【摘要】曲面面积的计算方法一般是利用重积分解决，但如果被积函数的原函数不是初等函数或积分相当复杂时，就必须使用近似方法来处理它。文章通过取得函数近似解析表达式的摄动方法来解决实际问题。
　　 【关键词】摄动方法；曲面面积；椭球面；Taylor公式
　　【中图分类号】G712 【文献标识码】A
　　【文章编号】1671-5969（2007）13-0153-02
　　
　　一、基本问题
　　
　　某建筑物顶部设计为一半椭球形，其半长轴和半短轴分别为21m和23m，在在施工过程中由于图纸变更，半长轴和半短轴分别变为21.5m和22.5m，半立轴不变为22 m，此半椭球建筑物表面要用贵重建材装饰，那么建筑商是否要追加建筑费用？
　　
　　二、建立数学模型
　　
　　取椭球面中心为坐标原点建立坐标系，则半椭球面的方程可写为
　　
　　当μ=1时对表达式求极限。若把（4）（5）两式代入（3）式，得到的是一个极为复杂的积分式，并且这是一个无法用初等函数形式来表达的积分，因此必须用近似方法来处理它。其实，可直接对（3）式进行处理，下面用摄动方法进行计算。
　　
　　三、摄动方法
　　
　　摄动方法就是对解析式中的小参数进行展开，从而求得近似解析解的方法，应用于积分计算，常常是采取将被积函数展开的方法[1]。
　　
　　关于小参数α，β展开。在这种双参数的情况下，可直接运用二元函数的Taylor公式，也可借助一元函数的Taylor公式[2]，为方便起见，将函数中的看作一个整体进行展开，作进一步的处理，可得：
　　
　　如果我们就取前三项的值（其实第三项的值已经很小了，下面的计算可以说明），则求得半椭球形建筑物的表面积：
　　变更前a=23,b=21,则α≈-0.08507,β≈0.09749
　　则表面积S1≈3033.24+5.999-1.275=3037.96(㎡)
　　变更后a=22.5,b=21.5,则α≈-0.043951,β≈0.047052
　　则表面积S1≈3037.95+4.710-0.315=3042.35(㎡)
　　由此可得，建筑商的心里就有了底。
　　
　　四、结语
　　
　　关于摄动方法，首先要注意的是函数关于小参数展开而不是关于自变量展开；其次是展开所得的渐近级数有时可能并不收敛，但仍可以用其有限项很好地近似函数。摄动方法在科学和工程技术各领域都有重要应用，是处理来自这些领域的微分方程最主要手段。通过本例希望读者学会在解决具体问题时能采取灵活的近似手段，这样做常常事半功倍。
　　
　　参考文献
　　 [1]王永正.摄动方法基础[M].北京:科学出版社，1994．
　　 [2]乐经良，等.数学试验[M].北京：高等教育出版社，1999．
　　 [3]A.H.Nayfen.摄动方法导引[M].上海：上海翻译出版公司，1989.
　　
　　 作者简介：郑淑红（1964－），女，河南宁陵人，商丘职业技术学院讲师，研究方向：数学教学。
　　
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