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我们在研究数学问题时，由于受到各种限制条件的制约和变化因素的影响，往往根据数学本质属性的相同点和不同点将其分成不同种类进行讨论，这就是数学分类思想方法。这种思想方法在初中数学中得到广泛应用，是中考必考的内容之一，也是初中数学的难点，学生往往感觉很难，或无从入手，或对讨论的结果不会归纳总结等等，这说明学生从“确定性”的数学问题过渡到“不定性”数学问题时存在困难。分类讨论不仅是解决数学问题的一种策略，还是训练学生思维方法培养思维能力的重要手段。
初中数学常见的分类有：按数分类（如绝对值的概念、实数的分类等）；按字母的取值范围的分类（如二次根式的化简、一元二次方程根与系数的关系及根的情况的讨论等）；按图形分类（如三角形的分类，对圆周角的证明等）；按图形的位置关系分类（如两直线位置关系、点与圆、直线与圆、圆与圆位置关系的研究）等。此类题目，因其解题方法没有固定的模式，只能是具体问题具体分析。本文就一些实际例题，“夹例夹叙”地加以说明。
例1 当a<0，b<0时，化简a+b+b-a
解析 由绝对值这一数学概念引起的分类讨论，要去绝对值符号就要对绝对值内的数进行分类，要判断a+b，b-a的符号则需要对a，b的大小进行讨论。
解 当a 当b 由于数学中许多概念的定义是分类给出的，如绝对值、平方根等，因此，当题目中涉及到这些概念时就必须按照给出的概念的分类形式进行讨论。
例2 关于x的方程k-1x2+4x-2=0有实数根，试求k的取值范围.
解析 本题首先要考虑到的x2系数是字母k-1进行讨论：当k-1=0时，原方程为一元一次方程；当k-1≠0时，原方程为一元二次方程。
解：①当k-1=0时，原方程为一元一次方程，它有实数根，
所以k=1
②当k-1≠0时，原方程为一元二次方程，要使它有实数根，则b2-4ac？叟0
即16+8（k-1）？叟0 所以k？叟-1且k≠1
综上所述，k？叟-1
在研究含参数的函数、方程、不等式等问题时，需要对二次项系数k-1是否等于0进行讨论。应注意的是，一道题目是否需要讨论，什么时候讨论，并不是看题目中是否含有参数，而是看它是否影响继续解题。有些题目一开始就要进行分类讨论，有些题目是在解题过程中进行讨论，甚至可以回避讨论，因此，解题方法不可一概而论，应具体问题具体分析。
例3 如图，直线AB经过⊙O的圆心，与⊙O相交于点A、B，点C在⊙O上，且∠AOC=30°，点P是直线AB上的一个动点（与O不重合），直线PC与⊙O相交于点Q，问：点P在直线AB的什么位置上时，QP=QO？这样的点P共有几个？并相应地求出∠OCP的度数。
解析 点P是直线AB上的一个动点，因此P可能在线段OA上，可能在线段OA的延长线上，还可能在线段OA的反向延长线上。
解 ①当P在线段OA上（如图1）
∵在△QOC中，OC=OQ∴∠OQC=∠OCP
∵在△OPQ中，QP=QO∴∠QOP=∠QPO又∵∠AOC=30°
∴∠QPO=∠OCP+∠AOC=∠OCP+30°
又∵在△OPQ中，∠QOP+∠QPO+∠OQC=180°
即∠OCP+30°+∠OCP+30°∠OCP=180°
∴3∠OCP=120°∴∠OCP=40°
②当P在线段OA的延长线上（如图2）
∵OC=OQ∴∠OQP=（1）
∵QO=QP∴∠OPQ=∠QOP=30°+∠QOC（2）
在△OPQ中，30°+∠QOC+∠OQP+∠OPQ=180°（3）
将（1）（2）代入（3）得：∠QOC=20°
则∠OQP=80°∴∠OCP=100°
③当P在线段OA的反向延长线上（如图3）
∵OC=OQ∴∠OCP+∠OQC=180°-2COQ（1）
∵OQ=PQ ∴∠P=∠QOP（2）
∵∠AOC=30° ∴∠COQ+∠POQ=150°（3）
∵QP=QO，OC=OQ ∴2∠P=∠OCP=∠OQC（4）
由（1）（2）（3）（4）得∠P=10°∴∠OCP=180°-150°-10°=20°
综上所述：∠OCP的度数为或20°或100°
几何中常见的是由图形的不确定性引起的分类，此类分类讨论通常是按几何图形的特征或几何图形的位置来进行分类。它以分析、观察、比较为基础，通过找出共同点和不同点，从而提出分类依据和标准。正确的分类应符合两条原则：一是分类应按同一标准进行；二是分类应该不重复，不遗漏。
总之，分类讨论涉及到全部初中数学的知识点，其关键是弄清楚引起分类的原因，明确分类讨论的标准，应该按可能出现的情况做到既不重复又不遗漏，分门别类加以讨论求解，再将不同结论综合归纳，从而得出正确答案。分类讨论是一种“分而治之”的解题策略，通过降低问题的难度来解决问题。我们应在解题过程中逐步形成运用分类讨论的数学思想，以此达到提高解题能力的目的。
（责任编辑：仇素馨）
初中数学常见的分类有：按数分类（如绝对值的概念、实数的分类等）；按字母的取值范围的分类（如二次根式的化简、一元二次方程根与系数的关系及根的情况的讨论等）；按图形分类（如三角形的分类，对圆周角的证明等）；按图形的位置关系分类（如两直线位置关系、点与圆、直线与圆、圆与圆位置关系的研究）等。此类题目，因其解题方法没有固定的模式，只能是具体问题具体分析。本文就一些实际例题，“夹例夹叙”地加以说明。
例1 当a<0，b<0时，化简a+b+b-a
解析 由绝对值这一数学概念引起的分类讨论，要去绝对值符号就要对绝对值内的数进行分类，要判断a+b，b-a的符号则需要对a，b的大小进行讨论。
解 当a
例2 关于x的方程k-1x2+4x-2=0有实数根，试求k的取值范围.
