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一、数形结合思想的含义
数形结合思想就是根据数与形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想.它包含两个方面:(1)“以形助数”,把抽象问题具体化,这主要是指用几何的方法去解决代数或三角问题;(2)“以数解形”,把直观图形数量化,使形更加精确,这主要是指用代数或三角的方法去解决几何问题.
二、运用数形结合思想分析解决问题的三个原则
(1)等价性原则,在数形结合时,代数性质和几何性质的转换必须是等价的,否则解题将会出现漏洞,有时,由于图形的局限性,不能完整地表现数的一般性,这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明.
(2)双向性原则,在数形结合时,既要进行几何直观的分析,又要进行代数抽象的探索,两方面相辅相成,仅对代数问题进行几何分析(或仅对几何问题进行代数分析)在许多时候是很难行得通的.
(3)简单性原则,找到解题思路之后,至于用几何方法还是用代数方法或者兼用两种方法来叙述解题过程,则取决于哪种方法更为简单.
三、在运用数形结合思想分析问题和解决问题时,需做到以下四点
1.要清楚一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征.
2.要恰当设参,合理用参,建立关系,做好转化.
3.要正确确定参数的取值范围,以防重复和遗漏.
4.精心联想“数”与“形”,使一些较难解决的代数问题几何化,几何问题代数化,以便于问题求解.
四、四点注意
在高考试题中,数形结合思想主要用于解填空题,有直观、简单、快捷等特点;而在解答题中,考虑到推理论证的严密性,图形只是輔助手段,最终还是要用“数”写出完整的解答过程.
在运用数形结合思想分析问题和解决问题时,还需做到以下四点:
(1)要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征;
(2)要恰当设参数,合理用参数,建立关系,做好转化;
(3)要正确确定参数的取值范围,以防重复和遗漏;
(4)精心联想“数”与“形”,使一些较难解决的代数问题几何化,几何问题代数化,以便于问题求解.
五、数形结合思想在解题中的应用
数形结合思想方法可以解决很多数学问题,由于很多数学概念都具有明显的几何意义,因此善于利用这些几何意义,往往能达到事半功倍的效果.比如:在解析几何中与斜率、距离、截距、定义等相关的问题,在函数中与零点、单调性、比较数值大小等相关的问题,还可以运用数形结合思想解不等式、解三角函数、集合、线性规划、立体几何等相关的问题.下面通过几个例题来感受数形结合的应用.
1.数形结合思想在三角函数、平面向量等知识中的应用
例1 如图所示,半圆的直径AB=4,O为圆心,C是半圆上不同于A、B的任意一点,若P为半径OC上的动点,则(PA PB)·PC的最小值是 .
解析:由平行四边形法则得PA PB=2PO,故(PA PB)·PC=2PO·PC,
|PC|=2-|PO|,且PO、PC反向,设|PO|=t(0≤t≤2),
则(PA PB)·PC=2PO·PC=-2t(2-t)
=2(t2-2t)=2[(t-1)2-1].
∵0≤t≤2,∴当t=1时,(PA PB)·PC取最小值,为-2.
点评:在解决与平面几何有关的数量积问题时,充分利用向量的线性运算,将所求向量用共同的基底表示出来,再利用平面向量的数量积运算法则求解.
2.数形结合解决集合问题
例2 已知函数f(x)=x2-4x 3,集合M={(x,y)|f(x) f(y)≤0},集合N={(x,y)|f(x)-f(y)≥0},则集合M∩N的面积是 .
解析:由已知可得M={(x,y)|f(x) f(y)≤0}={(x,y)|(x-2)2 (y-2)2≤2},N={(x,y)|f(x)-f(y)≥0}={(x,y)|(x-y)(x y-4)≥0}.
则M∩N=(x-2)2 (y-2)2≤2
(x-y)(x y-4)≥0
作出其交集部分可得如图所示,其面积为圆面积的一半,
即为12π·(2)2=π.
点评:求限制条件(一般用不等式组来表示)所表示平面区域的面积,一般分为如下步骤:①化简不等式②分析不等式表示的平面区域③画出草图分析可行域④结合平面几何知识求出面积.
