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【摘 要】只有认真研读教材，挖掘提炼数学知识背后蕴藏的数学思想方法，才能通过日常教学活动让学生经历数学知识的形成，有效落地思想方法的教学，最终达成发展学生数学素养的目标。
【关键词】感受数学思想;体会数学思想;感悟数学思想;建立数学思想
【中图分类号】G623.5 【文献标识码】A 【文章编号】1671-8437（2021）10-0210-02
《义务教育数学课程标准》在阐述课程目标时明确指出：通过义务教育阶段的数学学习，学生能获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学基础知识、基本技能、基本思想、基本活动的经验。长期以来，一线数学教师往往关注教材中显性的基础知识，也有意识地培养学生的一些基本技能，但对蕴含于知识中的数学思想往往不清楚，更不重视，而数学思想的提炼与教学恰恰是培养学生思维能力、提高学生解决问题能力的关键，是学生进一步发展数学素养必需的部分。本文结合苏教版五年级“解决问题的策略——画线段图”一课的教学，阐述如何在学生知识形成中落实数学思想方法的教学[1]。
1 在回顾整理的过程中，感受数形结合的思想
1.1 从生长点引入
在复习引入环节，出示问题。小军：我有8枚邮票。芳芳：我有12枚邮票。思考：要让两人的邮票枚数一样多，有什么办法？
分别用红色和蓝色的圆片代表两人的邮票，摆一摆，体会这样摆有什么好处？
学生看着圆片，思考出了三种不同的解决方案：①小军添上4枚邮票。②芳芳拿走4枚邮票。③拿出芳芳的2枚邮票给小军。
对二年级旧知识进行回顾，用不同颜色的圆片代表邮票，一个对着一个进行排列，既有助于让学生感受符号表示的简洁美，又能让学生体会一一对应的清晰与方便。导入活动，从学生学习的生长点引入符号思想、对应思想，合理渗透数形结合思想，帮助学生把抽象的知识直观化，有助于学生比较两个量，用假设的多种方法解决“同样多”的问题，为新知的展开做好必要的铺垫。
1.2 在联系处加强
在教学“画线段图解决实际问题”的新知后，再引导学生回顾以往所学的内容，启发学生开展讨论活动：在以往的学习中，还有哪些地方也用到过画图的策略？
学生1：低年级认数的时候，每10个数一组，能帮助我们数出一共有几十个数。
学生2：在学习平均分的时候，我们会用圈一圈或者连一连的方法表示平均分的结果。
学生3：还通过画一画、圈一圈的方法，认识了一个数是另一个数的几倍。
学生4：解决实际问题的时候，有时也要画示意图或者线段图表示已知的条件和要求的问题。
学生5：学习周期问题的时候，用画图表示规律。
……
不同的学段，不同的学习内容，都用到了画图的策略。学生在知识回顾整理的过程中可再次体会数形结合思想方法在数学知识形成中的广泛适用性，以及数学知识学习中的重要价值[2]。
2 在两次改编的过程中，体会转化的数学思想
在教学新知的过程中，不直接出示例题，而是对复习题进行两次改编，在新旧知识之间架构一个桥梁，这有助于学生更顺利地理解和运用转化思想解决问题。
（1）第一次改编：小宁和小春共有邮票72枚，已知两人的邮票枚数一样多，两人各有邮票多少枚？
提问：如果让你用画图的方法来表示题中的信息，你打算怎么画？
在学生独立画图的过程中，发现个别学生试图画圆片，但难以画出，更多的学生开始尝试画线段图。
追问：为什么这次不再画圆片图，而是画线段图？
发现：这里小宁和小春的邮票数都不确定，没有办法用圆片表示，而用两段相同长度的线段能正确表示两人邮票数量间的关系，这里使用线段图更恰当、合适。
根据画出的线段图，学生发现这其实是关于平均分的问题，可以用除法72÷2计算出两人均有36枚邮票。
（2）第二次改编：小宁和小春共有邮票72枚，小春比小宁多12枚。两人各有邮票多少枚？
让学生根据题中的信息和问题，再次尝试画线段图，并比对题目中的信息和问题，逐步完善。
提问：读题解答，你是愿意看上面的文字信息还是看刚才完成的线段图，为什么？
学生几乎异口同声地选择看线段图，他们在选择比较的过程中体会到：线段图同样能展示题目中的信息和问题，且比文字描述更直观清晰，便于比较数量关系。
