论文部分内容阅读
摘 要：一个数学定义、一个问题出现必须有它的产生过程，它应是来自学生探究的结果，是自然的，而不是教师强加给学生的，学生的理解是深刻的，数学的.创设教学情境可以激发学生的探究欲望，而巧设问题串是递进式探究教学最有效的手段.基于探究的数学教学是多元的，开放的，培养探究的教学设计是灵活的，点面结合的，是对优秀传统的继承，也是对优秀传统的发展，理应成为数学课堂教学的一种习惯.
关键词：探究；创设情境；问题串；解题途径
“一个好的教师让人发现真理，而一个坏的教师奉送真理”.这是刊登在2011第11期《数学通报》上钱学森对他的中学时代数学老师傅种孙先生高度评价后的总结.傅先生等诸多教师教学的共同点之一就是关注“探究”.那么，当下我们在数学课堂教学中应怎样开展探究性教学呢？在开展探究教学中应该关注哪些问题呢？以下是我们课题组成员在这一年的课题研究中得到的几点思考，与同行共勉.
1 探究在新课导入中的应用——创设情境，激发探究欲望
“兴趣是最好的老师.”感兴趣的事物能让学生忘乎所以、乐此不疲.在新课导入时，创设让学生感兴 趣的问题情境是至关重要的，但创设问题情境不能忽略数学的本质，在教学中，我们既要从学生真实问题和经验出发去创设教学情境，又要关注数学对象的本质与学生个体认识的实质性上加以揭示，这样学生就乐于把自己的理解与感悟与其他同学分享，激发学生的探究热情，在亲身经历和体验知识的形成过程中，让学生自觉地去观察、去表述、去思考、去感悟……
案例1 几何概型的导入
情境1：若A={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12}，从A中任取一个数，则这个数不大于4的概率是多少？
情境2：若A=（0，12]，从A中任取一个数，则这个数不大于4的概率是多少？
情境3：在距离12米的两点间挂一灯笼，使得灯笼距两端的距离都不小于4米，求此时的概率？
情境4：一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒。当你到达路口时，看见绿灯的概率是多少？
情境5：某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，则他等待的时间不多于10分钟的概率是多少？
2 探究在定义教学中的应用——定义教学要有探究定义产生的过程
高中的数学定义的教学常用灌输式的教法，是一种“去数学”的强塞，学生对突然出现的新定义听得云里雾里，颇有一种“何时眼前突兀见此屋”之感。我认为一个数学定义必须有它的产生过程，它应是来自学生探究的结果，是自然的，而不是教师强加给学生的，学生的理解是深刻的，数学的.
案例2 直线的倾斜角的定义
师：客观世界中，“倾斜”往往与危险、破坏相联系，但也有例外，比如，比萨斜塔是倾斜的，然而展示给人类的却是奇异之美.好么，我们该怎样刻画其倾斜程度呢？
生1：用角度来刻画。
师：用哪一个角度来刻画？
生2：比萨斜塔与地面的夹角.
师：也就是线面角，有不同的看法吗？
生3：比萨斜塔与坚直方向的夹角.
师：那么在平面直角坐标系中，不同的直线，其倾斜程度不同，对于一条直线而言，哪些角可以刻画直线的倾斜程度？
生4：与x轴所成的角.
生5：与y轴所成的角.
生6：与x轴正方向所成的角.
生7：与y轴正方向所成的角.
师：那么，如何定义刻画直线的倾斜程度的角才合理呢？
这样的倾斜角定义的教学（从以上四个中任选一个），才是自然的，才是源自于学生探究的，对于教师只要在不严谨处加以纠正就可以了.
3 探究在解题教学中的应用——解题教学应注重探究解题途径的过程
数学教育家波利亚认为，一个数学教师，如果“把分配给他的时间塞满了例行运算来训练他的学生，他就扼杀了学生的兴趣，妨碍了他们的智力发展……”.因此，我们可以以一道有意义而又不复杂的题目去深入探究，引领学生由题目的结论出发，确定解题目标，由目标去探寻成立的条件，也可以从题目的各个侧面引导学生深入发掘，给不同层次的学生提供多种想象空间，以展示学生的思维、个性和才华，从而让学生通过这道题目，如同通过一道大门进入到一个崭新的思维天地.
案例3 直线与抛物线的位置关系
直线l：y=kx 2与抛物线y=2x2交于A、B两点，抛物线上有一点M，使得B，M，A三点横坐标成等差数列，过点 M作抛物线的切线m，求证：l∥m.
师：首先，我们的目标是什么？
生：证明过点M的切线m平行于l.
师：很好，怎么证明两直线平行呢？
生：如果有办法证明它们的斜率相等就可以了.