3.数形结合解决函数图象交点(函数的零点、方程的根)的个数问题
例3 定义在R上的奇函数f(x),当x≥0时,f(x)=log12(x 1),x∈[0,1),
1-|x-3|,x∈[1, ∞),则关于x的函数F(x)=f(x)-a(0 解答:∵当x≥0时,
f(x)=log12(x 1),x∈[0,1),
1-|x-3|,x∈[1, ∞),
即x∈[0,1)时,f(x)=log12(x 1),
x∈[1,3]时,f(x)=x-2∈[-1,1];
x∈(3, ∞)时,f(x)=4-x∈(-∞,1);
画出x≥0时f(x)的图象,
再利用奇函数的对称性,画出x<0时f(x)的图象,如图所示;
则直线y=a,与y=f(x)的图象有5个交点,则方程f(x)-a=0共有五个实根,
最左边两根之和为-6,最右边两根之和为6,
∵x∈(-1,0)时,-x∈(0,1),
∴f(-x)=log12(-x 1), 又f(-x)=-f(x),
∴f(x)=-log12(-x 1)=log12(1-x)-1=log2(1-x),
∴中间的一个根满足log2(1-x)=a,即1-x=2a,
解得x=1-2a,
∴所有根的和为1-2a.
点评:将函数F(x)=f(x)-a(0 4.利用数形结合解决函数极值点问题
例4 已知函数f(x)=x(lnx-ax)有两个极值点,则实数a的取值范围是 .
解析:函数f(x)=x(lnx-ax),
则f′(x)=lnx-ax x(1x-a)=lnx-2ax 1,
令f′(x)=lnx-2ax 1=0得lnx=2ax-1,
函数f(x)=x(lnx-ax)有两个极值点,等价于f′(x)=lnx-2ax 1有两个零点,
等价于函数y=lnx与y=2ax-1的图象有两个交点,
在同一个坐标系中作出它们的图象(如图)
过点(0,-1)作y=lnx的切线,设切点为(x0,y0),则切线的斜率k=1x0,切线方程为y=1x0x-1.切点在切线上,则y0=x0x0-1=0,又切点在曲线y=lnx上,则lnx0=0x0=1,即切點为(1,0).切线方程为y=x-1.再由直线y=2ax-1与曲线y=lnx有两个交点,知直线y=2ax-1位于两直线y=0和y=x-1之间,如图所示,其斜率2a满足:0<2a<1,解得实数a的取值范围是(0,12).
点评:本题利用数形结合思想解决函数的零点问题,利用导数研究函数的单独性和极值问题.先求导函数,函数f(x)=x(lnx-ax)有两个极值点,等价于f′(x)=lnx-2ax 1有两个零点,等价于函数y=lnx与y=2ax-1的图象有两个交点,在同一个坐标系中作出它们的图象,再解出切线方程,由图可求得实数a的取值范围.
5.数形结合解决具有明显几何意义的式子
例5 已知函数f(x)=ax2 bx-1(a,b∈R且a>0)有两个零点,其中一个零点在区间(1,2)内,则ba 1的取值范围为 .
分析:先根据图象确定a,b满足的条件,然后利用ba 1的几何意义——两点(a,b),(-1,0)连线斜率求范围.
解析:因为a>0,所以二次函数f(x)的图象开口向上.
又f(0)=-1,所以要使函数f(x)的一个零点在区间(1,2)内,则有a>0
f(1)<0
f(2)>0即a>0
a b-1<0
4a 2b-1>0,
如图所示的阴影部分是上述不等式组所确定的平面区域,式子ba 1表示平面区域内的点P(a,b)与点Q(-1,0)连线的斜率.
而直线QA的斜率k=1-00-(-1)=1,直线4a 2b-1=0的斜率为-2,显然不等式组所表示的平面区域不包括边界,所以P,Q连线的斜率的取值范围为(-2,1).
点评:如果等式、代数式的结构蕴含着明显的几何特征,就要考虑用数形结合的思想方法来解题,即所谓的几何法求解,比较常见的对应有:(1)b-na-m(a,b)、(m,n)连线的斜率;(2)(a-m)2 (b-n)2(a,b)、(m,n)之间的距离;(3)a2 b2=c2a、b、c为直角三角形的三边;(4)f(a-x)=f(b x)f(x)图象的对称轴为x=a b2.只要具有一定的观察能力,再掌握常见的数与形的对应类型,就一定能得心应手地运用数形结合的思想方法.
