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【中图分类号】D264 【文献标识码】A 【文章编号】1673-8209(2010)03-0-02
转化是一种特有的数学思想方法,转化思想的核心是“化生为熟、化繁为简、化未知为已知、化抽象为具体”,因此每解一道题,无论是难还是易,都离不开转化。下面介绍一些常用的转化方法,及其在解题中的应用。
1 数形转化
数形结合的思想,其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来,关键是代数问题与图形之间的相互转化,它可以使代数问题几何化,几何问题代数化。
例1.若方程lg(-x2+3x-m)=lg(3-x)在x∈(0,3)内有唯一解,求实数m的取值范围。
分析:将对数方程进行等价变形,转化为一元二次方程在某个范围内有实解的问题,再利用二次函数的图像进行解决。
略解:原方程变形为
即:
设曲线y1=(x-2)2,x∈(0,3)和直线y2=1-m,图像如图所示。由图可知:
①当1-m=0时,有唯一解,m=1;
②当1≤1-m<4时,有唯一解,即-3 ∴m=1或-3 评析:一般地,方程的解、不等式的解集、函数的性质等进行讨论时,可以借助于函数的图像直观解决,简单明了。
例2.设|z1|=5,|z2|=2,|z1-|=,求的值。
分析:利用复数模、四则运算的几何意义,将复数问题用几何图形帮助求解。
略解:如图,设z1=、z2=后,则如图所示。
由图可知,,∠AOD=∠BOC,由余弦定理得:
cos∠AOD=
∴
另解:设z1=、如图所示。则,且
cos∠AOD=,sin∠AOD=±,
所以,即
。
评析:本题运用“数形结合法”,把共轭复数的性质与复平面上的向量表示、代数运算的几何意义等都表达得淋漓尽致,体现了数形结合的生动活泼。
2 正反转化
例3:甲、乙、丙三人各进行一次射击,如果三人击中目标的概率都是0.6,计算至少有一人击中目标的概率。
分析:这个问题从正面分析来看包含三类,一类为一人击中两人未击中又有三种情况、一类为两人击中一人未击中又有三种情况、一类为三人均击中有一种情况共有七种情况。但从其反面分析来看,其对立事件只有三人均未击中,只有一种情况。
略解:P=1-(1-0.6) (1-0.6) (1-0.6)=0.936
评析:当正面讨论遇到困难时,应想到考虑问题的反面,在概率和排列组合问题中常会出现至多或至少这样的问题中使用正反转化比较简单。
例4:求常数m的范围,使曲线y=x2的所有弦都不能被直线y=m(x-3)垂直平分.
分析:直接求解较为困难,事实上,问题可以转化为:在曲线y=x2存在关于直线y=m(x-3)对称的两点,求m的范围。
略解:抛物线y=x2上存在两点(x1,x21)和(x2,x22)关于直线
y=m(x-3)对称,则
即消去x2得
∴存在∵上述方程有两个不同解∴△=>0
∴<0,从而m<
因此,原问题的解为{m|m≥｝
3 主次转化
利用主元与参变量的关系,视参变量为主元(即变量与主元的角色换位)常常可以简化问题的解决。
例5:若对于满足的所有m恒成立,求x的取值范围。
分析:不等式恒成立可借助于函数,因此本题仍是寻找适合的函数模型。本题若以x为主变元,是关于x的二次函数,而如果以m为主变元,则是关于m的一次函数,问题就简明很多。
略解:记,则原命题就是对于时,一次函数恒成立。由一次函数图象及性质知:
由此得:
评析:本题是不等式中恒成立的典型问题,其解法“巧”在看问题的角度进行改变,把复杂问题化为简单问题,关键把m作为主变元。
例6:设y为实数,则x的取值范围是:___________
分析:把看作是关于y的二次方程,则利用△≥0求解x的范围。
略解:把看作是关于y的二次方程,因为y为实数,所以方程有解。∴△=
∴{x|x≤-2或x≥3｝
4 陌生与熟悉的转化
把一个复杂的、陌生的问题转化为简单的、熟悉的问题来解决,这是数学解题的一条重要原则。
例7:某学校为了教职工的住房问题,计划征用一块土地盖一幢总建筑面积为A(m2)的宿舍楼,已知土地的征用费为2388元/m2,且每层的建筑面积相同,土地的征用面积为第一层的2.5倍.经工程技术人员核算,第一、二层的建筑费用相同都为445元/m2,以后每增高一层,其建筑费用就增加30元/m2.试设计这幢宿舍楼的楼高层数,使总费用最少,并求出其最少费用.(总费用为建筑费用和征地费用之和).