解析 本题首先要考虑到的x2系数是字母k-1进行讨论：当k-1=0时，原方程为一元一次方程；当k-1≠0时，原方程为一元二次方程。
解：①当k-1=0时，原方程为一元一次方程，它有实数根，
所以k=1
②当k-1≠0时，原方程为一元二次方程，要使它有实数根，则b2-4ac？叟0
即16+8（k-1）？叟0 所以k？叟-1且k≠1
综上所述，k？叟-1
在研究含参数的函数、方程、不等式等问题时，需要对二次项系数k-1是否等于0进行讨论。应注意的是，一道题目是否需要讨论，什么时候讨论，并不是看题目中是否含有参数，而是看它是否影响继续解题。有些题目一开始就要进行分类讨论，有些题目是在解题过程中进行讨论，甚至可以回避讨论，因此，解题方法不可一概而论，应具体问题具体分析。
例3 如图，直线AB经过⊙O的圆心，与⊙O相交于点A、B，点C在⊙O上，且∠AOC=30°，点P是直线AB上的一个动点（与O不重合），直线PC与⊙O相交于点Q，问：点P在直线AB的什么位置上时，QP=QO？这样的点P共有几个？并相应地求出∠OCP的度数。
解析 点P是直线AB上的一个动点，因此P可能在线段OA上，可能在线段OA的延长线上，还可能在线段OA的反向延长线上。
解 ①当P在线段OA上（如图1）
∵在△QOC中，OC=OQ∴∠OQC=∠OCP
∵在△OPQ中，QP=QO∴∠QOP=∠QPO又∵∠AOC=30°
∴∠QPO=∠OCP+∠AOC=∠OCP+30°
又∵在△OPQ中，∠QOP+∠QPO+∠OQC=180°
即∠OCP+30°+∠OCP+30°∠OCP=180°
∴3∠OCP=120°∴∠OCP=40°
②当P在线段OA的延长线上（如图2）
∵OC=OQ∴∠OQP=（1）
∵QO=QP∴∠OPQ=∠QOP=30°+∠QOC（2）
在△OPQ中，30°+∠QOC+∠OQP+∠OPQ=180°（3）
将（1）（2）代入（3）得：∠QOC=20°
则∠OQP=80°∴∠OCP=100°
③当P在线段OA的反向延长线上（如图3）
∵OC=OQ∴∠OCP+∠OQC=180°-2COQ（1）
∵OQ=PQ ∴∠P=∠QOP（2）
∵∠AOC=30° ∴∠COQ+∠POQ=150°（3）
∵QP=QO，OC=OQ ∴2∠P=∠OCP=∠OQC（4）
由（1）（2）（3）（4）得∠P=10°∴∠OCP=180°-150°-10°=20°
综上所述：∠OCP的度数为或20°或100°
几何中常见的是由图形的不确定性引起的分类，此类分类讨论通常是按几何图形的特征或几何图形的位置来进行分类。它以分析、观察、比较为基础，通过找出共同点和不同点，从而提出分类依据和标准。正确的分类应符合两条原则：一是分类应按同一标准进行；二是分类应该不重复，不遗漏。
总之，分类讨论涉及到全部初中数学的知识点，其关键是弄清楚引起分类的原因，明确分类讨论的标准，应该按可能出现的情况做到既不重复又不遗漏，分门别类加以讨论求解，再将不同结论综合归纳，从而得出正确答案。分类讨论是一种“分而治之”的解题策略，通过降低问题的难度来解决问题。我们应在解题过程中逐步形成运用分类讨论的数学思想，以此达到提高解题能力的目的。
（责任编辑：仇素馨）