（3）利用两幅线段图，针对两次改编的习题进行比较：这两道题中，同样知道两人邮票的总数，而对小春和小宁各有多少枚邮票都不确定，你觉得解决哪一题更简单？为什么？
学生在对比中发现当小春和小宁的邮票枚数存在“同样多”这一特殊情况的时候，其实就是把两个量变成了一个量，可以直接用除法表示平均分，求出两人各有多少枚;而在小春和小宁的邮票枚数不同样的情况下，求两者各自的枚数也就是要求两个不同的量，这就存在一定的困难。
在比较中学生产生了把两个不同的量轉化成一个量的需求，此时笔者适时点拨：那你能不能把这个困难的问题转化成刚才简单的问题呢？能否想办法让两人的邮票枚数变得同样多，然后再解决这个问题呢？请学生试着讨论，利用线段图来操作。
两次改编，在难度上是递进的，能充分调动学生的挑战意识与探索兴趣。学生在解决问题的过程中能自然而然地体会到把繁琐的文字转化为线段图清晰、简明的优势，又在比较中明确操作活动的方向，也就是把两人不同的邮票枚数变成两人同样多的邮票枚数，把两个量转化成一个量。这样的活动过程，以“转化”的数学思想引领，化困难问题为简单问题，化陌生问题为熟悉问题，学生的学习活动目标指向明确，真正做到有的放矢。 3 在操作和比较的过程中，感悟优化的数学思想
对复习题的第一次改编使学生体会到了圆片图的不足，他们转而采用线段图，这同样是数形结合的体现。学生在弃与选的过程中体会到了优化的数学思想，对数学方法应用性的认识得到了相应提高。
学生在讨论活动中发现对同一类型的复习题，可采用假设的方法，使两人的邮票枚数同样多。小组学生发言的过程中，一人用语言表达想法，一人上台操作，对原有的线段图进行修改，动态生成了新的线段图。这样的过程让学生真实地经历了转化，体会了假设过程中信息是怎样发生变化的。
（1）在线段图中将小春多出的12枚邮票去掉，两人邮票数量变得相同。
发现：不变的量：小宁（72?12）÷2=30（枚）;变化的量：小春30+12=42（枚）
（2）在线段图上给小宁补上少的12枚邮票，两人邮票数量变得相同。
发现：不变的量：小春（72+12）÷2=42（枚）;变化的量：小宁42?12=30（枚）
（3）在线段图上小春把多出的12枚邮票分一半给小宁，两人邮票数量变得相同。
发现：不变的量：小宁和小春的邮票总数;变化的量：小宁72÷2?12÷2=30（枚），小春 72÷2+12÷2=42（枚）
通过对线段图的动态操作，学生判别出了算式中不变和变化的量，再对应到算式，发现了不同的解决方法。对比三种方法，都有着相同的解题思路，即“把两个不同的量转化成一个相同的量”;第一、二种解法下，两个量中只有其中一个量发生变化，思考过程与计算过程都更方便，而第三种方法下，两个量都发生了改变，要求将转化前的量还原两次，比较麻烦。
学生在操作、评价、比较的过程中发现了不同思路中相同的本质，感悟了不同的假设方法，同时还进行了优化，得出了更佳的解题思路。
4 在实践应用的过程中，建立数学的模型思想
《义务教育数学课程标准》明确指出，在运用数学知识解决问题的活动中，应体现“问题情境—建立模型—求解验证”的过程，这个过程要有利于学生理解和掌握相关的知识技能，感悟数学思想，积累活动经验。本课的教学活动正是依据这样的过程设计与推进的，体现了构建模型这一数学基本思想。从复习题到两次改编，以题组的形式让学生经历对具体情境的抽象，进而把握例题的本质，探索出解决这类问题的一个优化后的数学模型。
新授本课后，教师还可以安排一些变式和延伸训练：
（1）李娟在手工课上剪了4条花边，共90厘米。其中有3条同样長，还有1条比其余的花边长10厘米。算一算每条花边长多少厘米？
（2）小明做游泳准备运动，他沿长和宽相差30米的游泳池跑了5圈，共跑了700米。问游泳池的长和宽各是多少米？
学生在后续练习中能剥离变式、延伸题中复杂的数学情境外壳，找出这类题的本质特征，进而用学到的数学模型去解决问题，其分析和解决问题的能力得到提高，应用与创新意识得以增强。
综上所述，数学思想是数学的高度抽象、是数学的灵魂，学生领悟、收获数学知识背后的思想，必须要经历具体的学习过程。只有在教学中增强学生的学习活动体验，才能落地数学思想方法的教学，并发展学生综合运用数学思想方法分析问题、解决问题的能力，最终提高学生的数学素养。
【参考文献】
[1]高建军.核心素养视角下对义务教育数学课程标准的研究[J].学周刊，2019（25）.
