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在一次区优质课的校级选拔赛上，一位青年教师执教了“分数的基本性质”一课。教学过程大致是这样的：学生从分蛋糕的情境中顺利得出了1/3=2/6=3/9之后，教师抛出了一个问题：“请同学们从左往右观察1/3=2/6=3/9，你发现了什么?”马上有学生(生1)站起来回答：“从左往右看，我发现分子不断加1，分母不断加3。”这个回答让教师深感意外，因为它与教师预设的“分子、分母同时扩大2倍、3倍”有些差距。为了让学生顺利地得出预设的结果，教师又抛出了第二个问题：“先从第一个分数看到第二个分数，再从第一个分数看到第三个分数，在乘法方面你能发现什么规律?”可以说教师的提问已经十分细致到位了，可学生的回答却让这位教师的心凉了半截。生2：“我发现第一个分数的分母乘以第二个分数的分子刚好等于第二个分数的分母，也就是3×2=6，从第一个分数到第三个分数也是这样的，即3×3=9。”同时带来许多学生的附和声。面对学生回答出现的连续意外，教师一时束手无策，只能又回到导入部分的蛋糕情境中，从剩下的1/3=4/6=6/9开始，将错就错，反驳了生2的观点。之后又此为起点，兜了一个大圈，终于得出了“分子、分母扩大相同的倍数”的结论，这时下课铃声已经响了。
课后，我让这位教师谈谈感受。他说：“太意外了，没想到×××(生1)居然会这样回答，我试教了三次都没遇到这样的回答……”
生1的回答是个意外吗?我认为不是，充其量只能算是回答不到位，但为什么会让教师深感“意外”呢?
“意外”，顾名思义是意料之外，即课堂中发生教学预设之外的偶然事件。生1的回答是偶然的吗?就本节课而言，设计“让学生观察1/3=2/6=3/9，并从中发现分数基本性质”的过程，是完成教学目标和突破教学难点的必经之路。学生要从“1/3=2/6=3/9”的关系式中抽象出分数的基本性质，必须具备两种能力：观察的有序性和乘除法的运算能力。对于四年级的学生来说，后一知识能力是具备的，但对于观察的有序性的运用则有一定的困难。所以，教师在问题的设计时，必须要对“有序观察”进行有效的指导。
上述案例中，教师提出的问题(请同学们从左往右观察……)是一个考虑到学生思维特点的好问题。对于教师的提问，学生必然要想方设法进行解答，生1的回答正是对教师的正面回应，应该说这是必然而非偶然的。但这却给了教师一个意外。是学生答错了吗?当然不是。问题中“你发现了什么”这一探究式的问法是被学生乐于接受的，由于这是一个全新的知识，学生还没有获得解决问题的明显方法。因此，这一充满障碍性和探究性的问题，给了学生广阔的思考空间。生1的回答不仅正确反映了个体的发现，还将先前的知识用于了新的、陌生的情境之中。可以说，这一个难得的探究发现的过程。
那么，是哪里的错误让教师产生了意外呢?是教师对学生表达意义理解的偏差产生“意外”。学生用加法形式的陈述(分子不断加1，分母不断加3)与教师预设乘法表达(扩大2倍、3倍)之间的差异，让执教教师产生了一个“错误”的信号，正是这个信号产生了“意外”。而实际上，学生的回答和教师的预设(加法的表述与乘法的本质)之间是一致的。分子不断加1，也就是说分子每次都加上了1。即相同加数就是1，1/3中分子是一个1，2/6中分子是2个1，3/9中分子是3个1。换句话说，分子分别是乘以了1、2、3；同理，分母也是分别乘以了1、2、3。此时，教师只需要这样提问：“你说的分子不断加1是什么意思?2/3的分子有几个1?3/9呢?能换个说法吗?”这样就可以将矛盾顺利化解，将意外化于无形了。但是由于教师产生不该有的“偏差”，给了学生一个错误的反馈(教师在沉默中又抛出了第二个问题)，这个错误的反馈向学生输送了错误的信息(生1的回答是错误的)。所以尽管第二个问题的指向性更明确，但学生的回答却滑离教学目标更远的地方。“南辕北辙”的结果让上课的教师惊出了一身冷汗，最后教师只能将错就错又退回从导入部分开始引领，虽然还是精彩地得出了分数的基本性质，但这时下课铃声已经响起。
从表面上看，这位教师缺少了一点课堂教学机智，或者说少了一些有效引领意外的策略；从深层次上说，这位教师不仅在专业数学素养上有所欠缺，更重要的是缺少了“以生为本”和“课堂教学成本”的意识。这种大成本的意外，不能不让我们反思。
那么，如何合理地把握意外?如何进行正确的引领意外呢?
