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题目一旦获解,则心满意足,若抛之脑后,就可能错过了提高的机会,对一些习题的深入探究与引申是极为重要环节,下面笔者以一道中考题为例谈谈自己的认识。
如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AB=7,AD=2,BC=3,问在边AB上是否存在点P,使得△PAD与△PBC相似?若存在,求出点P的位置;若不存在,说明理由。
解法:解:设AP=x。此题分两种情况:
综上所述,当AP= ,1或6时,△PAD与△PBC相似。
变式:解答一道数学题,若能将其中的条件、结论或问题的呈现方式作一些改变,可以促使学生随时根据变化的条件积极思考进行类比,提炼解题方法,从而培养学生思维的灵活性。我们对这道中考题进行条件变式:
变式1:如图1,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AB=7,AD=2,BC=8,问在边AB上是否存在点P,使得△PAD与△PBC相似?若存在,求出点P的位置;若不存在,说明理由。
解法:解:设AP=x。此题分两种情况:
综上所述,当AP= 时,△PAD与△PBC相似。
变式2:如图2,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AB=6,AD=1,BC=9,问在边AB上是否存在点P,使得△PAD与△PBC相似?若存在,求出点P的位置;若不存在,说明理由。
解法:解:设AP=x。此题分两种情况:
综上所述,当AP= 或3时,△PAD与△PBC相似。
引申:数学思想是解题的灵魂,数学方法是解题的钥匙,在解题中,有针对性地深入探究,对习题进行引申,运用数学思想,提炼解题方法,总结解题规律,是开发学生思维,培养学生创新能力的一个重要途径。对这道中考题,作如下的引申探究:
如图3,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AD=a,AB=b,BC=c,问在边AB上找一点P,使得△PAD与△PBC相似,这样的P点是否存在?存在几个?并说明你的理由。
解法:解:设AP=x。此题分两种情况:
① 当时b -4ac>0,此方程有两个不相等的实数根。
但有一种特殊情况,当b=a+c时,b -4ac=(a+c) -4ac=(a-c) >0此方程有两个不相等的实数根,解得:x =a,x =c。这时
x= = =a,两点重复,这时点P只有两个。
②当b -4ac=0时,此方程有两个相等的实数根。
③当b -4ac<0时,此方程没有实数根。
综上所述,当b -4ac>0,且b≠a+c时,点P存在3个,使△PAD与△PBC相似;当b -4ac=0,或b=a+c时,点P存在2个,使△PAD与△PBC相似;当b -4ac<0,点P存在1个,使△PAD与△PBC相似。
“习题是数学的心脏”,在解题和教学中,适当地引导学生对习题深思,深入探究、引申,寻找解题方法、规律,有利于激发学生学数学、用数学的兴趣,有利于开发学生的潜在智能,有利于培养学生的创新能力。
参考文献:
[1]喻平.数学问题化归理论与方法[M].桂林:广西师范大学出版社,1999.
[2]雷明生.浅谈数学解题的思维程序[J].桂林:中学数学杂志,2000.1.
[3]赵晓雅.在数学教学中培养学生反思的习惯[J].桂林:中学数学,2002.4.
[4]G•波利亚.怎样解题[M].北京:科学出版社,1982.
[5]刘喆.改进教师教师工作方式,促成学生有效学习[J].人民教育,2006.5.
[6]巨申文.趣谈数学思想方法[M].西安:西安地图出版社,1996.
注:“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AB=7,AD=2,BC=3,问在边AB上是否存在点P,使得△PAD与△PBC相似?若存在,求出点P的位置;若不存在,说明理由。
解法:解:设AP=x。此题分两种情况:
综上所述,当AP= ,1或6时,△PAD与△PBC相似。
变式:解答一道数学题,若能将其中的条件、结论或问题的呈现方式作一些改变,可以促使学生随时根据变化的条件积极思考进行类比,提炼解题方法,从而培养学生思维的灵活性。我们对这道中考题进行条件变式:
变式1:如图1,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AB=7,AD=2,BC=8,问在边AB上是否存在点P,使得△PAD与△PBC相似?若存在,求出点P的位置;若不存在,说明理由。
解法:解:设AP=x。此题分两种情况:
综上所述,当AP= 时,△PAD与△PBC相似。
变式2:如图2,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AB=6,AD=1,BC=9,问在边AB上是否存在点P,使得△PAD与△PBC相似?若存在,求出点P的位置;若不存在,说明理由。
解法:解:设AP=x。此题分两种情况:
综上所述,当AP= 或3时,△PAD与△PBC相似。
引申:数学思想是解题的灵魂,数学方法是解题的钥匙,在解题中,有针对性地深入探究,对习题进行引申,运用数学思想,提炼解题方法,总结解题规律,是开发学生思维,培养学生创新能力的一个重要途径。对这道中考题,作如下的引申探究:
如图3,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AD=a,AB=b,BC=c,问在边AB上找一点P,使得△PAD与△PBC相似,这样的P点是否存在?存在几个?并说明你的理由。
解法:解:设AP=x。此题分两种情况:
① 当时b -4ac>0,此方程有两个不相等的实数根。
但有一种特殊情况,当b=a+c时,b -4ac=(a+c) -4ac=(a-c) >0此方程有两个不相等的实数根,解得:x =a,x =c。这时
x= = =a,两点重复,这时点P只有两个。
②当b -4ac=0时,此方程有两个相等的实数根。
③当b -4ac<0时,此方程没有实数根。
综上所述,当b -4ac>0,且b≠a+c时,点P存在3个,使△PAD与△PBC相似;当b -4ac=0,或b=a+c时,点P存在2个,使△PAD与△PBC相似;当b -4ac<0,点P存在1个,使△PAD与△PBC相似。
“习题是数学的心脏”,在解题和教学中,适当地引导学生对习题深思,深入探究、引申,寻找解题方法、规律,有利于激发学生学数学、用数学的兴趣,有利于开发学生的潜在智能,有利于培养学生的创新能力。
参考文献:
[1]喻平.数学问题化归理论与方法[M].桂林:广西师范大学出版社,1999.
[2]雷明生.浅谈数学解题的思维程序[J].桂林:中学数学杂志,2000.1.
[3]赵晓雅.在数学教学中培养学生反思的习惯[J].桂林:中学数学,2002.4.
[4]G•波利亚.怎样解题[M].北京:科学出版社,1982.
[5]刘喆.改进教师教师工作方式,促成学生有效学习[J].人民教育,2006.5.
[6]巨申文.趣谈数学思想方法[M].西安:西安地图出版社,1996.
注:“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”