[2]葛中余.小学数学课堂中思想方法的渗透[J].清风，2020（22）.
【关键词】感受数学思想;体会数学思想;感悟数学思想;建立数学思想
【中图分类号】G623.5 【文献标识码】A 【文章编号】1671-8437（2021）10-0210-02
《义务教育数学课程标准》在阐述课程目标时明确指出：通过义务教育阶段的数学学习，学生能获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学基础知识、基本技能、基本思想、基本活动的经验。长期以来，一线数学教师往往关注教材中显性的基础知识，也有意识地培养学生的一些基本技能，但对蕴含于知识中的数学思想往往不清楚，更不重视，而数学思想的提炼与教学恰恰是培养学生思维能力、提高学生解决问题能力的关键，是学生进一步发展数学素养必需的部分。本文结合苏教版五年级“解决问题的策略——画线段图”一课的教学，阐述如何在学生知识形成中落实数学思想方法的教学[1]。
1 在回顾整理的过程中，感受数形结合的思想
1.1 从生长点引入
在复习引入环节，出示问题。小军：我有8枚邮票。芳芳：我有12枚邮票。思考：要让两人的邮票枚数一样多，有什么办法？
分别用红色和蓝色的圆片代表两人的邮票，摆一摆，体会这样摆有什么好处？
学生看着圆片，思考出了三种不同的解决方案：①小军添上4枚邮票。②芳芳拿走4枚邮票。③拿出芳芳的2枚邮票给小军。
对二年级旧知识进行回顾，用不同颜色的圆片代表邮票，一个对着一个进行排列，既有助于让学生感受符号表示的简洁美，又能让学生体会一一对应的清晰与方便。导入活动，从学生学习的生长点引入符号思想、对应思想，合理渗透数形结合思想，帮助学生把抽象的知识直观化，有助于学生比较两个量，用假设的多种方法解决“同样多”的问题，为新知的展开做好必要的铺垫。
1.2 在联系处加强
在教学“画线段图解决实际问题”的新知后，再引导学生回顾以往所学的内容，启发学生开展讨论活动：在以往的学习中，还有哪些地方也用到过画图的策略？
学生1：低年级认数的时候，每10个数一组，能帮助我们数出一共有几十个数。
学生2：在学习平均分的时候，我们会用圈一圈或者连一连的方法表示平均分的结果。
学生3：还通过画一画、圈一圈的方法，认识了一个数是另一个数的几倍。
学生4：解决实际问题的时候，有时也要画示意图或者线段图表示已知的条件和要求的问题。
学生5：学习周期问题的时候，用画图表示规律。
……
不同的学段，不同的学习内容，都用到了画图的策略。学生在知识回顾整理的过程中可再次体会数形结合思想方法在数学知识形成中的广泛适用性，以及数学知识学习中的重要价值[2]。
2 在两次改编的过程中，体会转化的数学思想
在教学新知的过程中，不直接出示例题，而是对复习题进行两次改编，在新旧知识之间架构一个桥梁，这有助于学生更顺利地理解和运用转化思想解决问题。
（1）第一次改编：小宁和小春共有邮票72枚，已知两人的邮票枚数一样多，两人各有邮票多少枚？
提问：如果让你用画图的方法来表示题中的信息，你打算怎么画？
在学生独立画图的过程中，发现个别学生试图画圆片，但难以画出，更多的学生开始尝试画线段图。
追问：为什么这次不再画圆片图，而是画线段图？
发现：这里小宁和小春的邮票数都不确定，没有办法用圆片表示，而用两段相同长度的线段能正确表示两人邮票数量间的关系，这里使用线段图更恰当、合适。
根据画出的线段图，学生发现这其实是关于平均分的问题，可以用除法72÷2计算出两人均有36枚邮票。
（2）第二次改编：小宁和小春共有邮票72枚，小春比小宁多12枚。两人各有邮票多少枚？
让学生根据题中的信息和问题，再次尝试画线段图，并比对题目中的信息和问题，逐步完善。
提问：读题解答，你是愿意看上面的文字信息还是看刚才完成的线段图，为什么？
学生几乎异口同声地选择看线段图，他们在选择比较的过程中体会到：线段图同样能展示题目中的信息和问题，且比文字描述更直观清晰，便于比较数量关系。
（3）利用两幅线段图，针对两次改编的习题进行比较：这两道题中，同样知道两人邮票的总数，而对小春和小宁各有多少枚邮票都不确定，你觉得解决哪一题更简单？为什么？
