论文部分内容阅读
立体几何的教学目标是培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力,因此要学好立体几何应注重培养学生的以下几种意识。
一、语言规范意识
数学语言通常分为文字、符号和图形三种语言,在立几教学中要注重数学语言的教学。
1.在立几教学中要规范三种语言
学生在表达立体几何问题时,常常在语言表达上不规范,用文字语言表达时不够严密,如过点A作AE⊥BC,这句话就不严密,因为过空间一点与一直线垂直的直线有无数条,应写成过点A作AE⊥BC交BC于E,即过……作……交于……。因此,在立几教学中应注意这种书写规范性的培养。
用符合语言表述立体几何问题时,应注意符号的准确性。如用集合符号∈、∩、等表述立几问题时,往往应用不正确。因此,在教学过程中应注意符号语言准确性的培养。
在立几中,准确作图有助于解题思路的发现及最终解决,有的学生对作图没有按画图规则作图,这样作出图形往往会给思考问题会造成错觉。因此,在教学过程中,教师在画图时,要讲清图形怎样画,更要讲清为什么这样画,培养学生正确做图的能力。
2.在立几教学中培养学生三种语言间的互译能力
数学语言是数学思维的载体。数学文字、符号、图形语言虽然形式各异,但它们在描述一个定理时本质属性是一致的,因此它们之间可以互译,重视和加强三种数学语言,是学好立几的关键。
例1:对于直线m,n和平面α、β,α⊥β的一个充分条件是( )
分析:本题中涉及的基本线、面关系都是用符合语言表述的,需作适当的语言翻译,弄清题意,才能作出正确的判断。对于A,翻译成文字语言是:两个平面分别于两条垂直的直线中的一条,这两个平面垂直。这显然是一个假命题,对于B。翻译成图形语言可以如图1所示,由此即可作判断:α与β不一定垂直,对于C,用符合语言推理是:
二、类比意识
立体几何是平面几何的延伸,立几与平几既有联系又有区别,通过平几与立几的类比,有助于学好立几。
1.性质类比
立体几何与平面几何有紧密的内在联系。在立体几何里,平面几何的定义、公理、定理等,对于同一平面内的图形仍然成立,但对于非平面图形一些则不能成立。例如:过直线上一点能且只有引该直线的一条垂直在平面内是成立的,但在空间就不成立。过直线外一点能且只能引该直线的一条平行线,在平面内和空间都成立。因此,在教学中,引导学生进行类比,区别异同,从而建立清晰的空间概念,正确掌握空间图形的性质。
2.解题方法类比
立体几何中有些问题的解题方法与平面几何中的解题方法非常相似。
例2.过△ABC内一点P,分别引三条平行各边的直线,这些直线分△ABC为六个部分,其中三个角形的面积依次为S1,S2,S3,如图2,求△ABC的面积S。
例2应用了相似比和等比定理,方法相似。很多立体几何问题,都可以运用这种类比的方法解决。
三、转化意识
转化是学好立几的关键之一,在教学中要注重培养学业的转化思想。
1.在立体几何定理的教学中,培养学生的转化意识
立体几何中许多定理和性质都体现了线面关系转化为线线关系,面面关系转化为线面关系。例如,我们学习直线与平面垂直的判定定理:要判定直线与平面垂直,只要通过判定直线与这平面内两条相交直线垂直,把直线与平面关系转化为直线与直线的关系。
2.在引导学生分析,解决立体几何问题的过程中,培养学生把空间问题转化为平面问题
空间图形的主要元素往往可集中在某一特征平面上,把这一特征平面分离出来,画成原形,作为空间图形的一个“特写镜头”,将焦点都集中到这个镜头上,用平面几何的方法去分析研究,可使问题很快得到解决
例3:α-EF-β是120°的二面角,从其内的一点P分别作PA⊥α于A,PB⊥β于B,若PA=3,PB=1,求点P到棱EF的距离。
