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【设计理念】
对大脑的科研成果表明，大脑的两半球具有不同的功能，左半脑功能偏重于抽象的逻辑思维，讲究规范严谨，稳定封闭，如数的运算、代数式的运算、逻辑推理、归纳演绎等。右半脑功能则偏重于形象思维，讲究直觉想象，自由发散，如猜想、假设、奇异创造等。左、右半脑的功能各有特征，如果互相补充就会使大脑功能更加健全和发达。数形结合就同时运用了左、右半脑的功能，在培养形象思维能力时，也促进了逻辑思维能力的发展。
从儿童思维特点来看，小学生的思维是从以具体形象思维为主要形式逐步向抽象逻辑思维过渡，但这时的逻辑思维是初步的，且在很大程度上仍具有具体形象性。通过数与形的有机结合，把形象思维与抽象思维有机地结合起来，能够有的放矢地帮助学生多角度、多层次地思考问题，可以养成多向性思维的好习惯，甚至为学生初步形成辩证思维能力创造条件。鉴于此，笔者尝试开展了“数形结合找规律”的设计、教学与研究。
【教学目标】
1.让学生在生动有趣的活动中观察、寻找图形的特点，结合图形从不同的角度观察得出不同的数学规律。
2.应用数形结合，训练和培养学生数学直觉思维能力、发散思维能力和创造性思维能力。
3.通过以形助数的直观生动性，体会数形结合，感受数学的规律美。
【教学过程】
一、欣赏庐山美景，利用古诗导入新课
教师先让学生欣赏庐山的美景，边看边问。当学生看到了瀑布的美景时，问学生想到了哪两句诗？（飞流直下三千尺，疑是银河落九天。）接着继续欣赏美景，还想到了哪首诗？苏轼的《题西林壁》。苏轼用哪两句诗高度概括了庐山的美？（横看成岭侧成峰，远近高低各不同。）
师：这两句诗什么意思？
生：从不同的角度看庐山，庐山的模样各不相同。
师：其实在数学学习中也是如此，对待同一个问题，如果从不同角度去观察、去思考，得出的结论、规律也就不同。
师：庐山的美是高山、流水、瀑布、云雾、大树等的美，是大自然的美。意大利数学家伽利略说：“数学总是美的，数学是美的科学。”数学的美指的是什么呢？带着这个问题，我们开始今天的学习。
【设计意图】从学生比较熟悉的古诗导入新课，非常简明。以此迁移到数学学习中也要善于从不同角度观察和思考问题，为后面新知的学习埋下伏笔。从“自然美”迁移到“数学美”，显得大气有力。
二、多角度观察，多层次探究
1.探究从1起连续n个奇数的和
师（依次出示图1、图2、图3）：分别说说这些图是由几个小圆点组成的。
师：想象一下图4会是什么样子的？一共有多少个圆点？
师：你是怎么想到图4会有16个小圆点的？仔细观察这组图，你还有什么发现呢？
（学生畅谈自己的发现）
师：同学们不仅能用一个数表示每幅图的圆点数，而且还能用算式来表示这组图的规律，真了不起。根据这个规律，想一想第5幅图是怎样的？一共有多少个圆点？第8幅图呢？第100幅圖呢？第n幅图呢？
师：通过刚才的观察，我们发现每幅图的圆点总数都可以看作是两个相同的数相乘的积，这些算式还可以用平方数的形式来表示。那刚才我们是怎样观察的？
生：横着观察的。
师：像这样的，我们称为正方形数。
[教师板书2×2（22）、3×3（32）、4×4（42）]
师：刚才我们是横着看这个图形的，还可以怎么看呢？
生：竖着看。
（多数学生笑了，一样的还是2个2、3个3、4个4）
生：斜着看。
师：斜着看，好主意。
（教师提供课件展示如下图）
形成板书：
1+2+1=22
1+2+3+2+1=32
1+2+3+4+3+2+1=42
师：你发现了什么？
生：最中间那个数是几，这样一组数的和就是几的平方。
师：能不能再换个角度来看这个图形呢？
（学生再次沉默）
师：如果我们换个角度观察，课件出示“ ”划分的图，要求每幅图的圆点总数又可以列成怎样的算式？
师：下面这些式子也是表示每幅图圆点的总数，和刚才的算式一样吗？
1+3=22 1+3+5=32 1+3+5+7=42
