(n≥2n).
〔中图分类号〕 G633.62〔文献标识码〕 C
〔文章编号〕 1004—0463(2009)01(A)—0026—01
由于关于数列的试题不断受到高等数学初等化的影响,因而数列便演绎出各种新的载体.如数列以三角数阵、线性规划及矩阵为载体出现,已成为数列问题的一个亮点.这类问题设计巧妙、构思新颖,旨在考查学生灵活应用数列知识,解决新问题的能力.下面就这类创新题加以综合.
三角数阵为载体
问题一:如图1所示,给出一个三角形数阵,已知每一列的数成等差数列,从第3行起,每一行的数成等比数列,每一行的公比都相等,记第i行第j列的数为aij(i≥j,i、j∈N+).
(1)试写出aij关于i、j的表达式,并求a83;
(2)设这个数阵共有n行,求数阵表中的所有数之和.
解析:(1)易知第i行的第一个数ai1=+(i-1)=,第i行的第j个数为aij=•()j-1,故a83=•()2=.
(2)设数阵中第n行的所有数之和为An,则An=(1+++…+)=•=-•.设所求数之和为P,则P=(1+2+…+n)-(1•2-1+2•2-2+…+n•2-n),再结合数列求和中的错位相减法知:P=-(1--)=+.
矩阵为载体
问题二:如图2,有n2(n≥4)个正数排成的n×n阶矩阵(n行n列的数表),其中每一行的数成等差数列,每一列的数成等比数列,并且所有的公比都相等,且满足a24=1,a42=,a43=.
(1)求公比q;(2)用k表示a4k;(3)求a11+a22+a33+…ann的值.
解析:(1)因为矩阵中每一行的数成等差数列,所以a42,a43,a44成等差数列,即有2a43=a42+a44,于是得到a44=.又因为每一列的数成等比数例,所以a44=a24•q2,而a24=1,所以q2=,又an>0,所以q=.
(2)a4k=a42+(k-2)d=+(k-2)(a43-a42)=.
(3)因为第k列的数成等比数列,所以akk=a4k•qk-4=()k-4=k()k(k=1,2,…,n),设a11+a22+…+ann=Sn,由错位相减法可得Sn=2-.
线性规划为载体
问题三:对于n∈N+,不等式组x>0,y>0,y=-nx+2n .所表示的平面为Dn,把Dn内的整点(横坐标与纵坐标均为整数的点)按其到原点的距离从近到远排成点列:(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),…
(1)求xn,yn;(2)数列{an}满足a1=x1,n≥2n且an=y(++…+).证明:n≥2n时,-=.
解析:(1)由上述线性约束条件可知-nx+2n>0,于是有x<2.又x>0且x∈N,所以x=1,故Dn内的整点都落在直线x=1上.又因y<n,故Dn内的整点按其到原点的距离从近到远排成的点列为:(1,1),(1,2),…(1,n),于是得到结论:xn=1,yn=n.
(2)当n≥2n时,把条件an=y(++…+)进行恒等变形得:=++…+,即得到:=++…+①.根据数列的递推性可得:=++…++ ②.再由②减①得:-=(n≥2n).