分析:(1)先作出这个距离,过PA、PB作平面交EF于C,则PC⊥EF,所以PC是P到EF的距离(如图3),可证∠ACB是二面角α-EF-β的平面角,即∠ACB=120°,主要元素都集中在平面PAB上,把它分离出来,画出原形(如图4)。
(2)问题转化为平面四边形PACB中的一个平面几何问题了,易证P,A,C,B四点共圆,PC可看出△PAB外接圆的直径,由余弦定理得:AB==,由正弦定理得PC==。
空间图形的主要元素往往集中在某一特征平面上,如旋转体的轴截面或侧面展开图,正棱锥的直角三解形,正棱台的直解梯形,都包含它们的主要元素,把特征平面分离出来,作为“特写镜头”,重点去分析研究,即转化为平面几何问题解决。
3.求体积教学中,培养学生等体转化意识。
求距离或体积等问题,利用三棱锥体积自等或等底等高的几何体等积进行转化。
例4:正方体AC1中,E、F是BB1,CD中点,设AA1=2,求三棱锥体积VF-A1ED1。
四、割补意识
“割与补”这种重要的数学思想方法,是把不便于计算的几何体通过割或补的技巧转化为规则的,便于研究或计算的几何体。
五、垂线意识
垂直关系又是各种位置关系的核心,垂直关系与角和距离的求解以及面积、体积的计算等有着非常密切的联系。许多立几问题的“题眼”往往都在于垂直关系。找到或作出平面的垂线,解题思路就变得清晰。因此,在教学中要处处培养学生的垂线意识。
分析(2):AB⊥BD且平面ABD⊥平面BCD∴AB⊥平面BCD
过B作BH⊥EC于H,连结AB,则BH是AH在面BCD上射影,∠AHB是二面角A—CE—B的平面角。
注:(2)中关键寻找到AB是面BCD的垂线,作出CE的垂线BH。
在新课程的知识体系中,立体几何是高中数学的重要内容之一,它对学生空间概念的建立、空间思维能力的形成和想象力的发展起着重要作用。因此,在立体几何教学中要重视培养学生的几种意识,有利于学生掌握学习技巧和规律。
(作者单位:浙江省松阳县第一中学)
一、语言规范意识
数学语言通常分为文字、符号和图形三种语言,在立几教学中要注重数学语言的教学。
1.在立几教学中要规范三种语言
学生在表达立体几何问题时,常常在语言表达上不规范,用文字语言表达时不够严密,如过点A作AE⊥BC,这句话就不严密,因为过空间一点与一直线垂直的直线有无数条,应写成过点A作AE⊥BC交BC于E,即过……作……交于……。因此,在立几教学中应注意这种书写规范性的培养。
用符合语言表述立体几何问题时,应注意符号的准确性。如用集合符号∈、∩、等表述立几问题时,往往应用不正确。因此,在教学过程中应注意符号语言准确性的培养。
在立几中,准确作图有助于解题思路的发现及最终解决,有的学生对作图没有按画图规则作图,这样作出图形往往会给思考问题会造成错觉。因此,在教学过程中,教师在画图时,要讲清图形怎样画,更要讲清为什么这样画,培养学生正确做图的能力。
2.在立几教学中培养学生三种语言间的互译能力
数学语言是数学思维的载体。数学文字、符号、图形语言虽然形式各异,但它们在描述一个定理时本质属性是一致的,因此它们之间可以互译,重视和加强三种数学语言,是学好立几的关键。
例1:对于直线m,n和平面α、β,α⊥β的一个充分条件是( )
分析:本题中涉及的基本线、面关系都是用符合语言表述的,需作适当的语言翻译,弄清题意,才能作出正确的判断。对于A,翻译成文字语言是:两个平面分别于两条垂直的直线中的一条,这两个平面垂直。这显然是一个假命题,对于B。翻译成图形语言可以如图1所示,由此即可作判断:α与β不一定垂直,对于C,用符合语言推理是:
二、类比意识
立体几何是平面几何的延伸,立几与平几既有联系又有区别,通过平几与立几的类比,有助于学好立几。