师：仔细观察这些等式，左边的式子有什么特征？右边呢？左右联系起来看你又有什么发现？
生：从1起连续奇数的和等于奇数个数的平方。
生：从1起连续n个奇数的和等于n的平方（n2）。
师：回顾刚才的3种观察角度，横着看、斜着看、拐一个直角看，你有什么体会？
生：横看成岭侧成峰，远近高低各不同。
生：多种角度看图形，发现规律各不同。
师（小结）：刚才我们对于同一组图，从不同角度观察，找到了这么多不同的规律。同学们真了不起。老师想告诉大家，早在2500多年前，古希腊的数学家毕达哥拉斯就是借助这些小圆点去摆图形，进而找到了这些有趣的规律。我觉得我们班的同学已经超过了古希腊的数学家，已经具有了未来数学家的风范。
师：我们再回忆一下，刚才我们是怎样找到这些规律的？和什么结合起来找的？
（板书课题：数形结合找规律）
师：数形结合是一种特别重要的数学思想方法，希望同学们在以后的学习中经常使用数形结合思想方法，帮助我们解决一些实际问题。
【设计意图】数形结合思想方法之一是借助“形”的生动和直观性认识“数”。通过观察前3个图，使得学生从整体上观察图形的圆点排列特点。然后，想象一下图4会是什么样子的，一共有多少个圆点，进而做出大胆的猜想、合理的假设，并得出试探性的结论，训练了学生数学直觉思维能力。教师引导学生主动而有效地观察图形，培养学生从图中读懂重要信息并整理信息的能力，以及提出问题、分析问题、解决问题的能力，养成自主探索、自我评价、合作交流的学习习惯，增强对数形结合思维模式的认知，体会图形对数学规律形成的意义。教师引导学生经历观察、操作、归纳、类比、猜测等过程，发展合情推理能力，运用发现的规律解决数学问题并进行交流，体会图形发现的乐趣，初步感受图形的美和推理的价值。 2.探究从2起连续n个偶数的和
师：从1起连续奇数的和的规律你能联想到什么？
生：从2起连续偶数的和的规律。
师：你能像古希腊数学家那样，运用数形结合的方法，摆出图形来思考吗？
（教师故意摆一些不规则图形，以引起学生的探究欲望，在学生困惑之时，教师出示3个算式：2+4、2+4+6、2+4+6+8）
师：你能在图中划一划，分一分，使每幅图的圆点总数能用右边的式子来表示吗？
（学生在学习材料的左边一列图中独立划分后反馈）
师：换个观察角度，再看这个图形还能发现什么规律？
师：如果换个角度再观察这组图，你还能用什么式子来表示每幅图的圆点总数呢？在右边一列图中分一分，并用算式表示。然后分小组讨论你们的发现。
生：从2起连续n个偶数的和等于n乘比n大1的数，即n×（n+1）。
生：从2起连续n个偶数的和等于1+2+3+……n+n+……+3+2+1。
生：从2起连续n个偶数的和等于n的平方加n，即n2+n。
【设计意图】教师通过这道探索性的题目，让学生去研究、去探讨、去发现，让学生进行一系列探索性思维活动，以“数”解“形”，使学生更准确地把握“形”，将已有的思维方式大跨度地迁移，进而发现蕴含在图形中的数学规律。
三、举一反三，拓展运用
师：学完这节课，你对数学的美有什么认识？
生：数学美是一种“数学规律的美”。
师：今天我们研究了什么内容？
生：从1起连续n个奇数的和是n2。
生：从2起连续n个偶数的和是n2+n或n×（n+1）。
师：由此，我们很自然地想到了“从1起连续n个自然数的和”是否也存在某种规律？
1+2=
1+2+3=
1+2+3+4=
1+2+3+4+5=
师：古希腊数学家把这些数叫作“三角形数”。你能借助这些“三角形数”发现“从1起连续n个自然数的和”的规律吗？
【设计意图】在总結阶段，教师回到课始提出的问题：什么是数学的美？首尾呼应，突出主题。既有效激发了学生探究规律的兴趣，又培养了学生独立探索、发现规律的能力，感受了数学规律的美妙和有趣。再次让学生运用“数形结合”的方法，提出猜想，进行验证，让学生在发现、猜想、验证中体验数学规律的形成过程，从而让学生带着问题走出课堂。
