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摘 要:在初等数学中,二项式定理是一个非常重要的内容,有很多应用。()是一个不可置疑的结论,本文应用二项式定理的相关知识给出它的一种证明。
关键词:二项式定理 组合数 组合恒等式
中图分类号:G642 文献标识码:A 文章编号:1673-9795(2013)01(a)-0115-01
在初等数学中,()是一个不争的结论,在高中数学里,应用,可以得到一个重要性质:的展开式中,奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和。而能否反过来应用二项式定理证明呢?本文就给出它的一种证明。
1 预备知识
由于本文结论的证明将要用到二项式定理及组合数的有关知识,这里先介绍两个引理:
引理1:设,则
(1)
证明:是个的乘积,展开式的任意一项是从个因式里取,在余下的个因式里取相乘得到的,所以这一项的个数为,当取0,1,2,,时,即可得到二项式展开式的各项系数。
我们称上述引理为二项式定理。
引理2:. (2)
证明:略。这是一个大家熟知的很有用的组合恒等式,有很大的应用空间。
2的证明
定理:设为正整数,则:
(3)
证明:由引理1得:
再由引理2:
,有:
上述定理当时就得到一个很有趣的结果。
推论:.
参考文献
[1] 曹汝成.组合数学[M].广州:华南理工大学出版社.
[2] 普通高中数学教科书[Z].
关键词:二项式定理 组合数 组合恒等式
中图分类号:G642 文献标识码:A 文章编号:1673-9795(2013)01(a)-0115-01
在初等数学中,()是一个不争的结论,在高中数学里,应用,可以得到一个重要性质:的展开式中,奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和。而能否反过来应用二项式定理证明呢?本文就给出它的一种证明。
1 预备知识
由于本文结论的证明将要用到二项式定理及组合数的有关知识,这里先介绍两个引理:
引理1:设,则
(1)
证明:是个的乘积,展开式的任意一项是从个因式里取,在余下的个因式里取相乘得到的,所以这一项的个数为,当取0,1,2,,时,即可得到二项式展开式的各项系数。
我们称上述引理为二项式定理。
引理2:. (2)
证明:略。这是一个大家熟知的很有用的组合恒等式,有很大的应用空间。
2的证明
定理:设为正整数,则:
(3)
证明:由引理1得:
再由引理2:
,有:
上述定理当时就得到一个很有趣的结果。
推论:.
参考文献
[1] 曹汝成.组合数学[M].广州:华南理工大学出版社.
[2] 普通高中数学教科书[Z].