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[摘要]为了满足实际工程设计中对结构非线性全过程分析的需求，现行《混凝土结构设计规范》（GB50010-2010）建议了混凝土损伤本构关系。本文从《规范》建议混凝土损伤本构关系出发，结合结构非线性有限元方法，开展了钢筋混凝土结构非线性全过程分析的研究。以钢筋混凝土梁为算例，进行了算法的验证。结果表明，本文方法能够很好地模拟钢筋混凝土梁非线性行为，特别是对梁的裂缝产生和开展具有很好地追踪能力，能够为实际工程设计和分析提供理论依据和技术支持。
[关键词]钢筋混凝土；损伤模型；计算；开裂
Simulation of cracking and damage of a RC Beam Based on Damage Model Proposed by the Design Code
Yu Chunhai
(Shanghai Shanggui Architectural Design & Resear Institute CO.,LTD., 353 Jiamusi Road,Shanghai 200433,China)
Abstract: To meet the needs of structural nonlinear analysis in the design of structures, the current design code of concrete structures of China (GB50010-2010) proposed the damage model of concrete. Based on the damage model of concrete proposed by the design code, numerical investigations for the nonlinear behaviors of reinforced concrete are performed. A RC beam is simulated as a numerical example. The simulating results suggests that the nonlinear behaviors of reinforced concrete could be well reproduced by the damage model and nonlinear finite element analysis. The present work laid a solid foundation for the engineering design.
Key words: reinforced concrete; damage model; computation; cracking
1. 引言
混凝土目前土木工程中应用最多也是最广泛的材料。中国由于目前正在进行的基础设计建设的需要，拥有全球最大的混凝土市场。据不完全统计，全国目前有6000家左右预拌混凝土企业， 2013年年产量近20亿立方，产值接近6000亿元。中国是世界上最大的混凝土生产制造与消费国家，与混凝土紧密相关联的产业如水泥、砂石骨料、外加剂、混凝土机械设备等产能规模均居世界之首。
尽管混凝土材料和结构在工程实际中大量使用，由于其组成成分的复杂性和实际施工过程的不可控制性，混凝土的力学性质十分复杂，目前并没有建立起广泛接受的分析模型。另一方面，近年来重大工程建筑的对结构分析和设计提出了更高的要求，这就使得混凝土结构分析方法走到了继往开来的关键时期。而越来越多的研究者和设计者也将目标锁定到混凝土材料和结构的非线性全过程分析上来。
为了适应工程设计中对结构全过程非线性分析的需求，最新一版颁布实施的《混凝土结构设计规范》（GB50010-2010）[1]专门设置附录C对材料本构关系进行了阐述。对于混凝土材料，则在我国学者以往研究结果的基础之上，建议了损伤本构关系模型。损伤模型以损伤变量表征混凝土在外力作用之下的软化和弱化特性，其物理含义清晰，表达方式简洁，同时也便于工程师理解结构的性能，对结构的整体损伤进行评估。同时，损伤与结构的开裂等现象直接相联系，对于材料和结构的细观分析模型而言，损伤是一种采用“弱”不连续的方式描述材料中裂纹产生和开展的方法。伴随着损伤和裂缝的充分发展，混凝土构件最终发生破坏。
本文基于《混凝土结构设计规范》（GB50010-2010）[1]附录C建议损伤本构关系和钢筋本构关系，进行钢筋混凝土梁的非线性全过程分析，重点研究梁的裂缝开展直至最终破坏的全过程，为混凝土结构的非线性全过程分析奠定理论基础和提供技术支持。
2. 现行规范建议混凝土本构关系
本文将建立钢筋混凝土梁的平面分析模型，那么混凝土本构关系将采用《混凝土结构设计规范》（GB50010-2010）中建议的混凝土双轴本构关系。考虑到不同拉压组合作用下，混凝土材料性能的差别，本构关系的表达式在不同的拉压区分别表示如下：