6.数形结合解决解析几何问题
例6 过点(0,3)作直线l,如果它与双曲线x24-y23=1有且只有一个公共点,则直线l的条数是 .
解:如图:过A点可以做双曲线的两条切线,以及两条与渐近线平行的直线.
所以,有4条直线与双曲线有且只有一个公共点.答案:4条.
点评:利用数形结合思想讨论直线与双曲线的公共点的个数.用代数方法判断直线与双曲线的位置关系,将直线方程与双曲线方程联立,利用方程组、判别式等求解.当直线位置比较特殊时,如过原点、过定点等,结合图形,讨论直线与双曲线的公共点的个数.
7.数形结合在数列中的应用
例7 某厂2017年生产利润逐月增加,且每月增加的利润相同,但由于厂方正在改造建设,元月份投入资金建设恰好与元月的利润相等,随着投入资金的逐月增加,且每月增加投入的百分率相同,到12月投入建设资金又恰好与12月的生产利润相同,问全年总利润M与全年总投入N的大小关系是 .
解析:每月的利润组成一个等差数列{an},且公差d>0,每月的投资额组成一个等比数列{bn},且公比q>1.a1=b1,且a12=b12,比较S12与T12的大小.
若直接求和,很难比较出其大小,但注意到等差数列的通项公式an=a1 (n-1)d是关于n的一次函数,其图象是一条直线上的一些点列.等比数列的通项公式bn=b1·qn-1是关于n的指数函数,其图象是指数函数上的一些点列.在同一坐标系中画出图象如图所示,直观地可以看出ai≥bi,则S12>T12,即M>N.
点评:仔细阅读题目,明确题目表述的含义:每月的利润组成一个等差数列,每月的投资额组成一个等比数列.比较全年总利润M与全年总投入N的大小关系即比较S12与T12的大小.难于直接比较,利用数形结合思想易解. 8.数形结合解不等式问题
例8 设有函数f(x)=a -x2-4x和g(x)=43x 1,已知x∈[-4,0]时恒有f(x)≤g(x),求实数a的取值范围.
解:f(x)≤g(x),即a -x2-4x≤43x 1,
变形得-x2-4x≤43x 1-a,
令y=-x2-4x, ①
y=43x 1-a. ②
①变形得(x 2)2 y2=4(y≥0),
即表示以(-2,0)为圆心,2为半径的圆的上半圆;②表示斜率为43,纵截距为1-a的平行直线系.
设与圆相切的直线为AT,AT的直线方程为:
y=43x b(b>0),
则圆心(-2,0)到AT的距离为d=|-8 3b|5,由|-8 3b|5=2得,b=6或-23(舍去).
∴当1-a≥6即a≤-5时,f(x)≤g(x).
点评:解决含参数的不等式和不等式恒成立问题,可以将题目中的某些条件用图象表现出来,利用图象间的关系以形助数,求方程的解集或其中参数的范围.
9.数形结合解几何概型问题
例9 在区间[0,1]上随机取两个数x,y,记p1为事件“x y≥12”的概率,p2为事件“|x-y|≤12”的概率,p3为事件“xy≤12”的概率,则( )
A.p1 C.p3 答案:B
解析:因为x,y∈[0,1],对事件“x y≥12”,如图(1)阴影部分S1,
对事件“|x-y|≤12”,如图(2)阴影部分S2,
对为事件“xy≤12”,如图(3)阴影部分S3,
由图知,阴影部分的面积从小到大依次是S2 根据几何概型公式可得p2 点评:首先认真阅读题目,把其中的有用信息向我们熟悉的知识方面转化,实现知识的迁移,然后再利用概率的知识去解决.数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法.用图解题的关键:用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域,由题意将已知条件转化为事件A满足的不等式,在图形中画出事件A发生的区域,利用公式Ρ(Α)=
构成事件Α的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)可求.
10.数形结合思想在求几何量中最值问题中的应用
例10 在平面直角坐标系xOy中,过定点C(0,p)作直线与抛物线x2=2py(p>0)相交于A,B两点.