一、相信学生，尊重每个“意外”
意外来自于学生，尽管有时它和我们的预设似乎相背离，但每一个意外的产生都有其必然的根源。每一个意外的生成都经过学生的思维加工，都是学生劳动创造的成果。对于这一份成果，我们每一个教育者要尊重它，相信学生创造的每一个意外都是一个亮点的闪现。意外出现时，我们不该惊诧，不能简单粗暴地加以制止，要以一种欣赏的眼光去包容它、尊重它。通过意外的展现，帮助学生检验他们的思维，弄清楚他们各种各样的想法为什么需要改变，以及怎样改变。
当然，以欣赏的眼光去“相信学生，尊重意外”，并不是说处处以学生为中心，围绕学生产生的意外而转。教育环境论者認为，完全以学习者为中心的环境，并不是一定就能帮助学生获得他们所需要的知识和技能。相信学生的同时还必须尊重知识，尊重知识的基础性、系统性和逻辑性，要以引导帮助学生理解掌握新知为目标。只有这样，才能处理好学生中心和知识中心之间的平衡关系。
二、提高素养，正确诊断“意外”
当然，意外毕竟是与课堂目标之间有着一定的差距，不能为教学目标直接服务。当意外产生时，教师首先要在较短的时间内作出正确与否的判断，再根据判断结果采取相应的措施。由于意外产生的时机、方向、内容都是瞬息万变，具有非常大的不可确定性，因此它就对教师的专业水平提出了相当高的要求。教师只有不断提高自己的业务素质和专业化水平，才能对课堂上学生出现的意外作出及时正确的诊断。
三、润物无声。正确引领“意外”
苏霍姆林斯基说过：“教育的技巧并不在于预见到课堂的所有细节，而是在于根据当时的情况，巧妙地在学生不知不觉中做出相应的变动。”特别是课堂上某些意外的生成稍纵即逝，如不及时点拨，那是非常遗憾的。因此，正确诊断“意外”之后，教师应根据学生的学习基础与课堂的反映，及时地生成教学目标，调整预设的教学过程。如果学生产生的意外是与预设目标相背离的，教师应该找出背离的根源是认知、技能还是情感等原因，然后再调整自己的教学预设，使教师的教学思维水平、知识基础、教学方式符合学生的特点，将背离的意外引向正确的目标。如果意外与预设目标相一致。教师就应找准它们之间本质的共同点(如生1回答的简洁意义就是共同点)，建立意外和目标之间的链接点，帮助学生全面本质地理解“意外”。但不管哪种情况，教师在处理时，要根据当时的具体情况，采取“顺水推舟”“将错就错”“欲擒故纵”等不同的教学策略，巧妙地、不知不觉地处理意外，使学生在春风拂面中解决意外，达到润物无声的效果。
四、成本意识，有的放矢地处理“意外”
意外的产生，对课堂教学来说是必然的，但这只是课堂教学中的一个小插曲，对促进学生的发展及教学目标的达成并不都是起着正面的作用。因此。教师在处理意外时，要以教学目标为中心，要有课堂教学的成本意识，对不同的意外情况要采用告知、延后、淡化等不同的方式来处理，以提高课堂教学效率。
总之，教学展开的过程应该是师生之间、生生之间知识、思考、见解和价值取向多向交流与碰撞的过程。面对课堂中的意外生成，教师要及时地捕捉有价值的信息，思考其中蕴涵的有价值的数学学习内容，有效运用各种策略，从而让数学课堂成为师生情智共生、富有个性、具有挑战性的学习过程。
课后，我让这位教师谈谈感受。他说：“太意外了，没想到×××(生1)居然会这样回答，我试教了三次都没遇到这样的回答……”
生1的回答是个意外吗?我认为不是，充其量只能算是回答不到位，但为什么会让教师深感“意外”呢?
“意外”，顾名思义是意料之外，即课堂中发生教学预设之外的偶然事件。生1的回答是偶然的吗?就本节课而言，设计“让学生观察1/3=2/6=3/9，并从中发现分数基本性质”的过程，是完成教学目标和突破教学难点的必经之路。学生要从“1/3=2/6=3/9”的关系式中抽象出分数的基本性质，必须具备两种能力：观察的有序性和乘除法的运算能力。对于四年级的学生来说，后一知识能力是具备的，但对于观察的有序性的运用则有一定的困难。所以，教师在问题的设计时，必须要对“有序观察”进行有效的指导。
上述案例中，教师提出的问题(请同学们从左往右观察……)是一个考虑到学生思维特点的好问题。对于教师的提问，学生必然要想方设法进行解答，生1的回答正是对教师的正面回应，应该说这是必然而非偶然的。但这却给了教师一个意外。是学生答错了吗?当然不是。问题中“你发现了什么”这一探究式的问法是被学生乐于接受的，由于这是一个全新的知识，学生还没有获得解决问题的明显方法。因此，这一充满障碍性和探究性的问题，给了学生广阔的思考空间。生1的回答不仅正确反映了个体的发现，还将先前的知识用于了新的、陌生的情境之中。可以说，这一个难得的探究发现的过程。
那么，是哪里的错误让教师产生了意外呢?是教师对学生表达意义理解的偏差产生“意外”。学生用加法形式的陈述(分子不断加1，分母不断加3)与教师预设乘法表达(扩大2倍、3倍)之间的差异，让执教教师产生了一个“错误”的信号，正是这个信号产生了“意外”。而实际上，学生的回答和教师的预设(加法的表述与乘法的本质)之间是一致的。分子不断加1，也就是说分子每次都加上了1。即相同加数就是1，1/3中分子是一个1，2/6中分子是2个1，3/9中分子是3个1。换句话说，分子分别是乘以了1、2、3；同理，分母也是分别乘以了1、2、3。此时，教师只需要这样提问：“你说的分子不断加1是什么意思?2/3的分子有几个1?3/9呢?能换个说法吗?”这样就可以将矛盾顺利化解，将意外化于无形了。但是由于教师产生不该有的“偏差”，给了学生一个错误的反馈(教师在沉默中又抛出了第二个问题)，这个错误的反馈向学生输送了错误的信息(生1的回答是错误的)。所以尽管第二个问题的指向性更明确，但学生的回答却滑离教学目标更远的地方。“南辕北辙”的结果让上课的教师惊出了一身冷汗，最后教师只能将错就错又退回从导入部分开始引领，虽然还是精彩地得出了分数的基本性质，但这时下课铃声已经响起。
从表面上看，这位教师缺少了一点课堂教学机智，或者说少了一些有效引领意外的策略；从深层次上说，这位教师不仅在专业数学素养上有所欠缺，更重要的是缺少了“以生为本”和“课堂教学成本”的意识。这种大成本的意外，不能不让我们反思。
那么，如何合理地把握意外?如何进行正确的引领意外呢?
