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根据黎曼流形上Laplace算子的定义式,将散度算子作用于黎曼流形上的光滑函数的梯度场,从而得到一个二阶椭圆微分算子。首先将黎曼流形特殊成欧氏空间,通过计算直接推导出三维欧氏空间中直角坐标系下的Laplace算子的表达式,然后应用欧氏空间中直角坐标系与柱坐标系以及球坐标系之间的变换公式,通过计算推导出Laplace算子分别在柱坐标系以及球坐标系下的具体表达式。