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欧拉遗产问题是大数学家欧拉的数学名著《代数基础》中的一个问题。题目是一位父亲,临终时嘱咐他的儿子这样来分他的财产:第一个儿子分得100克朗和剩下财产的十分之一;第二个儿子分得200克朗和剩下财产的十分之一;第三个儿子分得300克朗和剩下财产的十分之一;第四个儿子分得400克朗和剩下财产的十分之一……按这种方法一直分下去,最后,每一个儿子所得财产一样多。问:这位父亲共有几个儿子?每个儿子分得多少财产?这位父亲共留下了多少财产?
许多数学爱好者被这道问题吸引了,并研究归纳出了一些解法。在中国大百科全书出版社出版的《数学名题》中,是用三元方程解的。在《小学数学教师》中曾经刊出两种解法。
解法一:
注:为便于叙述,称最后一个儿子为n个儿子,则倒数第二个就是第(n-l)个儿子。
显然,(n-1)个儿子分得的财产=100(n-1)+剩余财产的1/10,第n个儿子就分得了剩余财产的9/10。由题意又知第n个儿子分得的财产为100n,那么剩余财产的9/10=100n,所以“剩余财产”就为100n÷9/10,第(n-l)个儿子分得的财产为100(n-l) 100n÷9/101/10,而他与第n个儿子所得财产相等,可得方程:100(n-l) 100n÷9/101/10=100n。解之得n=9,即共有9个儿子,那么每个儿子可得1009=900克朗,共留下财产9009=8100克朗。
解法二:
第(n-1)个儿子分得的财产=100(n-1)+剩余财产的1/10,第n个儿子分得的财产为100n,两人所得财产一致,即100(n-1)+剩余财产的1/10=100n,所以剩余财产的1/10就是100n-100(n-1)=100克朗。那么,剩余财产就为100÷1/10=1000克朗,最后一个儿子分得:1000-100=900克朗。儿子个数为900÷l00=9(个),共留下财产9009=8100(克朗)。
笔者经过思考探索,得出了一种更巧妙的解法:
设第一个儿子分得100克朗后余下的财产为A,第二个儿子分得200克朗后余下的财产为B,则第一个儿子分得财产100 A/10,第二个儿子分得财产200 B/10。
由两人所得财产相等,可知200 B/10= 100 A/10,A比B多1000克朗。
因为200 B/10=100 100 B/10
所以:200 B/10=100 1000/10 B/10
200 B/10=100 (1000 B)/10
比较两个式子:200 B/10=100 A/10
200 B/10=100 (1000 B)/10
得:A=1000 B
即A比B多1000克朗(第一个儿子分得100克朗后余下的比第二个儿子分得200克朗后余下的多1000克朗)。
换一种说法就是200-100=100,100÷1/10=1000。
这一步是解题的关键,理解了其他的问题也就迎刃而解。
由于1000-200=800(第二个儿子没分走200克朗时多800克朗),那么A/10正好是800克朗,即第一个儿子分得100克朗后余下的十分之一正好是800克朗。
因此,第一个儿子分得800 100=900(克朗),亦即每个儿子分得900克朗。所以,这位父亲共有财产100 800÷1/10=8100(克朗),有儿子8100÷900=9(个)。
此类问题用这种方法解,浅显易懂,简洁方便。
现摘录一题(摘自《小学典型应用题精选》),如果您有兴趣,不妨试试。
猴子分桃:
有一群猴子分一堆桃子,第一只猴子分了4个桃子和剩下的十分之一,第二只猴子分了8个桃子和此时剩下的十分之一,第三只猴子分了12个桃子和这时剩下的十分之一……依次类推,最后发现这些桃子正好分完,且每只猴子分得的桃子同样多。问:这堆桃子共有多少个?猴子有多少只?
