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摘 要：本文先用实例说明什么是常规思维和创造性思维以及它们之间的关系；其次，论述了用创造性思维解测量井深与绳长的“古代问题”，并引出互逆思维的创造性思维方法；最后，用“鸡兔同笼”问题的创造性思维来说明创造想象在创造性思维中的特殊、重要的作用.
关键词：常规思维；创造性思维；互逆思维；联想；想象
波利亚说：“中学数学教学的首要任务就是加强解题训练.” 本文提出的是要加强解应用题的思维训练.
■常规解与创造性思维解的比较
例1 甲、乙两地相距36千米，某人骑自行车去时是一段上坡路与另一段坡度相同的下坡路，去时用2小时40分钟，回来时只用了2小时20分钟，并知走下坡路比走上坡路每小时快6千米，问上坡路每小时多少千米？
笔者把小黑板的例1往上一放，全班学生正拿草稿纸作，小芳与小华在黑板两边也开始板书.
小华用的是常规思维的解法：设上坡路每小时x千米， 下坡路y千米， 则依题意有下列分式方程组
■+■=2■，（1）■+■=2■，（2）
教师：你这个分式方程组是怎么来的？你的方程组如何以语言信息的形式来表达呢？
小华：第一个分式方程是去时一段上坡路某人骑自行车去时所花的时间加上他下坡路所走的时间和是2小时40分钟；第二个分式方程是他下坡路所花时间加上他上坡路所走的时间和是2小时20分钟.
小芳用创造性思维的解法：设上坡路速度为每小时x千米， 并把一去一回视为一个整体. 一去一回上坡与下坡路程都是36千米，依题意得分式方程■+■=5，（3）
教师：你这个分式方程是怎么来的？用语言叙述方程组是如何转化而来的？
小芳：把一去一回视为一个整体. 去时的上坡路与回来时的上坡路之和是36千米，所用时间是■；回来时的下坡路与去时的下坡路之和也是36千米， 所用时间是路程除以速度得下坡路所用时间是■，一去一回的总时间是2小时40分钟，加2小时20分钟，刚好是5小时.
教师（问全班学生）：如何解分式方程组呢？小华与小芳分别列出的分式方方程组、分式方程有什么联系呢？
小慧：（1）+（2）？圯（3），换句话说， 只要解出（3）来，分式方程组不就解出来了吗？
这几句“言简意赅”的话迎得一阵热烈的撑声.
教师（总结）：什么是创造性思维呢？是新颖的、独特的、有价值的（智力价值、理论价值、经济价值）的思维. 对学生来说，一般不是对某种新东西的发现、发明与创造的成就， 而只是对已知东西的再发现，如上面的小芳的解题方法是创造性思维.
创造性思维是思维活动的一种，它对问题的思考不是直接从头脑中已有的思维形式和思维方法去找答案，而是从问题的本身去进行分析，进行一系列探索性思维活动，将已有的思维形式和思维方法大跨度地迁移，从可供选择的途径中筛选出解决问题的新办法. 小慧“一针见血”地指出了常规思维的解法与创造性思维解法的内在与外在的联系.
如何解（3）的分式方程呢？只要把分式方程转化为整式方程，但要注意增根与减根即可.
例2 2000年入夏以后，湖北地区旱情严重，为缓解甲、乙两地旱情，某水库计划向甲、乙两地送水，甲地需水量为180万立方米，乙地需水量为120万立方米，现已两次送水，往甲地送水3天，往乙地送水2天，共送水84万立方米；往甲地送水2天，往乙地送水3天，共送水81万立方米；问完成向甲、乙两地送水任务还各需多少天？
为了让学生自主探索、自主思维、自主寻找思路、自主总结经验，摆脱“教师讲，学生听”的传统讲解模式，笔者让学生通过自己的思维来学习数学.
设完成往甲地送水任务还需x天， 完成往乙地送水任务还需y天. 用代数式表示每天往甲地运水，已运送5天如何表示？■. 用代数式表示每天往乙地运水，已运送5天如何表示？■. 这时有两种列方程组的方案：
以小芳为首的学生列出方程组
■×3+■×2=84，（1）■×2+■×3=81，（2）
以小慧为首的学生用换元法列出方程组3t+2z=84，2t+3z=81 ？圯5t+5z=165，2t+3z=81？圯t+z=33，2t+3z=81？圯z=15，t=18.