（作者单位：江苏省丹阳市华南实验学校东校区）
对大脑的科研成果表明，大脑的两半球具有不同的功能，左半脑功能偏重于抽象的逻辑思维，讲究规范严谨，稳定封闭，如数的运算、代数式的运算、逻辑推理、归纳演绎等。右半脑功能则偏重于形象思维，讲究直觉想象，自由发散，如猜想、假设、奇异创造等。左、右半脑的功能各有特征，如果互相补充就会使大脑功能更加健全和发达。数形结合就同时运用了左、右半脑的功能，在培养形象思维能力时，也促进了逻辑思维能力的发展。
从儿童思维特点来看，小学生的思维是从以具体形象思维为主要形式逐步向抽象逻辑思维过渡，但这时的逻辑思维是初步的，且在很大程度上仍具有具体形象性。通过数与形的有机结合，把形象思维与抽象思维有机地结合起来，能够有的放矢地帮助学生多角度、多层次地思考问题，可以养成多向性思维的好习惯，甚至为学生初步形成辩证思维能力创造条件。鉴于此，笔者尝试开展了“数形结合找规律”的设计、教学与研究。
【教学目标】
1.让学生在生动有趣的活动中观察、寻找图形的特点，结合图形从不同的角度观察得出不同的数学规律。
2.应用数形结合，训练和培养学生数学直觉思维能力、发散思维能力和创造性思维能力。
3.通过以形助数的直观生动性，体会数形结合，感受数学的规律美。
【教学过程】
一、欣赏庐山美景，利用古诗导入新课
教师先让学生欣赏庐山的美景，边看边问。当学生看到了瀑布的美景时，问学生想到了哪两句诗？（飞流直下三千尺，疑是银河落九天。）接着继续欣赏美景，还想到了哪首诗？苏轼的《题西林壁》。苏轼用哪两句诗高度概括了庐山的美？（横看成岭侧成峰，远近高低各不同。）
师：这两句诗什么意思？
生：从不同的角度看庐山，庐山的模样各不相同。
师：其实在数学学习中也是如此，对待同一个问题，如果从不同角度去观察、去思考，得出的结论、规律也就不同。
师：庐山的美是高山、流水、瀑布、云雾、大树等的美，是大自然的美。意大利数学家伽利略说：“数学总是美的，数学是美的科学。”数学的美指的是什么呢？带着这个问题，我们开始今天的学习。
【设计意图】从学生比较熟悉的古诗导入新课，非常简明。以此迁移到数学学习中也要善于从不同角度观察和思考问题，为后面新知的学习埋下伏笔。从“自然美”迁移到“数学美”，显得大气有力。
二、多角度观察，多层次探究
1.探究从1起连续n个奇数的和
师（依次出示图1、图2、图3）：分别说说这些图是由几个小圆点组成的。
师：想象一下图4会是什么样子的？一共有多少个圆点？
师：你是怎么想到图4会有16个小圆点的？仔细观察这组图，你还有什么发现呢？
（学生畅谈自己的发现）
师：同学们不仅能用一个数表示每幅图的圆点数，而且还能用算式来表示这组图的规律，真了不起。根据这个规律，想一想第5幅图是怎样的？一共有多少个圆点？第8幅图呢？第100幅圖呢？第n幅图呢？
师：通过刚才的观察，我们发现每幅图的圆点总数都可以看作是两个相同的数相乘的积，这些算式还可以用平方数的形式来表示。那刚才我们是怎样观察的？
生：横着观察的。
师：像这样的，我们称为正方形数。
[教师板书2×2（22）、3×3（32）、4×4（42）]
师：刚才我们是横着看这个图形的，还可以怎么看呢？
生：竖着看。
（多数学生笑了，一样的还是2个2、3个3、4个4）
生：斜着看。
师：斜着看，好主意。
（教师提供课件展示如下图）
形成板书：
1+2+1=22
1+2+3+2+1=32
1+2+3+4+3+2+1=42
师：你发现了什么？
生：最中间那个数是几，这样一组数的和就是几的平方。
师：能不能再换个角度来看这个图形呢？
（学生再次沉默）
师：如果我们换个角度观察，课件出示“ ”划分的图，要求每幅图的圆点总数又可以列成怎样的算式？
师：下面这些式子也是表示每幅图圆点的总数，和刚才的算式一样吗？
1+3=22 1+3+5=32 1+3+5+7=42