(1)若点N是点C关于坐标原点O的对称点,求△ANB面积的最小值;
(2)是否存在垂直于y轴的直线l,使得l被以AC为直径的圆截得的弦长恒为定值?若存在,求出l的方程;若不存在,请说明理由.
分析:(1)在直线AB变动的过程中,△ABN中存在一条长度不变的线段CN(长为2p),将△ABN面积分割为△ANC与△BNC的面积和,∴S△ABN=S△ANC S△BNC=p|x1-x2|.(2)求弦长时,构造直角三角形,求解.
解析:(1)如图所示,依题意,
点N的坐标为(0,-p),可设A(x1,y1),B(x2,y2).
直线AB的方程为y=kx p,与x2=2py联立,
消去y得x2-2pkx-2p2=0.
由根与系数的关系得x1 x2=2pk,x1x2=-2p2.
于是S△ABN=S△BCN S△ACN=12×2p|x1-x2|
=p|x1-x2|=p(x1 x2)2-4x1x2
=p4p2k2 8p2=2p2k2 2.
∴当k=0时,(S△ABN)min=22p2.
(2)如图所示,假设满足条件的直线l存在,其方程为y=a.
设AC的中点为O′,l与以AC为直径的圆相交于点P、Q,PQ的中点为H.
则O′H⊥PQ,O′点的坐标为(x12,y1 p2).
∵|O′P|=12|AC|
=12x21 (y1-p)2
=12y21 p2,
|O′H|=|a-y1 p2|=12|2a-y1-p|,
∴|PH|2=|O′P|2-|O′H|2=14(y21 p2)-14(2a-y1-p)2=(a-p2)y1 a(p-a),
∴|PQ|2=(2|PH|)2=4[(a-p2)y1 a(p-a)].
令a-p2=0,得a=p2,此時|PQ|=p为定值,
故满足条件的直线l存在,其方程为y=p2,即抛物线的通径所在的直线.
点评:本题是一个考查直线与圆锥曲线位置关系的开放性问题,数形结合思想中一个非常重要的方面是以数解形,通过方程等代数的方法来研究几何问题,也就是解析法,解析法与几何法结合来解题,会有更大的功效.此类题目的求解要结合该类图形的几何性质,将条件信息和结论信息结合在一起,观察图形特征,转化为代数语言,即方程(组)或不等式(组),从而将问题解决.
11.数形结合思想在立体几何中的应用
例11 在空间中,过点A作平面π的垂线,垂足为B,记B=fπ(A).设α,β是两个不同的平面,对空间任意一点P,Q1=fβ[fα(P)],Q2=fα[fβ(P)],恒有PQ1=PQ2,则( )
A.平面α与平面β垂直
B.平面α与平面β所成的(锐)二面角为45°
C.平面α与平面β平行
D.平面α与平面β所成的(锐)二面角为60°
解析:结合四个选项,采用依托立体模型(三棱锥、四棱锥、长方体、正方体及它们的残缺)找几何体的特征及几何量之间的位置关系.画出四个棱长为1的正方体,记平面A1B1C1D1为β,不妨设P∈α,如图1,取平面ADD1A1为α,恒有PQ1=PQ2;图2,取平面AB1C1D为α,P=A∈α,PQ1=1,PQ2=22,不满足PQ1=PQ2;图3,取平面ABCD为α,PQ1=1,P与Q2重合,PQ2=0,不满足PQ1=PQ2;图4,取平面EFA1D1为α,PQ1=1,PQ2=233,不满足PQ1=PQ2,易得选项A.
点评:本题根据所给出的新定义,采用依托立体模型(三棱锥、四棱锥、长方体、正方体及它们的残缺)找几何体的特征及几何量之间的位置关系判定两平面α,β所成角的大小,考查线面垂直的性质、二面角的平面角和面面垂直的定义等知识.
上述几个例题从不同侧面说明:在用代数与解析法解某些题遇到困难时,借助于几何图形来解,往往收到事半功倍的效果.但要注意利用数形结合思想解决问题时,要注意数与形的完整结合,由数想形时,一定要准确、全面,特别是图形一定要准确.数形结合常用的辅助工具有:数轴(直角坐标系)、两点间距离公式、向量的模、函数的图象、曲线的方程、直线的斜率、截距、二元一次不等式表示平面区域等.