当小芳还在列完分式方程组， 正考虑如何解时， 小慧已经完成第一次解方程组， 而正要代入求另一方程组的解：■=18，■=15？圯18x+18×5=180，15y+15×5=120？圯x=5，y=3.
小华又在小慧的解答基础上改进成了如下更先进、简洁、漂亮的好方法：
3t+2z=84，（3）2t+3z=81，（4）？圯5t+5z=165，2t+3z=81？圯t+z=33，（5）2t+3z=81，（6）？圯（6）-（5），t+2z=48，（7）t+z=33，（8）？圯z=15，t=18.
笔者善于通过“对比”来评价两种解应用题方法的优劣：小慧的创新之处在于她观察到（3）与（4）的系数与常数项系数之和的特殊性——它们都能被5整除，从而巧妙地得出（5）式，小华在小慧的解答基础上改进了什么呢？（当全班学生看到（7）、（8）式时，不由得引起一阵热烈的撑声）小芳是常规思维的解法，小慧与小华是属于创造性思维的解法.
笔者又说：“众里寻他千百度， 蓦然回首，那人却在灯火阑珊处.” （又迎来一阵热烈的掌声）
最后笔者用波利亚的话来引导出换元法：“原来的问题是我们要达到的目的，而辅助问题只是我们试图达到的目的的手段. 一只飞虫企图穿过窗户玻璃逃出去，它在同一扇窗户上试了又试，而不去试试附近打开的窗户，而那扇窗户就是它进来的那扇. 人能够或者至少能够行动得更聪明些. 人的高明之处就在于当他碰到一个不能直接克服的障碍时，他会绕过去；当原来的问题看起来似乎不好解时，就想出一个合适的辅助问题. 构造一个辅助问题是一项重要的思维活动. 举出一个有助于另一问题的清晰的新问题，能够清楚地把达到另一目标的手段设想成一个新目标，这都是运用智慧的卓越成就.” 这段话是用变量替换作手段来解方程（方程组）的. 当然变量替换还可以分解因式，如将x2y2－5x2y－3xy2+15xy－14x2+5y2+57x－25y－70分解因式. 初看起来“杂乱无章”，“理不出头绪”和无法下手；若用创造性思维，并先用“分解与重新组合”的方法，再视为关于y的二次三项式，则看起来井然有序，条理清楚，主次分明.
（x2－3x+5）y2－5（x2－3x+5）y－14（x2－3x+5）=（x2－3x+5）（y2－5y－14）=（x2－3x+5）·（y+2）（y－7）.
要培养学生创造性思维的解法，必须分三歩走：扎实的基础知识是创造性思维的解法的基础，分式方程式解法的基础知识是转化成整式方程，区分増根，要学会验根；其次是了解整式方程的代入消元法与加减消元法，以及将二者结合起来的“既加再除”的新颖方法. 第二，敏锐的观察力是训练创造性思维的前提，如例1的（1）+（2）→（3）就需要敏锐的观察力. 第三，丰富的想象力是创造性思维的设计师，在例1中，把一去一回视为一个整体就是发挥丰富的想象力，并将去的上坡路与回的上坡路视为36里，又将回的下坡路与去的下坡路也视为36里，都是发挥丰富的想象力. 爱因斯坦说：“提出新问题，新的可能性，从新的角度看旧的问题，却需要有创造性的想象力，而且标志着科学的真正进步”. 第四，发散思维是培养创造性思维的源泉.
■古代问题的创造性思维的解法
数学教师从讲故亊开始，引出互逆思维. 逆向思维是创造性思维的一种，举个有趣的生活中有发现意义的实例：你们吃猕猴桃是如何剥皮呢？
吃猕猴桃要剥皮是众所周知的事，如何剥皮呢？从外往里剥皮既脏又不卫生，若想到逆向思维， 从里面往外去剥皮——即用金属勺子在“一刀切断”的猕猴桃中从里边往外一勺一勺地挖猕猴桃肉，这种采用逆向思维的方法，既卫生又高质量完成任务. 这个方法对解“古代问题”是有启发的.
例3 “用绳子测量井深，把绳子三折来量，井外余4尺，把绳子四折来量，井外余1尺，求井深与绳长各几何？”
能用互为逆向思维的创造性方法来解答吗？
在笔者的启发下，小慧和小华分别得出了创造性思维解法1与创造性思维解法2.
解法1：（进的方法）把绳子三折来量，井外余4尺，4×3=12，这时可想象把井外的12尺再量井深，那么根据第二个条件， 把绳子四折来量，井外余1尺，12-4=8，可知井深为8尺.绳长为36尺.