一、相信学生，尊重每个“意外”
意外来自于学生，尽管有时它和我们的预设似乎相背离，但每一个意外的产生都有其必然的根源。每一个意外的生成都经过学生的思维加工，都是学生劳动创造的成果。对于这一份成果，我们每一个教育者要尊重它，相信学生创造的每一个意外都是一个亮点的闪现。意外出现时，我们不该惊诧，不能简单粗暴地加以制止，要以一种欣赏的眼光去包容它、尊重它。通过意外的展现，帮助学生检验他们的思维，弄清楚他们各种各样的想法为什么需要改变，以及怎样改变。
当然，以欣赏的眼光去“相信学生，尊重意外”，并不是说处处以学生为中心，围绕学生产生的意外而转。教育环境论者認为，完全以学习者为中心的环境，并不是一定就能帮助学生获得他们所需要的知识和技能。相信学生的同时还必须尊重知识，尊重知识的基础性、系统性和逻辑性，要以引导帮助学生理解掌握新知为目标。只有这样，才能处理好学生中心和知识中心之间的平衡关系。
二、提高素养，正确诊断“意外”
当然，意外毕竟是与课堂目标之间有着一定的差距，不能为教学目标直接服务。当意外产生时，教师首先要在较短的时间内作出正确与否的判断，再根据判断结果采取相应的措施。由于意外产生的时机、方向、内容都是瞬息万变，具有非常大的不可确定性，因此它就对教师的专业水平提出了相当高的要求。教师只有不断提高自己的业务素质和专业化水平，才能对课堂上学生出现的意外作出及时正确的诊断。
三、润物无声。正确引领“意外”
苏霍姆林斯基说过：“教育的技巧并不在于预见到课堂的所有细节，而是在于根据当时的情况，巧妙地在学生不知不觉中做出相应的变动。”特别是课堂上某些意外的生成稍纵即逝，如不及时点拨，那是非常遗憾的。因此，正确诊断“意外”之后，教师应根据学生的学习基础与课堂的反映，及时地生成教学目标，调整预设的教学过程。如果学生产生的意外是与预设目标相背离的，教师应该找出背离的根源是认知、技能还是情感等原因，然后再调整自己的教学预设，使教师的教学思维水平、知识基础、教学方式符合学生的特点，将背离的意外引向正确的目标。如果意外与预设目标相一致。教师就应找准它们之间本质的共同点(如生1回答的简洁意义就是共同点)，建立意外和目标之间的链接点，帮助学生全面本质地理解“意外”。但不管哪种情况，教师在处理时，要根据当时的具体情况，采取“顺水推舟”“将错就错”“欲擒故纵”等不同的教学策略，巧妙地、不知不觉地处理意外，使学生在春风拂面中解决意外，达到润物无声的效果。
四、成本意识，有的放矢地处理“意外”
意外的产生，对课堂教学来说是必然的，但这只是课堂教学中的一个小插曲，对促进学生的发展及教学目标的达成并不都是起着正面的作用。因此。教师在处理意外时，要以教学目标为中心，要有课堂教学的成本意识，对不同的意外情况要采用告知、延后、淡化等不同的方式来处理，以提高课堂教学效率。
总之，教学展开的过程应该是师生之间、生生之间知识、思考、见解和价值取向多向交流与碰撞的过程。面对课堂中的意外生成，教师要及时地捕捉有价值的信息，思考其中蕴涵的有价值的数学学习内容，有效运用各种策略，从而让数学课堂成为师生情智共生、富有个性、具有挑战性的学习过程。