数形结合思想就是根据数与形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想.它包含两个方面:(1)“以形助数”,把抽象问题具体化,这主要是指用几何的方法去解决代数或三角问题;(2)“以数解形”,把直观图形数量化,使形更加精确,这主要是指用代数或三角的方法去解决几何问题.
二、运用数形结合思想分析解决问题的三个原则
(1)等价性原则,在数形结合时,代数性质和几何性质的转换必须是等价的,否则解题将会出现漏洞,有时,由于图形的局限性,不能完整地表现数的一般性,这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明.
(2)双向性原则,在数形结合时,既要进行几何直观的分析,又要进行代数抽象的探索,两方面相辅相成,仅对代数问题进行几何分析(或仅对几何问题进行代数分析)在许多时候是很难行得通的.
(3)简单性原则,找到解题思路之后,至于用几何方法还是用代数方法或者兼用两种方法来叙述解题过程,则取决于哪种方法更为简单.
三、在运用数形结合思想分析问题和解决问题时,需做到以下四点
1.要清楚一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征.
2.要恰当设参,合理用参,建立关系,做好转化.
3.要正确确定参数的取值范围,以防重复和遗漏.
4.精心联想“数”与“形”,使一些较难解决的代数问题几何化,几何问题代数化,以便于问题求解.
四、四点注意
在高考试题中,数形结合思想主要用于解填空题,有直观、简单、快捷等特点;而在解答题中,考虑到推理论证的严密性,图形只是輔助手段,最终还是要用“数”写出完整的解答过程.
在运用数形结合思想分析问题和解决问题时,还需做到以下四点:
(1)要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征;
(2)要恰当设参数,合理用参数,建立关系,做好转化;
(3)要正确确定参数的取值范围,以防重复和遗漏;
(4)精心联想“数”与“形”,使一些较难解决的代数问题几何化,几何问题代数化,以便于问题求解.
五、数形结合思想在解题中的应用
数形结合思想方法可以解决很多数学问题,由于很多数学概念都具有明显的几何意义,因此善于利用这些几何意义,往往能达到事半功倍的效果.比如:在解析几何中与斜率、距离、截距、定义等相关的问题,在函数中与零点、单调性、比较数值大小等相关的问题,还可以运用数形结合思想解不等式、解三角函数、集合、线性规划、立体几何等相关的问题.下面通过几个例题来感受数形结合的应用.
1.数形结合思想在三角函数、平面向量等知识中的应用
例1 如图所示,半圆的直径AB=4,O为圆心,C是半圆上不同于A、B的任意一点,若P为半径OC上的动点,则(PA PB)·PC的最小值是 .
解析:由平行四边形法则得PA PB=2PO,故(PA PB)·PC=2PO·PC,
|PC|=2-|PO|,且PO、PC反向,设|PO|=t(0≤t≤2),
则(PA PB)·PC=2PO·PC=-2t(2-t)
=2(t2-2t)=2[(t-1)2-1].
∵0≤t≤2,∴当t=1时,(PA PB)·PC取最小值,为-2.
点评:在解决与平面几何有关的数量积问题时,充分利用向量的线性运算,将所求向量用共同的基底表示出来,再利用平面向量的数量积运算法则求解.
2.数形结合解决集合问题
例2 已知函数f(x)=x2-4x 3,集合M={(x,y)|f(x) f(y)≤0},集合N={(x,y)|f(x)-f(y)≥0},则集合M∩N的面积是 .
解析:由已知可得M={(x,y)|f(x) f(y)≤0}={(x,y)|(x-2)2 (y-2)2≤2},N={(x,y)|f(x)-f(y)≥0}={(x,y)|(x-y)(x y-4)≥0}.
则M∩N=(x-2)2 (y-2)2≤2
(x-y)(x y-4)≥0
作出其交集部分可得如图所示,其面积为圆面积的一半,
即为12π·(2)2=π.