分析:想想看, 需要引入哪些字母? 怎样建构数学模型?可以转化为什么知识?
略解:设楼高为n层,总费用为y元,则征地面积为,征地费用为元,楼层建筑费用为
[445+445+(445+30)+(445+30×2)+…+445+30×(n-2)]·元,从而
(元)
当且仅当,n=20(层)时,总费用y最少.
故当这幢宿舍楼的楼高层数为20层时, 最少总费用为1000A元.
评析:把一个原本陌生的问题,转化到数列求和问题,进而利用基本不等式来解决问题。在对问题的转化过程中进一步挖掘了问题的内涵,通过对问题的反思、再加工后,使问题直观、形象,使解答更清新。
例8:两条异面直线称为“一对”,则在正方体八个顶点间的所有连线中,成异面直线的共有多少对?
分析:如果以其中一条棱进行分类的话,很难搞清“重”和“漏”。然而我们对以下两题很熟悉:①以正方体的八个顶点为顶点的三棱锥有多少个?②如果两条异面直线称为“一对”的话,任一三棱锥中有多少对异面直线?
略解:故可把本题分解成两个熟悉的问题,即考虑一种对应。由于①的答案是个;②的答案是3对,故本题答案为对。
评析:直接寻找异面直线的对数很繁且易漏,而引入三棱锥通过计算三棱锥个数,使得三棱锥的个数与异面直线的对数建立了一个对应,从而使问题转化为我们所熟悉的
总之,本文只是从转化方法的角度出发,从一些具体例子体现了转化在高中数学中的应用,这些方法相互联系,组合应用,并不孤立。正反转化从集合的角度来看就是“补集”的思想。将陌生变为熟悉,是解每一道题的一般过程。主次转化的方法,是如何看待一个等式(或不等式)中的两个元素的地位,只要需要,就可以把其中任何一个元素看作“主”要元素来解题。转化思想在教学中应用非常普遍,我们在解每一道题时,实际上都在转化和类比。将问题由繁转易,由陌生的问题转为熟悉的问题,从而从问题得到解决。
转化是一种特有的数学思想方法,转化思想的核心是“化生为熟、化繁为简、化未知为已知、化抽象为具体”,因此每解一道题,无论是难还是易,都离不开转化。下面介绍一些常用的转化方法,及其在解题中的应用。
1 数形转化
数形结合的思想,其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来,关键是代数问题与图形之间的相互转化,它可以使代数问题几何化,几何问题代数化。
例1.若方程lg(-x2+3x-m)=lg(3-x)在x∈(0,3)内有唯一解,求实数m的取值范围。
分析:将对数方程进行等价变形,转化为一元二次方程在某个范围内有实解的问题,再利用二次函数的图像进行解决。
略解:原方程变形为
即:
设曲线y1=(x-2)2,x∈(0,3)和直线y2=1-m,图像如图所示。由图可知:
①当1-m=0时,有唯一解,m=1;
②当1≤1-m<4时,有唯一解,即-3
例2.设|z1|=5,|z2|=2,|z1-|=,求的值。
分析:利用复数模、四则运算的几何意义,将复数问题用几何图形帮助求解。
略解:如图,设z1=、z2=后,则如图所示。
由图可知,,∠AOD=∠BOC,由余弦定理得:
cos∠AOD=
∴
另解:设z1=、如图所示。则,且
cos∠AOD=,sin∠AOD=±,
所以,即
。
评析:本题运用“数形结合法”,把共轭复数的性质与复平面上的向量表示、代数运算的几何意义等都表达得淋漓尽致,体现了数形结合的生动活泼。
2 正反转化
例3:甲、乙、丙三人各进行一次射击,如果三人击中目标的概率都是0.6,计算至少有一人击中目标的概率。
分析:这个问题从正面分析来看包含三类,一类为一人击中两人未击中又有三种情况、一类为两人击中一人未击中又有三种情况、一类为三人均击中有一种情况共有七种情况。但从其反面分析来看,其对立事件只有三人均未击中,只有一种情况。
略解:P=1-(1-0.6) (1-0.6) (1-0.6)=0.936
评析:当正面讨论遇到困难时,应想到考虑问题的反面,在概率和排列组合问题中常会出现至多或至少这样的问题中使用正反转化比较简单。
例4:求常数m的范围,使曲线y=x2的所有弦都不能被直线y=m(x-3)垂直平分.