解法2：（退的方法）把绳子四折来量，井外余1尺，这时，若想象出用井内的一折到井外来量，根据把绳子三折来量，井外余4尺，（4-1）·3-1=8，可知井深还为8尺. 绳长为36尺.
可见，互为逆向思维的方法是创造性思维的一种.
创造性思维解法1与创造性思维解法2的共同点是创设情境，使两种用绳子测量井深的方法既产生联系，又产生思维碰撞，既要引出新旧亊物之间的联系，又要引出新旧亊物之间的矛盾，新旧亊物之间的联系是启发学生思维的基础；新旧亊物之间的矛盾是启发学生思维的核心.
■鸡兔同笼问题的创造性思维解法
例4 今有鸡兔若干，它们共有50个头和140只脚，问鸡兔各有若干只？
解法1：发挥丰富的想象，假设出现下面奇特的现象，所有的鸡都抬起一只脚，所有的兔子都抬起两只脚，只用两只后腳站立，这时鸡的头数与脚数相等，而兔的脚数是头数的2倍，脚的总数是原来脚的总数的一半，故脚的总数70减去50所得的差20，即为兔的数目，进而易得鸡为30只.
解法2：发挥丰富的想象，假设出现下面奇特的现象，所有的鸡都没有抬起一只脚，所有的兔子都抬起两只脚，只用两只后腳站立，这时，头数还是50个，鸡与兔子的总腿数是总头数的2倍，即为100，原来的总腿数140减去现在的总腿数100刚好是兔数的2倍，40÷2=20刚好是兔数，鸡数为50-20=30只.
这两种创造性思维的解法都是发挥丰富的想象. 可以说，“探索是数学教学的生命线.”
综上所述，从行程问题、分配问题、古代问题和鸡兔同笼问题，我们都用到了创造性思维解法，多么灵活，多么发散，多么发人深省！但要使初中生具有创造性思维，教师必须有长远的规划：“探索是数学教学的生命线.” 在常规思维中注意探索，它是基础，在教授创造性思维之前，教学生观察、联想是非常必要的，观察是入门的向导，分析是进入创造性思维之门的钥匙；在教授创造性思维之中，要教会学生发挥想象力，要教会学生从新的角度去看旧的问题，引导学生看新的可能性；最后，要培养学生的发散思维，它是创造性思维源泉.
关键词：常规思维；创造性思维；互逆思维；联想；想象
波利亚说：“中学数学教学的首要任务就是加强解题训练.” 本文提出的是要加强解应用题的思维训练.
■常规解与创造性思维解的比较
例1 甲、乙两地相距36千米，某人骑自行车去时是一段上坡路与另一段坡度相同的下坡路，去时用2小时40分钟，回来时只用了2小时20分钟，并知走下坡路比走上坡路每小时快6千米，问上坡路每小时多少千米？
笔者把小黑板的例1往上一放，全班学生正拿草稿纸作，小芳与小华在黑板两边也开始板书.
小华用的是常规思维的解法：设上坡路每小时x千米， 下坡路y千米， 则依题意有下列分式方程组
■+■=2■，（1）■+■=2■，（2）
教师：你这个分式方程组是怎么来的？你的方程组如何以语言信息的形式来表达呢？
小华：第一个分式方程是去时一段上坡路某人骑自行车去时所花的时间加上他下坡路所走的时间和是2小时40分钟；第二个分式方程是他下坡路所花时间加上他上坡路所走的时间和是2小时20分钟.
小芳用创造性思维的解法：设上坡路速度为每小时x千米， 并把一去一回视为一个整体. 一去一回上坡与下坡路程都是36千米，依题意得分式方程■+■=5，（3）
教师：你这个分式方程是怎么来的？用语言叙述方程组是如何转化而来的？
小芳：把一去一回视为一个整体. 去时的上坡路与回来时的上坡路之和是36千米，所用时间是■；回来时的下坡路与去时的下坡路之和也是36千米， 所用时间是路程除以速度得下坡路所用时间是■，一去一回的总时间是2小时40分钟，加2小时20分钟，刚好是5小时.
教师（问全班学生）：如何解分式方程组呢？小华与小芳分别列出的分式方方程组、分式方程有什么联系呢？
小慧：（1）+（2）？圯（3），换句话说， 只要解出（3）来，分式方程组不就解出来了吗？
这几句“言简意赅”的话迎得一阵热烈的撑声.