学生在对比中发现当小春和小宁的邮票枚数存在“同样多”这一特殊情况的时候，其实就是把两个量变成了一个量，可以直接用除法表示平均分，求出两人各有多少枚;而在小春和小宁的邮票枚数不同样的情况下，求两者各自的枚数也就是要求两个不同的量，这就存在一定的困难。
在比较中学生产生了把两个不同的量轉化成一个量的需求，此时笔者适时点拨：那你能不能把这个困难的问题转化成刚才简单的问题呢？能否想办法让两人的邮票枚数变得同样多，然后再解决这个问题呢？请学生试着讨论，利用线段图来操作。
两次改编，在难度上是递进的，能充分调动学生的挑战意识与探索兴趣。学生在解决问题的过程中能自然而然地体会到把繁琐的文字转化为线段图清晰、简明的优势，又在比较中明确操作活动的方向，也就是把两人不同的邮票枚数变成两人同样多的邮票枚数，把两个量转化成一个量。这样的活动过程，以“转化”的数学思想引领，化困难问题为简单问题，化陌生问题为熟悉问题，学生的学习活动目标指向明确，真正做到有的放矢。 3 在操作和比较的过程中，感悟优化的数学思想
对复习题的第一次改编使学生体会到了圆片图的不足，他们转而采用线段图，这同样是数形结合的体现。学生在弃与选的过程中体会到了优化的数学思想，对数学方法应用性的认识得到了相应提高。
学生在讨论活动中发现对同一类型的复习题，可采用假设的方法，使两人的邮票枚数同样多。小组学生发言的过程中，一人用语言表达想法，一人上台操作，对原有的线段图进行修改，动态生成了新的线段图。这样的过程让学生真实地经历了转化，体会了假设过程中信息是怎样发生变化的。
（1）在线段图中将小春多出的12枚邮票去掉，两人邮票数量变得相同。
发现：不变的量：小宁（72?12）÷2=30（枚）;变化的量：小春30+12=42（枚）
（2）在线段图上给小宁补上少的12枚邮票，两人邮票数量变得相同。
发现：不变的量：小春（72+12）÷2=42（枚）;变化的量：小宁42?12=30（枚）
（3）在线段图上小春把多出的12枚邮票分一半给小宁，两人邮票数量变得相同。
发现：不变的量：小宁和小春的邮票总数;变化的量：小宁72÷2?12÷2=30（枚），小春 72÷2+12÷2=42（枚）
通过对线段图的动态操作，学生判别出了算式中不变和变化的量，再对应到算式，发现了不同的解决方法。对比三种方法，都有着相同的解题思路，即“把两个不同的量转化成一个相同的量”;第一、二种解法下，两个量中只有其中一个量发生变化，思考过程与计算过程都更方便，而第三种方法下，两个量都发生了改变，要求将转化前的量还原两次，比较麻烦。
学生在操作、评价、比较的过程中发现了不同思路中相同的本质，感悟了不同的假设方法，同时还进行了优化，得出了更佳的解题思路。
4 在实践应用的过程中，建立数学的模型思想
《义务教育数学课程标准》明确指出，在运用数学知识解决问题的活动中，应体现“问题情境—建立模型—求解验证”的过程，这个过程要有利于学生理解和掌握相关的知识技能，感悟数学思想，积累活动经验。本课的教学活动正是依据这样的过程设计与推进的，体现了构建模型这一数学基本思想。从复习题到两次改编，以题组的形式让学生经历对具体情境的抽象，进而把握例题的本质，探索出解决这类问题的一个优化后的数学模型。
新授本课后，教师还可以安排一些变式和延伸训练：
（1）李娟在手工课上剪了4条花边，共90厘米。其中有3条同样長，还有1条比其余的花边长10厘米。算一算每条花边长多少厘米？
（2）小明做游泳准备运动，他沿长和宽相差30米的游泳池跑了5圈，共跑了700米。问游泳池的长和宽各是多少米？
学生在后续练习中能剥离变式、延伸题中复杂的数学情境外壳，找出这类题的本质特征，进而用学到的数学模型去解决问题，其分析和解决问题的能力得到提高，应用与创新意识得以增强。
综上所述，数学思想是数学的高度抽象、是数学的灵魂，学生领悟、收获数学知识背后的思想，必须要经历具体的学习过程。只有在教学中增强学生的学习活动体验，才能落地数学思想方法的教学，并发展学生综合运用数学思想方法分析问题、解决问题的能力，最终提高学生的数学素养。
【参考文献】
[1]高建军.核心素养视角下对义务教育数学课程标准的研究[J].学周刊，2019（25）.
[2]葛中余.小学数学课堂中思想方法的渗透[J].清风，2020（22）.