师：仔细观察这些等式，左边的式子有什么特征？右边呢？左右联系起来看你又有什么发现？
生：从1起连续奇数的和等于奇数个数的平方。
生：从1起连续n个奇数的和等于n的平方（n2）。
师：回顾刚才的3种观察角度，横着看、斜着看、拐一个直角看，你有什么体会？
生：横看成岭侧成峰，远近高低各不同。
生：多种角度看图形，发现规律各不同。
师（小结）：刚才我们对于同一组图，从不同角度观察，找到了这么多不同的规律。同学们真了不起。老师想告诉大家，早在2500多年前，古希腊的数学家毕达哥拉斯就是借助这些小圆点去摆图形，进而找到了这些有趣的规律。我觉得我们班的同学已经超过了古希腊的数学家，已经具有了未来数学家的风范。
师：我们再回忆一下，刚才我们是怎样找到这些规律的？和什么结合起来找的？
（板书课题：数形结合找规律）
师：数形结合是一种特别重要的数学思想方法，希望同学们在以后的学习中经常使用数形结合思想方法，帮助我们解决一些实际问题。
【设计意图】数形结合思想方法之一是借助“形”的生动和直观性认识“数”。通过观察前3个图，使得学生从整体上观察图形的圆点排列特点。然后，想象一下图4会是什么样子的，一共有多少个圆点，进而做出大胆的猜想、合理的假设，并得出试探性的结论，训练了学生数学直觉思维能力。教师引导学生主动而有效地观察图形，培养学生从图中读懂重要信息并整理信息的能力，以及提出问题、分析问题、解决问题的能力，养成自主探索、自我评价、合作交流的学习习惯，增强对数形结合思维模式的认知，体会图形对数学规律形成的意义。教师引导学生经历观察、操作、归纳、类比、猜测等过程，发展合情推理能力，运用发现的规律解决数学问题并进行交流，体会图形发现的乐趣，初步感受图形的美和推理的价值。 2.探究从2起连续n个偶数的和
师：从1起连续奇数的和的规律你能联想到什么？
生：从2起连续偶数的和的规律。
师：你能像古希腊数学家那样，运用数形结合的方法，摆出图形来思考吗？
（教师故意摆一些不规则图形，以引起学生的探究欲望，在学生困惑之时，教师出示3个算式：2+4、2+4+6、2+4+6+8）
师：你能在图中划一划，分一分，使每幅图的圆点总数能用右边的式子来表示吗？
（学生在学习材料的左边一列图中独立划分后反馈）
师：换个观察角度，再看这个图形还能发现什么规律？
师：如果换个角度再观察这组图，你还能用什么式子来表示每幅图的圆点总数呢？在右边一列图中分一分，并用算式表示。然后分小组讨论你们的发现。
生：从2起连续n个偶数的和等于n乘比n大1的数，即n×（n+1）。
生：从2起连续n个偶数的和等于1+2+3+……n+n+……+3+2+1。
生：从2起连续n个偶数的和等于n的平方加n，即n2+n。
【设计意图】教师通过这道探索性的题目，让学生去研究、去探讨、去发现，让学生进行一系列探索性思维活动，以“数”解“形”，使学生更准确地把握“形”，将已有的思维方式大跨度地迁移，进而发现蕴含在图形中的数学规律。
三、举一反三，拓展运用
师：学完这节课，你对数学的美有什么认识？
生：数学美是一种“数学规律的美”。
师：今天我们研究了什么内容？
生：从1起连续n个奇数的和是n2。
生：从2起连续n个偶数的和是n2+n或n×（n+1）。
师：由此，我们很自然地想到了“从1起连续n个自然数的和”是否也存在某种规律？
1+2=
1+2+3=
1+2+3+4=
1+2+3+4+5=
师：古希腊数学家把这些数叫作“三角形数”。你能借助这些“三角形数”发现“从1起连续n个自然数的和”的规律吗？
【设计意图】在总結阶段，教师回到课始提出的问题：什么是数学的美？首尾呼应，突出主题。既有效激发了学生探究规律的兴趣，又培养了学生独立探索、发现规律的能力，感受了数学规律的美妙和有趣。再次让学生运用“数形结合”的方法，提出猜想，进行验证，让学生在发现、猜想、验证中体验数学规律的形成过程，从而让学生带着问题走出课堂。
（作者单位：江苏省丹阳市华南实验学校东校区）