分析:直接求解较为困难,事实上,问题可以转化为:在曲线y=x2存在关于直线y=m(x-3)对称的两点,求m的范围。
略解:抛物线y=x2上存在两点(x1,x21)和(x2,x22)关于直线
y=m(x-3)对称,则
即消去x2得
∴存在∵上述方程有两个不同解∴△=>0
∴<0,从而m<
因此,原问题的解为{m|m≥｝
3 主次转化
利用主元与参变量的关系,视参变量为主元(即变量与主元的角色换位)常常可以简化问题的解决。
例5:若对于满足的所有m恒成立,求x的取值范围。
分析:不等式恒成立可借助于函数,因此本题仍是寻找适合的函数模型。本题若以x为主变元,是关于x的二次函数,而如果以m为主变元,则是关于m的一次函数,问题就简明很多。
略解:记,则原命题就是对于时,一次函数恒成立。由一次函数图象及性质知:
由此得:
评析:本题是不等式中恒成立的典型问题,其解法“巧”在看问题的角度进行改变,把复杂问题化为简单问题,关键把m作为主变元。
例6:设y为实数,则x的取值范围是:___________
分析:把看作是关于y的二次方程,则利用△≥0求解x的范围。
略解:把看作是关于y的二次方程,因为y为实数,所以方程有解。∴△=
∴{x|x≤-2或x≥3｝
4 陌生与熟悉的转化
把一个复杂的、陌生的问题转化为简单的、熟悉的问题来解决,这是数学解题的一条重要原则。
例7:某学校为了教职工的住房问题,计划征用一块土地盖一幢总建筑面积为A(m2)的宿舍楼,已知土地的征用费为2388元/m2,且每层的建筑面积相同,土地的征用面积为第一层的2.5倍.经工程技术人员核算,第一、二层的建筑费用相同都为445元/m2,以后每增高一层,其建筑费用就增加30元/m2.试设计这幢宿舍楼的楼高层数,使总费用最少,并求出其最少费用.(总费用为建筑费用和征地费用之和).
分析:想想看, 需要引入哪些字母? 怎样建构数学模型?可以转化为什么知识?
略解:设楼高为n层,总费用为y元,则征地面积为,征地费用为元,楼层建筑费用为
[445+445+(445+30)+(445+30×2)+…+445+30×(n-2)]·元,从而
(元)
当且仅当,n=20(层)时,总费用y最少.
故当这幢宿舍楼的楼高层数为20层时, 最少总费用为1000A元.
评析:把一个原本陌生的问题,转化到数列求和问题,进而利用基本不等式来解决问题。在对问题的转化过程中进一步挖掘了问题的内涵,通过对问题的反思、再加工后,使问题直观、形象,使解答更清新。
例8:两条异面直线称为“一对”,则在正方体八个顶点间的所有连线中,成异面直线的共有多少对?
分析:如果以其中一条棱进行分类的话,很难搞清“重”和“漏”。然而我们对以下两题很熟悉:①以正方体的八个顶点为顶点的三棱锥有多少个?②如果两条异面直线称为“一对”的话,任一三棱锥中有多少对异面直线?
略解:故可把本题分解成两个熟悉的问题,即考虑一种对应。由于①的答案是个;②的答案是3对,故本题答案为对。
评析:直接寻找异面直线的对数很繁且易漏,而引入三棱锥通过计算三棱锥个数,使得三棱锥的个数与异面直线的对数建立了一个对应,从而使问题转化为我们所熟悉的
总之,本文只是从转化方法的角度出发,从一些具体例子体现了转化在高中数学中的应用,这些方法相互联系,组合应用,并不孤立。正反转化从集合的角度来看就是“补集”的思想。将陌生变为熟悉,是解每一道题的一般过程。主次转化的方法,是如何看待一个等式(或不等式)中的两个元素的地位,只要需要,就可以把其中任何一个元素看作“主”要元素来解题。转化思想在教学中应用非常普遍,我们在解每一道题时,实际上都在转化和类比。将问题由繁转易,由陌生的问题转为熟悉的问题,从而从问题得到解决。