1） 双轴受拉区（ ， ）
(1)
(2)
(3)
2） 雙轴受压区（ ， ）
(4)
(5)
(6)
3） 双轴拉压区（ ， ）或（ ， ）
(7)
(8)
其中， 为混凝土弹性模量， 为混凝土泊松比； 为混凝土受剪屈服参数， 为双轴受压强度提高系数，取值范围 ，可根据实验数据确定，在缺乏实验数据时可取1.2； 、 分别为受拉、受压能量等效应变，在不同的拉压组合区，其计算公式不同。
为受拉损伤变量，其计算公式如下：
(9)
(10)
其中 为混凝土单轴受拉应力-应变曲线下降段参数，《规范》中给出了取值表格； 与 分别为混凝土单轴抗拉强度代表值及其所对应的峰值应变，《规范》中亦给出了取值规则和表格。
为受拉损伤变量，其计算公式如下：
(11)
(12)
其中 为混凝土受压应力-应变曲线下降段参数，《规范》中给出了取值表格； 与 分别为混凝土单轴抗压强度代表值及其所对应的峰值应变，《规范》中亦给出了取值规则和表格。
上述表达式退化成单轴加载情况后，可得如下应力应变曲线：
图 1混凝土一维应力-应变曲线
由图 1可以看出，《规范》建议混凝土本构关系曲线与实测混凝土应力应变曲线具有很好的一致性。能够反映混凝土在加载前期的非线性，以及在加载后期超过峰值之后的软化和弱化特性。其结果可望较好地描述混凝土的非线性行为。
3. 结构有限元分析
从平衡方程出发，引入弱形式表达，可以建立结构有限元分析的基本表达式。
考虑如下结构平衡方程：
(13)
其中 为应力张量， 为体力向量。方程两边均乘以位移向量的变分并且积分，可得
(14)
方程左边分部积分并整理，可得
(15)
其中为外力边界条件。考虑应力张量的对称性，上式化为
(16)
考虑应变的定义
(17)
式化为
(18)
式即为结构平衡方程的弱形式（weak form），也是有限法建立的基础和出发点。
将结构所在空间区域 划分为若干有限单元，即
(19)
基于插值基函数近似插值计算单元内的位移场，有
(20)
写成矩阵形式，有
(21)
其中 为单元近似位移场向量， 为单元插值基函数矩阵， 为单元节点位移。对式求变分，可得
(22)
两边对坐标求偏导数并利用应变的定义，可得
(23)
其中 为应变插值矩阵。将式、和代入式可得
(24)
上式对于任意 均成立，于是有
(25)
对于线弹性问题，应力与应变之间满足如下线性关系：
(26)
代入式可得
(27)
其中
(28)
(29)
对于非线性问题，应力应变之间不再是如式所示线性关系，方程为非线性方程组，其求解需要借助非线性方程组的求解方法：如牛顿-拉弗森方法，弧长方法甚至显示动力积分方法。
4. 钢筋混凝土梁非线性全过程分析
将本文第二节所示本构关系，代入第三节的结构有限元方程，采用非线性方程求解算法，即可进行结构的非线性行为模拟。本文采用ABAQUS计算平台进行结构非线性分析，通过UMAT模块开发的方式将第二节所示混凝土本构關系集成到ABAQUS计算平台内[3]，建立钢筋混凝土构件或者结构的有限元并求解。本节以钢筋混凝土梁为例展示求解的过程与结果。
考虑如下钢筋混凝土梁：
图 2钢筋混凝土梁试验设计和配筋图
建立梁的有限元模型，混凝土采用平面单元（图 3），钢筋采用杆单元。为了模拟混凝土中裂缝的产生和扩展过程，混凝土单元的划分采用了精细的不规则网格，同时为了提高模拟的精度，也对支座进行了有限元建模（图 3）。钢筋采用embedded的方式嵌入到混凝土中，二者保持协调变形。混凝土采用本文第二节中的损伤本构关系；钢筋采用采用理想弹塑性模型。
图 3混凝土有限元网格
图 4、图 5和图 6分别给出了受拉损伤演化、受压损伤演化与力-位移曲线的计算结果。其中图 4所示受拉损伤演化结果直接对应于混凝土中裂缝的产生和发展全过程。本文方法模拟的裂缝与混凝土构件实测裂纹有着很好的一致性。图 5所示受压损伤演化结果对应于混凝土压碎的结果，可以看出梁顶为混凝土压碎的集中区域。图 6所示力-位移曲线清楚地显示了混凝土梁受力全过程所具有的线性段、开裂段，钢筋屈服段和破坏段等典型阶段，于实测结果较为一致。
图 4不同加载阶段受拉损伤分布
图 5不同加载阶段受压损伤分布
图 6梁加载全过程力-位移曲线
5. 结语
从《规范》建议混凝土损伤本构关系出发，结合非线性有限元法，进行了钢筋混凝土梁的非线性全过程分析。分析结果表明，本文采用方法能够很好地反映钢筋混凝土结构在加载全过程的非线性行为，特别是对混凝土裂缝的产生和发展具有很好地追踪能力，在实际工程中具有很好的应用价值，并对工程设计和分析提供指导。
参 考 文 献
[1] GB50010—2010 混凝土结构设计规范［S］． 北京: 中国建筑工业出版社，2010.
[2] LEE J, GL FENVES. Plastic-Damage Model for Cyclic Loading of Concrete Structures [J]. Journal of Engineering Mechanics, 1998, 124(8): 892-900.
