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【摘 要】“正方形中的45°美”一课通过一个基本图形的变换，以核心知识点为线索展开变式教学，将核心思想方法穿插其间，通过数学模型的构建与变化，既“入乎其内”，又“出乎其外”，引导学生大胆猜想、小心求证，直抵数学的本质，让学习真正发生，从而提高学生的数学思维能力和数学素养。
【关键词】数学模型；本质特征；入乎其内；出乎其外；课例评析
【中图分类号】G633.6 【文献标志码】A 【文章编号】1005-6009（2016）33-0130-03
【作者简介】章晓东，江苏省无锡市甘露学校（江苏无锡，214117）校长，江苏省特级教师，江苏省首批基础教育课程改革先进个人，省教育厅教师培训中心“送培到市县”专家组成员，常熟理工学院继续教育学院兼职教授。
前不久，我有幸参加了江苏教育报刊总社与江苏省中小学教研室联合主办的“杏坛杯”苏派青年教师课堂教学展评活动，对王湘云老师的一节数学课“正方形中的45°美”印象颇深。
这节课通过正方形与一个45°角叠合而成的图形的变换（旋转、翻折），以核心知识点（正方形、全等三角形、45°角）为线索展开变式教学，将核心思想方法（类比、特殊到一般、截长补短法）穿插其间，通过数学模型的构建与变化，引导学生大胆猜想、小心求证，直抵数学的本质，让学习真正发生，从而提高学生的数学思维能力和数学素养。
一、入乎其内，从“建模”到“识模”
1.构建模型。
王老师一开始就给出了一个正方形，问学生它有哪些性质？显然，学生很容易回答四个角都是直角，四条边相等。这样做的好处是面向全体学生，知识起点低，能够激活学生已有的知识积淀，让每个学生都能够获得成功的体验。在这个基础上，王老师将三角板中45°角的顶点与正方形的顶点A重合，将角的一边与正方形的一边AB重合（特殊位置），再旋转到一般位置（几何画板演示），从而得到本课的一个重要的基本图形，参见本刊前面王湘云老师的文章中的图1。
接下来，王老师引导学生大胆猜测：在将45°角绕顶点A旋转过程中，△EFC的周长是否会发生改变。有学生猜测△EFC的周长等于两个边长，关键在于证EF=BE DF。教师让学生上讲台用几何画板进行实验操作，拖动点E，使45°角绕点A旋转，让学生在他喜欢的位置停下来，请其他学生注意观察测量数据EF与BE DF的变化，结果发现无论在特殊位置还是一般位置，两者的长度是相等的。然后，学生通过“截长补短”法中的“补短法”证明了猜测的结论。学生经历了基本图形呈现、大胆猜测、操作测量（合情推理）、证明验证（演绎推理）、数学思想方法提炼的数学学习过程。整个过程“以学定教、以教促学”，一气呵成地奠定了本课的基本数学模型，为后续学习作了很好的铺垫。
这个数学模型的核心知识点是正方形中AB=AD，∠B=∠D=90°，∠BAD=90°，∠EAF=45°以及建立在核心知识点上的核心思想方法，如特殊到一般，二次全等，截长补短法，从而完成了一个基本模型的构建，虽然对学生来说还只是停留在浅层次的解决问题的层面，还无法理解整个模型的数学本质特征，但毕竟有了初步的成功体验。
可见，数学学习是一个由浅入深，螺旋递进的理解、探究和解决问题，进而领悟数学本质的过程。在这个过程中，学生的学习常常是从一个基本问题出发再逐渐进入数学学习的情景中去的。
2.识别模型。
王老师紧接着提出：在45°角的顶点绕点A逆时针继续转动过程中，图形发生了什么变化？让学生仔细观察，动手画图，亲身体验45°角与正方形∠CAB重合再旋转到形外的过程。而且在问题的设计上更加开放，如教师问：若继续连接EF，你想研究什么问题？有学生说想继续研究BE DF是否还等于EF？马上有学生提出不同意见（观察度量），并猜想BE-DF可能等于EF。这时教师又让学生通过几何画板的测量功能验证了这个新的结论。当学生在用截长法证明结论的过程中思维出现卡壳时，教师很智慧地把问题抛给学生：谁可以帮助一下？马上有学生帮助解决了。这样的生生互动，师生互动常常出现在王老师的课堂里，不断地推动学生的学习向深度进行。
