浅析高考三角函数

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  近几年高考对三角函数部分的考查保持了三个稳定(内容、题量、分值),难度适中,其考查主要有两个方面:一是三角函数的变换,二是三角函数图像和性质。解题过程一般是先进行恒等变换,再利用三角函数图像和性质解题。
  对能力的考查主要是演绎推理能力、计算能力、综合应用知识解决问题的能力;体现的数学思想有化归思想、分类讨论思想、函数思想等。
  考查的知识点有三角函数的最小正周期、奇偶性、单调性、图像对称性,二倍角公式,两角和与差的正弦、余弦、正切公式,三角函数的值域(包括最值)。
  解题原则:注重通性通法,淡化特殊技巧。
  一、基本性质考查
  三角函数的基本性质主要有最小正周期、奇偶性、单调性、图像对称性。
  (1)对于周期可以从以下两个方面考虑:(a)型如f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0),T= 。(b)依据f(x+T)=f(x)检验。
  (2)对于对称性,已知x=b对称轴方程,通常把x=b代入,得sin(ωb+φ)=±1或由f(b+x)=f(b-x)解题。若求对称轴方程,通常令ωx+φ=kπ+ (k∈z),解出x即为对称轴方程。若图像关于点(b,0)对称,通常利用f(b+x)=-f(b-x)或f(b)=0解题。
  (3)对于奇偶性与单调性只需用定义解题即可。
  二、常用公式考查
  三角函数常用公式有诱导公式及Sα±β、Cα±β、S2α、Tα±β、T2α,主要应用这些公式进行三角恒等变换。
  三、三角函数综合应用
  三角函数基本应用主要是在解三角形中的应用及实际应用,而实际应用题最终需转化为解三角形。三角形中的三角函数问题一直处于中档题,只要将三角形中的特殊条件梳理清楚,选用正弦定理或余弦定理,问题基本就能顺利解决。
  三角函数与数列、不等式等知识点的综合题往往有一定的难度。
  范例分析:
  例1、f(x)=cos(ωx- )的最小正周期为 ,其中ω>0,则ω=______。
  解:T== ,易得ω=10。
  例2、已知函数f(x)=sin(2x+)(-π<<0)图像的一条对称轴是直线x= ,求。
  解:∵x= 是函数y=f(x)的图像的对称轴。
  ∴sin(2× +)=±1,∴ +=kπ+ ,k∈z。
  ∵-π<<0,∴=- 。
  简评:本题主要考查三角函数性质及图像的基本知识,考查推理和运算能力。
  例3、已知f(x)=cos(2x- )+2sin(x- )sin(x+ ),求函数f(x)的最小正周期和图像的对称轴方程。
  解:由f(x)=cos(2x- )+2sin(x- )sin(x+ ),得:f(x)=cos(2x- )+2sin(x- )cos(x- )=cos(2x- )+sin(2x- ),即:
  f(x)=sin2x- cos2x=sin(2x- )
  ∴T=π。令2x- =kπ+ ,解得对称轴方程为x= + (k∈z)。
  简评;本题考查了诱导公式、二倍角公式、两角和与差的正弦(余弦)公式、最小正周期及对称轴等知识点。解题过程是先进行三角恒等变形,再求三角函数图像的周期与对称轴,属于常规题。
  例4、在△ABC中,a、b、c分别为角A、B、C所对的边长,a=2 3,tan +tan =4,sinB sinC=cos2 。求A、B及b、c。
  解:由A+B+C=π,得 = - ,tan +tan =4,即:
  
  
  
  又sinBsinC=cos2 ,
  得sinB=1+cosA, sinB+cosB=1;
  sin(B+ )=1,得B= ,A= 。
  再由正弦定理==易得b=c=2。
  简析: 本题先在三角形的条件下进行三角恒等变形,用到切化弦、二倍角的正弦及两角和的正弦公式,再由正弦定理解得b、c,是一道中档题。
   例5、已知△ABC的面积为1,tanB= ,tanC=-2,求△ABC的三边及△ABC外接圆的直径。
  解: 由tanC=-2知C为钝角,∴cos2C== ;
  ∴cosC=-,sinC=;同理由tanB= ,
  得cosB=,sinB=,sinA=sin(B+c)= ;
  由b= ,∴S△ABC= absinC=1;
  解得a= 3,b=,c= ,2R==。
  简析:本题是解斜三角形,在三角恒等变形中用到了同角三角基本关系及诱导公式,解三角形中用到正弦定理,属中档题。
  通过上述浅析,三角题都能在教材中寻到基本原型题。 因此,在三角复习中,要以课本为主,梳理整合知识点,强化重点内容,提炼数学思想方法,突出通性通法,讲究知识的综合应用,提高分析问题、解决问题的能力,必能提高复习效率。
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