1.性质类比
立体几何与平面几何有紧密的内在联系。在立体几何里,平面几何的定义、公理、定理等,对于同一平面内的图形仍然成立,但对于非平面图形一些则不能成立。例如:过直线上一点能且只有引该直线的一条垂直在平面内是成立的,但在空间就不成立。过直线外一点能且只能引该直线的一条平行线,在平面内和空间都成立。因此,在教学中,引导学生进行类比,区别异同,从而建立清晰的空间概念,正确掌握空间图形的性质。
2.解题方法类比
立体几何中有些问题的解题方法与平面几何中的解题方法非常相似。
例2.过△ABC内一点P,分别引三条平行各边的直线,这些直线分△ABC为六个部分,其中三个角形的面积依次为S1,S2,S3,如图2,求△ABC的面积S。
例2应用了相似比和等比定理,方法相似。很多立体几何问题,都可以运用这种类比的方法解决。
三、转化意识
转化是学好立几的关键之一,在教学中要注重培养学业的转化思想。
1.在立体几何定理的教学中,培养学生的转化意识
立体几何中许多定理和性质都体现了线面关系转化为线线关系,面面关系转化为线面关系。例如,我们学习直线与平面垂直的判定定理:要判定直线与平面垂直,只要通过判定直线与这平面内两条相交直线垂直,把直线与平面关系转化为直线与直线的关系。
2.在引导学生分析,解决立体几何问题的过程中,培养学生把空间问题转化为平面问题
空间图形的主要元素往往可集中在某一特征平面上,把这一特征平面分离出来,画成原形,作为空间图形的一个“特写镜头”,将焦点都集中到这个镜头上,用平面几何的方法去分析研究,可使问题很快得到解决
例3:α-EF-β是120°的二面角,从其内的一点P分别作PA⊥α于A,PB⊥β于B,若PA=3,PB=1,求点P到棱EF的距离。
分析:(1)先作出这个距离,过PA、PB作平面交EF于C,则PC⊥EF,所以PC是P到EF的距离(如图3),可证∠ACB是二面角α-EF-β的平面角,即∠ACB=120°,主要元素都集中在平面PAB上,把它分离出来,画出原形(如图4)。
(2)问题转化为平面四边形PACB中的一个平面几何问题了,易证P,A,C,B四点共圆,PC可看出△PAB外接圆的直径,由余弦定理得:AB==,由正弦定理得PC==。
空间图形的主要元素往往集中在某一特征平面上,如旋转体的轴截面或侧面展开图,正棱锥的直角三解形,正棱台的直解梯形,都包含它们的主要元素,把特征平面分离出来,作为“特写镜头”,重点去分析研究,即转化为平面几何问题解决。
3.求体积教学中,培养学生等体转化意识。
求距离或体积等问题,利用三棱锥体积自等或等底等高的几何体等积进行转化。
例4:正方体AC1中,E、F是BB1,CD中点,设AA1=2,求三棱锥体积VF-A1ED1。
四、割补意识
“割与补”这种重要的数学思想方法,是把不便于计算的几何体通过割或补的技巧转化为规则的,便于研究或计算的几何体。
五、垂线意识
垂直关系又是各种位置关系的核心,垂直关系与角和距离的求解以及面积、体积的计算等有着非常密切的联系。许多立几问题的“题眼”往往都在于垂直关系。找到或作出平面的垂线,解题思路就变得清晰。因此,在教学中要处处培养学生的垂线意识。
分析(2):AB⊥BD且平面ABD⊥平面BCD∴AB⊥平面BCD
过B作BH⊥EC于H,连结AB,则BH是AH在面BCD上射影,
注:(2)中关键寻找到AB是面BCD的垂线,作出CE的垂线BH。
在新课程的知识体系中,立体几何是高中数学的重要内容之一,它对学生空间概念的建立、空间思维能力的形成和想象力的发展起着重要作用。因此,在立体几何教学中要重视培养学生的几种意识,有利于学生掌握学习技巧和规律。
(作者单位:浙江省松阳县第一中学)