通过教师的不断追问，学生对数学模型的识别能力增强了，对模型的数学本质属性也越来越清晰了。学生不仅知道了“形变法不变，全等没变”，更慢慢地知道了内隐在“方法不变”背后的数学本质是“因为线段的长度和角的度数没变”（正方形与45°角）。如果王老师能够在这里再追问一下，△EFC的周长还会是正方形边长的两倍吗？如果不是，则还会是定值吗？这样做，就会很好地呼应例题1提出的猜想，让学生感悟，在图形变化中，虽然方法没变，但有些结论却变化了。
二、出乎其外，从“用模”到“出模”
1.运用模型。
我们再来看王老师精心设计的第三个例题：如王文中图5，已知正方形ABCD的边长为12，E是BC边上的中点，将△ABE沿AE折叠到△AFE，延长EF交DC于点G，连接AG。探究：你能得到哪些结论？
此题的图形和例题1几乎是一模一样的，表面上看似乎条件也发生了变化，题目中原先已知的45°角不见了（其实是被折叠的条件隐藏了），∠EAG“化动为静”了（E点固定了，成为BC的中点），边长也告诉你是12了，条件增加了，背景也复杂了些（增加了非本质特征）。但图形中本质的核心条件一点都没变，如正方形中AB=AD，∠B=∠D=90°，∠BAD=90°，外加被折叠隐藏的∠EAG=45°，所以核心的方法没变（截长补短法），核心的结论没变（EG=DG BE，△EGC的周长是正方形边长的两倍）。
如果王老师在这里还是紧紧扣住数学模型的本质，适时引导学生来回顾总结基于“正方形和45°角”这样三个特殊的数学模型，而不是对例题3进行问题发散（尽管留到课后思考好了），则会给学生留下足够的时间来发现其中的规律。一是核心知识点的总结：蕴含在正方形中的核心条件是AB=AD，∠B=∠D=90°，本质的条件其实是∠B ∠D=90° 90°=180°，这是一次全等的重要条件，还有∠BAD=90°及外加的∠EAF=45°（图5中是∠EAG，以下同），其实本质的条件是∠EAF=∠BAD，这是二次全等的重要条件，这才是数学模型最本质的特征，也是后续探究特殊模型到一般模型的基础。二是核心方法的总结：三个例题的方法既“求同”（都统称是截长补短法），又“存异”，需要学生灵活运用，如例题1中用了补短法，因为截长法行不通，而例题2中使用的却是截长法，例题1中过点A作EF的垂线段（也是截长法），但也行不通，但例题3中的折叠，正是作垂线段（截长法）的体现。三是核心结论的总结：当E点在正方形BC边上（如例1例3），则EF=BE DF（EG=DG BE），△EFC（△EGC）的周长是正方形边长BC的2倍（定值），当E点在正方形BC边上的延长线上（如例2），则结论变为BE-DF=EF，△EFC的周长是BE的2倍（非定值）。如果教师能有时间在总结中进一步揭示三个问题的同一性与差异性，将使学生的思维更具深刻性和灵活性。 2.跳出模型。
正如王老师在教学结束时所说，若保持图形和结论的同一性，我们可以继续做如下研究：如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，∠B=∠D=90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=30°。求证：EF=BE FD。若使问题（模型）更具有一般性，则可以探究：如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B ∠D=180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=■∠BAD，图1中的结论是否仍然成立？其实还可以继续追问（如图1、2）：如果逆时针旋转∠EAF，使得E点在BC的延长线上结果又如何呢？甚至还可以引导学生课后思考：在原有条件不变的前提下，四边形ABCD（如图2）变成五边形、六边形……，结论是否发生变化？