[3] ABAQUS. Manual Version 6.7 [M]. H.K.S., 2007.
[4] MANDER J, PRIESTLEY M and PARK R. Theoretical Stress-Strain Model for Confined Concrete [J]. Journal of Structural Engineering, 1988, 114(8): 1804–1826.
[关键词]钢筋混凝土；损伤模型；计算；开裂
Simulation of cracking and damage of a RC Beam Based on Damage Model Proposed by the Design Code
Yu Chunhai
(Shanghai Shanggui Architectural Design & Resear Institute CO.,LTD., 353 Jiamusi Road,Shanghai 200433,China)
Abstract: To meet the needs of structural nonlinear analysis in the design of structures, the current design code of concrete structures of China (GB50010-2010) proposed the damage model of concrete. Based on the damage model of concrete proposed by the design code, numerical investigations for the nonlinear behaviors of reinforced concrete are performed. A RC beam is simulated as a numerical example. The simulating results suggests that the nonlinear behaviors of reinforced concrete could be well reproduced by the damage model and nonlinear finite element analysis. The present work laid a solid foundation for the engineering design.
Key words: reinforced concrete; damage model; computation; cracking
1. 引言
混凝土目前土木工程中应用最多也是最广泛的材料。中国由于目前正在进行的基础设计建设的需要，拥有全球最大的混凝土市场。据不完全统计，全国目前有6000家左右预拌混凝土企业， 2013年年产量近20亿立方，产值接近6000亿元。中国是世界上最大的混凝土生产制造与消费国家，与混凝土紧密相关联的产业如水泥、砂石骨料、外加剂、混凝土机械设备等产能规模均居世界之首。
尽管混凝土材料和结构在工程实际中大量使用，由于其组成成分的复杂性和实际施工过程的不可控制性，混凝土的力学性质十分复杂，目前并没有建立起广泛接受的分析模型。另一方面，近年来重大工程建筑的对结构分析和设计提出了更高的要求，这就使得混凝土结构分析方法走到了继往开来的关键时期。而越来越多的研究者和设计者也将目标锁定到混凝土材料和结构的非线性全过程分析上来。
为了适应工程设计中对结构全过程非线性分析的需求，最新一版颁布实施的《混凝土结构设计规范》（GB50010-2010）[1]专门设置附录C对材料本构关系进行了阐述。对于混凝土材料，则在我国学者以往研究结果的基础之上，建议了损伤本构关系模型。损伤模型以损伤变量表征混凝土在外力作用之下的软化和弱化特性，其物理含义清晰，表达方式简洁，同时也便于工程师理解结构的性能，对结构的整体损伤进行评估。同时，损伤与结构的开裂等现象直接相联系，对于材料和结构的细观分析模型而言，损伤是一种采用“弱”不连续的方式描述材料中裂纹产生和开展的方法。伴随着损伤和裂缝的充分发展，混凝土构件最终发生破坏。
本文基于《混凝土结构设计规范》（GB50010-2010）[1]附录C建议损伤本构关系和钢筋本构关系，进行钢筋混凝土梁的非线性全过程分析，重点研究梁的裂缝开展直至最终破坏的全过程，为混凝土结构的非线性全过程分析奠定理论基础和提供技术支持。
2. 现行规范建议混凝土本构关系
本文将建立钢筋混凝土梁的平面分析模型，那么混凝土本构关系将采用《混凝土结构设计规范》（GB50010-2010）中建议的混凝土双轴本构关系。考虑到不同拉压组合作用下，混凝土材料性能的差别，本构关系的表达式在不同的拉压区分别表示如下：
1） 双轴受拉区（ ， ）
(1)
(2)
(3)
2） 雙轴受压区（ ， ）
(4)
(5)
(6)
3） 双轴拉压区（ ， ）或（ ， ）
(7)
(8)