点评:求限制条件(一般用不等式组来表示)所表示平面区域的面积,一般分为如下步骤:①化简不等式②分析不等式表示的平面区域③画出草图分析可行域④结合平面几何知识求出面积.
3.数形结合解决函数图象交点(函数的零点、方程的根)的个数问题
例3 定义在R上的奇函数f(x),当x≥0时,f(x)=log12(x 1),x∈[0,1),
1-|x-3|,x∈[1, ∞),则关于x的函数F(x)=f(x)-a(0 解答:∵当x≥0时,
f(x)=log12(x 1),x∈[0,1),
1-|x-3|,x∈[1, ∞),
即x∈[0,1)时,f(x)=log12(x 1),
x∈[1,3]时,f(x)=x-2∈[-1,1];
x∈(3, ∞)时,f(x)=4-x∈(-∞,1);
画出x≥0时f(x)的图象,
再利用奇函数的对称性,画出x<0时f(x)的图象,如图所示;
则直线y=a,与y=f(x)的图象有5个交点,则方程f(x)-a=0共有五个实根,
最左边两根之和为-6,最右边两根之和为6,
∵x∈(-1,0)时,-x∈(0,1),
∴f(-x)=log12(-x 1), 又f(-x)=-f(x),
∴f(x)=-log12(-x 1)=log12(1-x)-1=log2(1-x),
∴中间的一个根满足log2(1-x)=a,即1-x=2a,
解得x=1-2a,
∴所有根的和为1-2a.
点评:将函数F(x)=f(x)-a(0 4.利用数形结合解决函数极值点问题
例4 已知函数f(x)=x(lnx-ax)有两个极值点,则实数a的取值范围是 .
解析:函数f(x)=x(lnx-ax),
则f′(x)=lnx-ax x(1x-a)=lnx-2ax 1,
令f′(x)=lnx-2ax 1=0得lnx=2ax-1,
函数f(x)=x(lnx-ax)有两个极值点,等价于f′(x)=lnx-2ax 1有两个零点,
等价于函数y=lnx与y=2ax-1的图象有两个交点,
在同一个坐标系中作出它们的图象(如图)
过点(0,-1)作y=lnx的切线,设切点为(x0,y0),则切线的斜率k=1x0,切线方程为y=1x0x-1.切点在切线上,则y0=x0x0-1=0,又切点在曲线y=lnx上,则lnx0=0x0=1,即切點为(1,0).切线方程为y=x-1.再由直线y=2ax-1与曲线y=lnx有两个交点,知直线y=2ax-1位于两直线y=0和y=x-1之间,如图所示,其斜率2a满足:0<2a<1,解得实数a的取值范围是(0,12).
点评:本题利用数形结合思想解决函数的零点问题,利用导数研究函数的单独性和极值问题.先求导函数,函数f(x)=x(lnx-ax)有两个极值点,等价于f′(x)=lnx-2ax 1有两个零点,等价于函数y=lnx与y=2ax-1的图象有两个交点,在同一个坐标系中作出它们的图象,再解出切线方程,由图可求得实数a的取值范围.
5.数形结合解决具有明显几何意义的式子
例5 已知函数f(x)=ax2 bx-1(a,b∈R且a>0)有两个零点,其中一个零点在区间(1,2)内,则ba 1的取值范围为 .
分析:先根据图象确定a,b满足的条件,然后利用ba 1的几何意义——两点(a,b),(-1,0)连线斜率求范围.
解析:因为a>0,所以二次函数f(x)的图象开口向上.
又f(0)=-1,所以要使函数f(x)的一个零点在区间(1,2)内,则有a>0
f(1)<0
f(2)>0即a>0
a b-1<0
4a 2b-1>0,
如图所示的阴影部分是上述不等式组所确定的平面区域,式子ba 1表示平面区域内的点P(a,b)与点Q(-1,0)连线的斜率.
而直线QA的斜率k=1-00-(-1)=1,直线4a 2b-1=0的斜率为-2,显然不等式组所表示的平面区域不包括边界,所以P,Q连线的斜率的取值范围为(-2,1).