另外，有学生提出，我们今天探究的是正方形中与45°角相关的问题，我还想继续研究在正方形中若∠EAF为30°或60°特殊角时，图形中存在什么结论？甚至有学生提出正三角形中与30°相关的问题是不是有类似的结论呢？即：如图3，在正三角形ABC中，∠DAE=30°，试探究BD、DE、CE之间的数量关系。王老师在教学过程中不断引导学生做一个快乐的发现者、学习的建构者，建构自己的知识，思考、寻找自己的答案，激发学生进一步研究的兴趣并确定研究的方向。在这样的教学过程中，学生经历了从构建特殊数学模型到探究一般数学模型甚至还超越数学模型的研究过程。
数学学习的过程从某种意义上说是学生理解领悟数学本质的过程。数学本质虽然普适和朴实，但常常内隐于表象之中。我们在数学专题教学中，需要从基本的数学模型出发，让学生逐渐领悟蕴含其中的数学知识、方法和思想，然后变换不同的背景、角度进行探究，引导学生“淡化技巧，注重本质”，从而使其非本质特征逐渐淡化，本质特征逐渐凸显。从长期的意义上来讲，真正影响一个学生的思想、行为是在学习过程中所形成的习惯、思维方法，而不是数学模型本身，所以我们必须挖掘技巧背后的问题解决的本质，才能真正意义上地培养学生的思维能力。
只有这样，学生才能真正做到既“入乎其内”（入模），构建基本的数学模型，理解数学方法与技巧，体现思维的严谨性和深刻性；又“出乎其外”（出模），跳出特殊的数学模型，走向更加一般的数学模型，甚至提出并构建新的数学模型，达到“不畏浮云遮望眼，只缘身在最高层”的境界，从而让学生真正领悟数学的本质与思想，彰显思维的灵活性和独创性，“让数学学习真正发生”。
【关键词】数学模型；本质特征；入乎其内；出乎其外；课例评析
【中图分类号】G633.6 【文献标志码】A 【文章编号】1005-6009（2016）33-0130-03
【作者简介】章晓东，江苏省无锡市甘露学校（江苏无锡，214117）校长，江苏省特级教师，江苏省首批基础教育课程改革先进个人，省教育厅教师培训中心“送培到市县”专家组成员，常熟理工学院继续教育学院兼职教授。
前不久，我有幸参加了江苏教育报刊总社与江苏省中小学教研室联合主办的“杏坛杯”苏派青年教师课堂教学展评活动，对王湘云老师的一节数学课“正方形中的45°美”印象颇深。
这节课通过正方形与一个45°角叠合而成的图形的变换（旋转、翻折），以核心知识点（正方形、全等三角形、45°角）为线索展开变式教学，将核心思想方法（类比、特殊到一般、截长补短法）穿插其间，通过数学模型的构建与变化，引导学生大胆猜想、小心求证，直抵数学的本质，让学习真正发生，从而提高学生的数学思维能力和数学素养。
一、入乎其内，从“建模”到“识模”
1.构建模型。
王老师一开始就给出了一个正方形，问学生它有哪些性质？显然，学生很容易回答四个角都是直角，四条边相等。这样做的好处是面向全体学生，知识起点低，能够激活学生已有的知识积淀，让每个学生都能够获得成功的体验。在这个基础上，王老师将三角板中45°角的顶点与正方形的顶点A重合，将角的一边与正方形的一边AB重合（特殊位置），再旋转到一般位置（几何画板演示），从而得到本课的一个重要的基本图形，参见本刊前面王湘云老师的文章中的图1。