其中， 为混凝土弹性模量， 为混凝土泊松比； 为混凝土受剪屈服参数， 为双轴受压强度提高系数，取值范围 ，可根据实验数据确定，在缺乏实验数据时可取1.2； 、 分别为受拉、受压能量等效应变，在不同的拉压组合区，其计算公式不同。
为受拉损伤变量，其计算公式如下：
(9)
(10)
其中 为混凝土单轴受拉应力-应变曲线下降段参数，《规范》中给出了取值表格； 与 分别为混凝土单轴抗拉强度代表值及其所对应的峰值应变，《规范》中亦给出了取值规则和表格。
为受拉损伤变量，其计算公式如下：
(11)
(12)
其中 为混凝土受压应力-应变曲线下降段参数，《规范》中给出了取值表格； 与 分别为混凝土单轴抗压强度代表值及其所对应的峰值应变，《规范》中亦给出了取值规则和表格。
上述表达式退化成单轴加载情况后，可得如下应力应变曲线：
图 1混凝土一维应力-应变曲线
由图 1可以看出，《规范》建议混凝土本构关系曲线与实测混凝土应力应变曲线具有很好的一致性。能够反映混凝土在加载前期的非线性，以及在加载后期超过峰值之后的软化和弱化特性。其结果可望较好地描述混凝土的非线性行为。
3. 结构有限元分析
从平衡方程出发，引入弱形式表达，可以建立结构有限元分析的基本表达式。
考虑如下结构平衡方程：
(13)
其中 为应力张量， 为体力向量。方程两边均乘以位移向量的变分并且积分，可得
(14)
方程左边分部积分并整理，可得
(15)
其中为外力边界条件。考虑应力张量的对称性，上式化为
(16)
考虑应变的定义
(17)
式化为
(18)
式即为结构平衡方程的弱形式（weak form），也是有限法建立的基础和出发点。
将结构所在空间区域 划分为若干有限单元，即
(19)
基于插值基函数近似插值计算单元内的位移场，有
(20)
写成矩阵形式，有
(21)
其中 为单元近似位移场向量， 为单元插值基函数矩阵， 为单元节点位移。对式求变分，可得
(22)
两边对坐标求偏导数并利用应变的定义，可得
(23)
其中 为应变插值矩阵。将式、和代入式可得
(24)
上式对于任意 均成立，于是有
(25)
对于线弹性问题，应力与应变之间满足如下线性关系：
(26)
代入式可得
(27)
其中
(28)
(29)
对于非线性问题，应力应变之间不再是如式所示线性关系，方程为非线性方程组，其求解需要借助非线性方程组的求解方法：如牛顿-拉弗森方法，弧长方法甚至显示动力积分方法。
4. 钢筋混凝土梁非线性全过程分析
将本文第二节所示本构关系，代入第三节的结构有限元方程，采用非线性方程求解算法，即可进行结构的非线性行为模拟。本文采用ABAQUS计算平台进行结构非线性分析，通过UMAT模块开发的方式将第二节所示混凝土本构關系集成到ABAQUS计算平台内[3]，建立钢筋混凝土构件或者结构的有限元并求解。本节以钢筋混凝土梁为例展示求解的过程与结果。
考虑如下钢筋混凝土梁：
图 2钢筋混凝土梁试验设计和配筋图
建立梁的有限元模型，混凝土采用平面单元（图 3），钢筋采用杆单元。为了模拟混凝土中裂缝的产生和扩展过程，混凝土单元的划分采用了精细的不规则网格，同时为了提高模拟的精度，也对支座进行了有限元建模（图 3）。钢筋采用embedded的方式嵌入到混凝土中，二者保持协调变形。混凝土采用本文第二节中的损伤本构关系；钢筋采用采用理想弹塑性模型。
图 3混凝土有限元网格
图 4、图 5和图 6分别给出了受拉损伤演化、受压损伤演化与力-位移曲线的计算结果。其中图 4所示受拉损伤演化结果直接对应于混凝土中裂缝的产生和发展全过程。本文方法模拟的裂缝与混凝土构件实测裂纹有着很好的一致性。图 5所示受压损伤演化结果对应于混凝土压碎的结果，可以看出梁顶为混凝土压碎的集中区域。图 6所示力-位移曲线清楚地显示了混凝土梁受力全过程所具有的线性段、开裂段，钢筋屈服段和破坏段等典型阶段，于实测结果较为一致。
图 4不同加载阶段受拉损伤分布
图 5不同加载阶段受压损伤分布
图 6梁加载全过程力-位移曲线
5. 结语
从《规范》建议混凝土损伤本构关系出发，结合非线性有限元法，进行了钢筋混凝土梁的非线性全过程分析。分析结果表明，本文采用方法能够很好地反映钢筋混凝土结构在加载全过程的非线性行为，特别是对混凝土裂缝的产生和发展具有很好地追踪能力，在实际工程中具有很好的应用价值，并对工程设计和分析提供指导。
参 考 文 献
[1] GB50010—2010 混凝土结构设计规范［S］． 北京: 中国建筑工业出版社，2010.
[2] LEE J, GL FENVES. Plastic-Damage Model for Cyclic Loading of Concrete Structures [J]. Journal of Engineering Mechanics, 1998, 124(8): 892-900.
[3] ABAQUS. Manual Version 6.7 [M]. H.K.S., 2007.
[4] MANDER J, PRIESTLEY M and PARK R. Theoretical Stress-Strain Model for Confined Concrete [J]. Journal of Structural Engineering, 1988, 114(8): 1804–1826.