提示供参考:
可设第一只猴子分得4个后剩下的为a,第二只猴子分得8个后剩下的为b。
则第一只猴子分得:4 a/10
第二只猴子分得:8 b/10,8-4=4,4÷1/10=40
即a-b=40,a/10=40-8=32,所以第一只猴子分得32 4=36(个)桃子,即每只猴子都分得36个桃子。因此,桃子共有4 32÷1/10=324(个),猴子共有324÷36=9(只)。
许多数学爱好者被这道问题吸引了,并研究归纳出了一些解法。在中国大百科全书出版社出版的《数学名题》中,是用三元方程解的。在《小学数学教师》中曾经刊出两种解法。
解法一:
注:为便于叙述,称最后一个儿子为n个儿子,则倒数第二个就是第(n-l)个儿子。
显然,(n-1)个儿子分得的财产=100(n-1)+剩余财产的1/10,第n个儿子就分得了剩余财产的9/10。由题意又知第n个儿子分得的财产为100n,那么剩余财产的9/10=100n,所以“剩余财产”就为100n÷9/10,第(n-l)个儿子分得的财产为100(n-l) 100n÷9/101/10,而他与第n个儿子所得财产相等,可得方程:100(n-l) 100n÷9/101/10=100n。解之得n=9,即共有9个儿子,那么每个儿子可得1009=900克朗,共留下财产9009=8100克朗。
解法二:
第(n-1)个儿子分得的财产=100(n-1)+剩余财产的1/10,第n个儿子分得的财产为100n,两人所得财产一致,即100(n-1)+剩余财产的1/10=100n,所以剩余财产的1/10就是100n-100(n-1)=100克朗。那么,剩余财产就为100÷1/10=1000克朗,最后一个儿子分得:1000-100=900克朗。儿子个数为900÷l00=9(个),共留下财产9009=8100(克朗)。
笔者经过思考探索,得出了一种更巧妙的解法:
设第一个儿子分得100克朗后余下的财产为A,第二个儿子分得200克朗后余下的财产为B,则第一个儿子分得财产100 A/10,第二个儿子分得财产200 B/10。
由两人所得财产相等,可知200 B/10= 100 A/10,A比B多1000克朗。
因为200 B/10=100 100 B/10
所以:200 B/10=100 1000/10 B/10
200 B/10=100 (1000 B)/10
比较两个式子:200 B/10=100 A/10
200 B/10=100 (1000 B)/10
得:A=1000 B
即A比B多1000克朗(第一个儿子分得100克朗后余下的比第二个儿子分得200克朗后余下的多1000克朗)。
换一种说法就是200-100=100,100÷1/10=1000。
这一步是解题的关键,理解了其他的问题也就迎刃而解。
由于1000-200=800(第二个儿子没分走200克朗时多800克朗),那么A/10正好是800克朗,即第一个儿子分得100克朗后余下的十分之一正好是800克朗。
因此,第一个儿子分得800 100=900(克朗),亦即每个儿子分得900克朗。所以,这位父亲共有财产100 800÷1/10=8100(克朗),有儿子8100÷900=9(个)。
此类问题用这种方法解,浅显易懂,简洁方便。
现摘录一题(摘自《小学典型应用题精选》),如果您有兴趣,不妨试试。
猴子分桃:
有一群猴子分一堆桃子,第一只猴子分了4个桃子和剩下的十分之一,第二只猴子分了8个桃子和此时剩下的十分之一,第三只猴子分了12个桃子和这时剩下的十分之一……依次类推,最后发现这些桃子正好分完,且每只猴子分得的桃子同样多。问:这堆桃子共有多少个?猴子有多少只?
提示供参考:
可设第一只猴子分得4个后剩下的为a,第二只猴子分得8个后剩下的为b。
则第一只猴子分得:4 a/10
第二只猴子分得:8 b/10,8-4=4,4÷1/10=40
即a-b=40,a/10=40-8=32,所以第一只猴子分得32 4=36(个)桃子,即每只猴子都分得36个桃子。因此,桃子共有4 32÷1/10=324(个),猴子共有324÷36=9(只)。