接下来，王老师引导学生大胆猜测：在将45°角绕顶点A旋转过程中，△EFC的周长是否会发生改变。有学生猜测△EFC的周长等于两个边长，关键在于证EF=BE DF。教师让学生上讲台用几何画板进行实验操作，拖动点E，使45°角绕点A旋转，让学生在他喜欢的位置停下来，请其他学生注意观察测量数据EF与BE DF的变化，结果发现无论在特殊位置还是一般位置，两者的长度是相等的。然后，学生通过“截长补短”法中的“补短法”证明了猜测的结论。学生经历了基本图形呈现、大胆猜测、操作测量（合情推理）、证明验证（演绎推理）、数学思想方法提炼的数学学习过程。整个过程“以学定教、以教促学”，一气呵成地奠定了本课的基本数学模型，为后续学习作了很好的铺垫。
这个数学模型的核心知识点是正方形中AB=AD，∠B=∠D=90°，∠BAD=90°，∠EAF=45°以及建立在核心知识点上的核心思想方法，如特殊到一般，二次全等，截长补短法，从而完成了一个基本模型的构建，虽然对学生来说还只是停留在浅层次的解决问题的层面，还无法理解整个模型的数学本质特征，但毕竟有了初步的成功体验。
可见，数学学习是一个由浅入深，螺旋递进的理解、探究和解决问题，进而领悟数学本质的过程。在这个过程中，学生的学习常常是从一个基本问题出发再逐渐进入数学学习的情景中去的。
2.识别模型。
王老师紧接着提出：在45°角的顶点绕点A逆时针继续转动过程中，图形发生了什么变化？让学生仔细观察，动手画图，亲身体验45°角与正方形∠CAB重合再旋转到形外的过程。而且在问题的设计上更加开放，如教师问：若继续连接EF，你想研究什么问题？有学生说想继续研究BE DF是否还等于EF？马上有学生提出不同意见（观察度量），并猜想BE-DF可能等于EF。这时教师又让学生通过几何画板的测量功能验证了这个新的结论。当学生在用截长法证明结论的过程中思维出现卡壳时，教师很智慧地把问题抛给学生：谁可以帮助一下？马上有学生帮助解决了。这样的生生互动，师生互动常常出现在王老师的课堂里，不断地推动学生的学习向深度进行。
通过教师的不断追问，学生对数学模型的识别能力增强了，对模型的数学本质属性也越来越清晰了。学生不仅知道了“形变法不变，全等没变”，更慢慢地知道了内隐在“方法不变”背后的数学本质是“因为线段的长度和角的度数没变”（正方形与45°角）。如果王老师能够在这里再追问一下，△EFC的周长还会是正方形边长的两倍吗？如果不是，则还会是定值吗？这样做，就会很好地呼应例题1提出的猜想，让学生感悟，在图形变化中，虽然方法没变，但有些结论却变化了。
二、出乎其外，从“用模”到“出模”
1.运用模型。
我们再来看王老师精心设计的第三个例题：如王文中图5，已知正方形ABCD的边长为12，E是BC边上的中点，将△ABE沿AE折叠到△AFE，延长EF交DC于点G，连接AG。探究：你能得到哪些结论？
此题的图形和例题1几乎是一模一样的，表面上看似乎条件也发生了变化，题目中原先已知的45°角不见了（其实是被折叠的条件隐藏了），∠EAG“化动为静”了（E点固定了，成为BC的中点），边长也告诉你是12了，条件增加了，背景也复杂了些（增加了非本质特征）。但图形中本质的核心条件一点都没变，如正方形中AB=AD，∠B=∠D=90°，∠BAD=90°，外加被折叠隐藏的∠EAG=45°，所以核心的方法没变（截长补短法），核心的结论没变（EG=DG BE，△EGC的周长是正方形边长的两倍）。