教师（总结）：什么是创造性思维呢？是新颖的、独特的、有价值的（智力价值、理论价值、经济价值）的思维. 对学生来说，一般不是对某种新东西的发现、发明与创造的成就， 而只是对已知东西的再发现，如上面的小芳的解题方法是创造性思维.
创造性思维是思维活动的一种，它对问题的思考不是直接从头脑中已有的思维形式和思维方法去找答案，而是从问题的本身去进行分析，进行一系列探索性思维活动，将已有的思维形式和思维方法大跨度地迁移，从可供选择的途径中筛选出解决问题的新办法. 小慧“一针见血”地指出了常规思维的解法与创造性思维解法的内在与外在的联系.
如何解（3）的分式方程呢？只要把分式方程转化为整式方程，但要注意增根与减根即可.
例2 2000年入夏以后，湖北地区旱情严重，为缓解甲、乙两地旱情，某水库计划向甲、乙两地送水，甲地需水量为180万立方米，乙地需水量为120万立方米，现已两次送水，往甲地送水3天，往乙地送水2天，共送水84万立方米；往甲地送水2天，往乙地送水3天，共送水81万立方米；问完成向甲、乙两地送水任务还各需多少天？
为了让学生自主探索、自主思维、自主寻找思路、自主总结经验，摆脱“教师讲，学生听”的传统讲解模式，笔者让学生通过自己的思维来学习数学.
设完成往甲地送水任务还需x天， 完成往乙地送水任务还需y天. 用代数式表示每天往甲地运水，已运送5天如何表示？■. 用代数式表示每天往乙地运水，已运送5天如何表示？■. 这时有两种列方程组的方案：
以小芳为首的学生列出方程组
■×3+■×2=84，（1）■×2+■×3=81，（2）
以小慧为首的学生用换元法列出方程组3t+2z=84，2t+3z=81 ？圯5t+5z=165，2t+3z=81？圯t+z=33，2t+3z=81？圯z=15，t=18.
当小芳还在列完分式方程组， 正考虑如何解时， 小慧已经完成第一次解方程组， 而正要代入求另一方程组的解：■=18，■=15？圯18x+18×5=180，15y+15×5=120？圯x=5，y=3.
小华又在小慧的解答基础上改进成了如下更先进、简洁、漂亮的好方法：
3t+2z=84，（3）2t+3z=81，（4）？圯5t+5z=165，2t+3z=81？圯t+z=33，（5）2t+3z=81，（6）？圯（6）-（5），t+2z=48，（7）t+z=33，（8）？圯z=15，t=18.
笔者善于通过“对比”来评价两种解应用题方法的优劣：小慧的创新之处在于她观察到（3）与（4）的系数与常数项系数之和的特殊性——它们都能被5整除，从而巧妙地得出（5）式，小华在小慧的解答基础上改进了什么呢？（当全班学生看到（7）、（8）式时，不由得引起一阵热烈的撑声）小芳是常规思维的解法，小慧与小华是属于创造性思维的解法.
笔者又说：“众里寻他千百度， 蓦然回首，那人却在灯火阑珊处.” （又迎来一阵热烈的掌声）
最后笔者用波利亚的话来引导出换元法：“原来的问题是我们要达到的目的，而辅助问题只是我们试图达到的目的的手段. 一只飞虫企图穿过窗户玻璃逃出去，它在同一扇窗户上试了又试，而不去试试附近打开的窗户，而那扇窗户就是它进来的那扇. 人能够或者至少能够行动得更聪明些. 人的高明之处就在于当他碰到一个不能直接克服的障碍时，他会绕过去；当原来的问题看起来似乎不好解时，就想出一个合适的辅助问题. 构造一个辅助问题是一项重要的思维活动. 举出一个有助于另一问题的清晰的新问题，能够清楚地把达到另一目标的手段设想成一个新目标，这都是运用智慧的卓越成就.” 这段话是用变量替换作手段来解方程（方程组）的. 当然变量替换还可以分解因式，如将x2y2－5x2y－3xy2+15xy－14x2+5y2+57x－25y－70分解因式. 初看起来“杂乱无章”，“理不出头绪”和无法下手；若用创造性思维，并先用“分解与重新组合”的方法，再视为关于y的二次三项式，则看起来井然有序，条理清楚，主次分明.
（x2－3x+5）y2－5（x2－3x+5）y－14（x2－3x+5）=（x2－3x+5）（y2－5y－14）=（x2－3x+5）·（y+2）（y－7）.