点评:如果等式、代数式的结构蕴含着明显的几何特征,就要考虑用数形结合的思想方法来解题,即所谓的几何法求解,比较常见的对应有:(1)b-na-m(a,b)、(m,n)连线的斜率;(2)(a-m)2 (b-n)2(a,b)、(m,n)之间的距离;(3)a2 b2=c2a、b、c为直角三角形的三边;(4)f(a-x)=f(b x)f(x)图象的对称轴为x=a b2.只要具有一定的观察能力,再掌握常见的数与形的对应类型,就一定能得心应手地运用数形结合的思想方法.
6.数形结合解决解析几何问题
例6 过点(0,3)作直线l,如果它与双曲线x24-y23=1有且只有一个公共点,则直线l的条数是 .
解:如图:过A点可以做双曲线的两条切线,以及两条与渐近线平行的直线.
所以,有4条直线与双曲线有且只有一个公共点.答案:4条.
点评:利用数形结合思想讨论直线与双曲线的公共点的个数.用代数方法判断直线与双曲线的位置关系,将直线方程与双曲线方程联立,利用方程组、判别式等求解.当直线位置比较特殊时,如过原点、过定点等,结合图形,讨论直线与双曲线的公共点的个数.
7.数形结合在数列中的应用
例7 某厂2017年生产利润逐月增加,且每月增加的利润相同,但由于厂方正在改造建设,元月份投入资金建设恰好与元月的利润相等,随着投入资金的逐月增加,且每月增加投入的百分率相同,到12月投入建设资金又恰好与12月的生产利润相同,问全年总利润M与全年总投入N的大小关系是 .
解析:每月的利润组成一个等差数列{an},且公差d>0,每月的投资额组成一个等比数列{bn},且公比q>1.a1=b1,且a12=b12,比较S12与T12的大小.
若直接求和,很难比较出其大小,但注意到等差数列的通项公式an=a1 (n-1)d是关于n的一次函数,其图象是一条直线上的一些点列.等比数列的通项公式bn=b1·qn-1是关于n的指数函数,其图象是指数函数上的一些点列.在同一坐标系中画出图象如图所示,直观地可以看出ai≥bi,则S12>T12,即M>N.
点评:仔细阅读题目,明确题目表述的含义:每月的利润组成一个等差数列,每月的投资额组成一个等比数列.比较全年总利润M与全年总投入N的大小关系即比较S12与T12的大小.难于直接比较,利用数形结合思想易解. 8.数形结合解不等式问题
例8 设有函数f(x)=a -x2-4x和g(x)=43x 1,已知x∈[-4,0]时恒有f(x)≤g(x),求实数a的取值范围.
解:f(x)≤g(x),即a -x2-4x≤43x 1,
变形得-x2-4x≤43x 1-a,
令y=-x2-4x, ①
y=43x 1-a. ②
①变形得(x 2)2 y2=4(y≥0),
即表示以(-2,0)为圆心,2为半径的圆的上半圆;②表示斜率为43,纵截距为1-a的平行直线系.
设与圆相切的直线为AT,AT的直线方程为:
y=43x b(b>0),
则圆心(-2,0)到AT的距离为d=|-8 3b|5,由|-8 3b|5=2得,b=6或-23(舍去).
∴当1-a≥6即a≤-5时,f(x)≤g(x).
点评:解决含参数的不等式和不等式恒成立问题,可以将题目中的某些条件用图象表现出来,利用图象间的关系以形助数,求方程的解集或其中参数的范围.
9.数形结合解几何概型问题
例9 在区间[0,1]上随机取两个数x,y,记p1为事件“x y≥12”的概率,p2为事件“|x-y|≤12”的概率,p3为事件“xy≤12”的概率,则( )
A.p1
解析:因为x,y∈[0,1],对事件“x y≥12”,如图(1)阴影部分S1,
对事件“|x-y|≤12”,如图(2)阴影部分S2,
对为事件“xy≤12”,如图(3)阴影部分S3,
由图知,阴影部分的面积从小到大依次是S2
构成事件Α的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)可求.
10.数形结合思想在求几何量中最值问题中的应用
例10 在平面直角坐标系xOy中,过定点C(0,p)作直线与抛物线x2=2py(p>0)相交于A,B两点.