如果王老师在这里还是紧紧扣住数学模型的本质，适时引导学生来回顾总结基于“正方形和45°角”这样三个特殊的数学模型，而不是对例题3进行问题发散（尽管留到课后思考好了），则会给学生留下足够的时间来发现其中的规律。一是核心知识点的总结：蕴含在正方形中的核心条件是AB=AD，∠B=∠D=90°，本质的条件其实是∠B ∠D=90° 90°=180°，这是一次全等的重要条件，还有∠BAD=90°及外加的∠EAF=45°（图5中是∠EAG，以下同），其实本质的条件是∠EAF=∠BAD，这是二次全等的重要条件，这才是数学模型最本质的特征，也是后续探究特殊模型到一般模型的基础。二是核心方法的总结：三个例题的方法既“求同”（都统称是截长补短法），又“存异”，需要学生灵活运用，如例题1中用了补短法，因为截长法行不通，而例题2中使用的却是截长法，例题1中过点A作EF的垂线段（也是截长法），但也行不通，但例题3中的折叠，正是作垂线段（截长法）的体现。三是核心结论的总结：当E点在正方形BC边上（如例1例3），则EF=BE DF（EG=DG BE），△EFC（△EGC）的周长是正方形边长BC的2倍（定值），当E点在正方形BC边上的延长线上（如例2），则结论变为BE-DF=EF，△EFC的周长是BE的2倍（非定值）。如果教师能有时间在总结中进一步揭示三个问题的同一性与差异性，将使学生的思维更具深刻性和灵活性。 2.跳出模型。
正如王老师在教学结束时所说，若保持图形和结论的同一性，我们可以继续做如下研究：如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，∠B=∠D=90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=30°。求证：EF=BE FD。若使问题（模型）更具有一般性，则可以探究：如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B ∠D=180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=■∠BAD，图1中的结论是否仍然成立？其实还可以继续追问（如图1、2）：如果逆时针旋转∠EAF，使得E点在BC的延长线上结果又如何呢？甚至还可以引导学生课后思考：在原有条件不变的前提下，四边形ABCD（如图2）变成五边形、六边形……，结论是否发生变化？
另外，有学生提出，我们今天探究的是正方形中与45°角相关的问题，我还想继续研究在正方形中若∠EAF为30°或60°特殊角时，图形中存在什么结论？甚至有学生提出正三角形中与30°相关的问题是不是有类似的结论呢？即：如图3，在正三角形ABC中，∠DAE=30°，试探究BD、DE、CE之间的数量关系。王老师在教学过程中不断引导学生做一个快乐的发现者、学习的建构者，建构自己的知识，思考、寻找自己的答案，激发学生进一步研究的兴趣并确定研究的方向。在这样的教学过程中，学生经历了从构建特殊数学模型到探究一般数学模型甚至还超越数学模型的研究过程。
数学学习的过程从某种意义上说是学生理解领悟数学本质的过程。数学本质虽然普适和朴实，但常常内隐于表象之中。我们在数学专题教学中，需要从基本的数学模型出发，让学生逐渐领悟蕴含其中的数学知识、方法和思想，然后变换不同的背景、角度进行探究，引导学生“淡化技巧，注重本质”，从而使其非本质特征逐渐淡化，本质特征逐渐凸显。从长期的意义上来讲，真正影响一个学生的思想、行为是在学习过程中所形成的习惯、思维方法，而不是数学模型本身，所以我们必须挖掘技巧背后的问题解决的本质，才能真正意义上地培养学生的思维能力。
只有这样，学生才能真正做到既“入乎其内”（入模），构建基本的数学模型，理解数学方法与技巧，体现思维的严谨性和深刻性；又“出乎其外”（出模），跳出特殊的数学模型，走向更加一般的数学模型，甚至提出并构建新的数学模型，达到“不畏浮云遮望眼，只缘身在最高层”的境界，从而让学生真正领悟数学的本质与思想，彰显思维的灵活性和独创性，“让数学学习真正发生”。