要培养学生创造性思维的解法，必须分三歩走：扎实的基础知识是创造性思维的解法的基础，分式方程式解法的基础知识是转化成整式方程，区分増根，要学会验根；其次是了解整式方程的代入消元法与加减消元法，以及将二者结合起来的“既加再除”的新颖方法. 第二，敏锐的观察力是训练创造性思维的前提，如例1的（1）+（2）→（3）就需要敏锐的观察力. 第三，丰富的想象力是创造性思维的设计师，在例1中，把一去一回视为一个整体就是发挥丰富的想象力，并将去的上坡路与回的上坡路视为36里，又将回的下坡路与去的下坡路也视为36里，都是发挥丰富的想象力. 爱因斯坦说：“提出新问题，新的可能性，从新的角度看旧的问题，却需要有创造性的想象力，而且标志着科学的真正进步”. 第四，发散思维是培养创造性思维的源泉.
■古代问题的创造性思维的解法
数学教师从讲故亊开始，引出互逆思维. 逆向思维是创造性思维的一种，举个有趣的生活中有发现意义的实例：你们吃猕猴桃是如何剥皮呢？
吃猕猴桃要剥皮是众所周知的事，如何剥皮呢？从外往里剥皮既脏又不卫生，若想到逆向思维， 从里面往外去剥皮——即用金属勺子在“一刀切断”的猕猴桃中从里边往外一勺一勺地挖猕猴桃肉，这种采用逆向思维的方法，既卫生又高质量完成任务. 这个方法对解“古代问题”是有启发的.
例3 “用绳子测量井深，把绳子三折来量，井外余4尺，把绳子四折来量，井外余1尺，求井深与绳长各几何？”
能用互为逆向思维的创造性方法来解答吗？
在笔者的启发下，小慧和小华分别得出了创造性思维解法1与创造性思维解法2.
解法1：（进的方法）把绳子三折来量，井外余4尺，4×3=12，这时可想象把井外的12尺再量井深，那么根据第二个条件， 把绳子四折来量，井外余1尺，12-4=8，可知井深为8尺.绳长为36尺.
解法2：（退的方法）把绳子四折来量，井外余1尺，这时，若想象出用井内的一折到井外来量，根据把绳子三折来量，井外余4尺，（4-1）·3-1=8，可知井深还为8尺. 绳长为36尺.
可见，互为逆向思维的方法是创造性思维的一种.
创造性思维解法1与创造性思维解法2的共同点是创设情境，使两种用绳子测量井深的方法既产生联系，又产生思维碰撞，既要引出新旧亊物之间的联系，又要引出新旧亊物之间的矛盾，新旧亊物之间的联系是启发学生思维的基础；新旧亊物之间的矛盾是启发学生思维的核心.
■鸡兔同笼问题的创造性思维解法
例4 今有鸡兔若干，它们共有50个头和140只脚，问鸡兔各有若干只？
解法1：发挥丰富的想象，假设出现下面奇特的现象，所有的鸡都抬起一只脚，所有的兔子都抬起两只脚，只用两只后腳站立，这时鸡的头数与脚数相等，而兔的脚数是头数的2倍，脚的总数是原来脚的总数的一半，故脚的总数70减去50所得的差20，即为兔的数目，进而易得鸡为30只.
解法2：发挥丰富的想象，假设出现下面奇特的现象，所有的鸡都没有抬起一只脚，所有的兔子都抬起两只脚，只用两只后腳站立，这时，头数还是50个，鸡与兔子的总腿数是总头数的2倍，即为100，原来的总腿数140减去现在的总腿数100刚好是兔数的2倍，40÷2=20刚好是兔数，鸡数为50-20=30只.
这两种创造性思维的解法都是发挥丰富的想象. 可以说，“探索是数学教学的生命线.”
综上所述，从行程问题、分配问题、古代问题和鸡兔同笼问题，我们都用到了创造性思维解法，多么灵活，多么发散，多么发人深省！但要使初中生具有创造性思维，教师必须有长远的规划：“探索是数学教学的生命线.” 在常规思维中注意探索，它是基础，在教授创造性思维之前，教学生观察、联想是非常必要的，观察是入门的向导，分析是进入创造性思维之门的钥匙；在教授创造性思维之中，要教会学生发挥想象力，要教会学生从新的角度去看旧的问题，引导学生看新的可能性；最后，要培养学生的发散思维，它是创造性思维源泉.