(1)若点N是点C关于坐标原点O的对称点,求△ANB面积的最小值;
(2)是否存在垂直于y轴的直线l,使得l被以AC为直径的圆截得的弦长恒为定值?若存在,求出l的方程;若不存在,请说明理由.
分析:(1)在直线AB变动的过程中,△ABN中存在一条长度不变的线段CN(长为2p),将△ABN面积分割为△ANC与△BNC的面积和,∴S△ABN=S△ANC S△BNC=p|x1-x2|.(2)求弦长时,构造直角三角形,求解.
解析:(1)如图所示,依题意,
点N的坐标为(0,-p),可设A(x1,y1),B(x2,y2).
直线AB的方程为y=kx p,与x2=2py联立,
消去y得x2-2pkx-2p2=0.
由根与系数的关系得x1 x2=2pk,x1x2=-2p2.
于是S△ABN=S△BCN S△ACN=12×2p|x1-x2|
=p|x1-x2|=p(x1 x2)2-4x1x2
=p4p2k2 8p2=2p2k2 2.
∴当k=0时,(S△ABN)min=22p2.
(2)如图所示,假设满足条件的直线l存在,其方程为y=a.
设AC的中点为O′,l与以AC为直径的圆相交于点P、Q,PQ的中点为H.
则O′H⊥PQ,O′点的坐标为(x12,y1 p2).
∵|O′P|=12|AC|
=12x21 (y1-p)2
=12y21 p2,
|O′H|=|a-y1 p2|=12|2a-y1-p|,
∴|PH|2=|O′P|2-|O′H|2=14(y21 p2)-14(2a-y1-p)2=(a-p2)y1 a(p-a),
∴|PQ|2=(2|PH|)2=4[(a-p2)y1 a(p-a)].
令a-p2=0,得a=p2,此時|PQ|=p为定值,
故满足条件的直线l存在,其方程为y=p2,即抛物线的通径所在的直线.
点评:本题是一个考查直线与圆锥曲线位置关系的开放性问题,数形结合思想中一个非常重要的方面是以数解形,通过方程等代数的方法来研究几何问题,也就是解析法,解析法与几何法结合来解题,会有更大的功效.此类题目的求解要结合该类图形的几何性质,将条件信息和结论信息结合在一起,观察图形特征,转化为代数语言,即方程(组)或不等式(组),从而将问题解决.
11.数形结合思想在立体几何中的应用
例11 在空间中,过点A作平面π的垂线,垂足为B,记B=fπ(A).设α,β是两个不同的平面,对空间任意一点P,Q1=fβ[fα(P)],Q2=fα[fβ(P)],恒有PQ1=PQ2,则( )
A.平面α与平面β垂直
B.平面α与平面β所成的(锐)二面角为45°
C.平面α与平面β平行
D.平面α与平面β所成的(锐)二面角为60°
解析:结合四个选项,采用依托立体模型(三棱锥、四棱锥、长方体、正方体及它们的残缺)找几何体的特征及几何量之间的位置关系.画出四个棱长为1的正方体,记平面A1B1C1D1为β,不妨设P∈α,如图1,取平面ADD1A1为α,恒有PQ1=PQ2;图2,取平面AB1C1D为α,P=A∈α,PQ1=1,PQ2=22,不满足PQ1=PQ2;图3,取平面ABCD为α,PQ1=1,P与Q2重合,PQ2=0,不满足PQ1=PQ2;图4,取平面EFA1D1为α,PQ1=1,PQ2=233,不满足PQ1=PQ2,易得选项A.
点评:本题根据所给出的新定义,采用依托立体模型(三棱锥、四棱锥、长方体、正方体及它们的残缺)找几何体的特征及几何量之间的位置关系判定两平面α,β所成角的大小,考查线面垂直的性质、二面角的平面角和面面垂直的定义等知识.
上述几个例题从不同侧面说明:在用代数与解析法解某些题遇到困难时,借助于几何图形来解,往往收到事半功倍的效果.但要注意利用数形结合思想解决问题时,要注意数与形的完整结合,由数想形时,一定要准确、全面,特别是图形一定要准确.数形结合常用的辅助工具有:数轴(直角坐标系)、两点间距离公式、向量的模、函数的图象、曲线的方程、直线的斜率、截距、二元一次不等式表示平面区域等.