师：直线l与直线m的斜率能否表示出来？怎么表示？
生：由l的方程y=kx 2得：k1=k；m的斜率等于函数y=2x2在M处的导数，即：km=（2x2）’│x=xM，
通过联立 得：x2-kx-2=0，由根与系数的关系得：xM==，又因为：y’=4x，所以km=（2x2）’│x=xM= 4×=k，所以：k1=km=k，即：l∥m.
师：太好了！这样我们的目标就实现了.
4 巧设问题串，是递进式探究教学最有效的教学手段
提问是课堂教学中的基本环节和基本策略，如果教师提出的问题是零散的，没有条理性和逻辑性的，就很难达到高效提问的效果.基于问题串的数学探究式教学，是指教师以所设计的问题串为主线，在问题串的各个问题中详略得当地展开探究式教学，引导学生主动、自主地进行思考、交流、合作与探究.在问题教学中，一个个小问题把知识连接起来，一条问题串就是一条知识线. 设计问题串是将教学内容问题化，将问题串探究化的过程.由于课堂教学是动态的，所以数学探究式教学中问题串的设置应致力于问题串与探究相结合，问题串应该保持一定的思维弹性，留有空间，不应该过细，这样在课堂中教师才会根据问题探究活动的变化发展，适时地，创造性地做出调整，在问题串中进行探究性学习，在探究性学习中解决问题，这样才能促进学生新知识的获得，经历探究发现的完整过程，从而获得高效的教学效果.
案例4 平面向量的数量积
问题1 在已学的向量知识中，关于向量的运算有哪些？这些运算的结果还是向量吗？
（引导学生回忆向量的线性运算：加、减、数乘，同时也为后面的新课数量积非线性运算作好铺垫.）
问题2 当初我们学习向量加法时，是怎么引入的？
（启发学生用类比的方法自主去探究新知识.）
问题3 请同学们回顾一下，物理中计算功的公式，如果把力和位移用我们数学中的两个向量替代，结果会是怎样？那又会是我们数学中的何种运算呢？
（让学生了解数量积的背景，认识到知识在相关学科之间的关联性.）
问题4 平面向量积运算涉及到哪些基本量？
（引领学生深入探究向量数量积的概念.）
问题5 平面向量的数量积运算与之前学过的线性运算有什么不同？数量积值的大小与哪些量有关？
（引导学生观察、思考数量积的结果与线性运算的本质区别.）
问题6 两个向量的夹角决定了它们的数量积的符号，那么，当夹角为0°和90°时，即两向量平行与垂直时，此时，数量积有什么特殊性？
（引导学生深入探究数量积的两种特殊情况：共线与垂直.）
问题7 实数运算有哪些运算律？你能类比、猜想数量积的运算律吗？并能证明吗？
（让学生体会类比的数学思想方法，培养学生推理论证的能力并养成严谨的科学态度.）
总之，基于探究的数学教学是多元的、开放的，培养探究的教学设计是灵活的，点面结合的，它不拘泥于整堂课以“探究”为主线，有时仅在一教学片段中体现探究性教学，并且是不露痕迹的.它真正体现了学习的自主性与思维的广阔性和深刻性，在探究中提升学生的思维品质，培养学生的创造能力.因此，基于探究的数学教学是对优秀传统的继承，也是对优秀传统的发展，所以探究性教学理应成为数学课堂教学的一种习惯.
关键词：探究；创设情境；问题串；解题途径
“一个好的教师让人发现真理，而一个坏的教师奉送真理”.这是刊登在2011第11期《数学通报》上钱学森对他的中学时代数学老师傅种孙先生高度评价后的总结.傅先生等诸多教师教学的共同点之一就是关注“探究”.那么，当下我们在数学课堂教学中应怎样开展探究性教学呢？在开展探究教学中应该关注哪些问题呢？以下是我们课题组成员在这一年的课题研究中得到的几点思考，与同行共勉.
1 探究在新课导入中的应用——创设情境，激发探究欲望
“兴趣是最好的老师.”感兴趣的事物能让学生忘乎所以、乐此不疲.在新课导入时，创设让学生感兴 趣的问题情境是至关重要的，但创设问题情境不能忽略数学的本质，在教学中，我们既要从学生真实问题和经验出发去创设教学情境，又要关注数学对象的本质与学生个体认识的实质性上加以揭示，这样学生就乐于把自己的理解与感悟与其他同学分享，激发学生的探究热情，在亲身经历和体验知识的形成过程中，让学生自觉地去观察、去表述、去思考、去感悟……
案例1 几何概型的导入
情境1：若A={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12}，从A中任取一个数，则这个数不大于4的概率是多少？
情境2：若A=（0，12]，从A中任取一个数，则这个数不大于4的概率是多少？
情境3：在距离12米的两点间挂一灯笼，使得灯笼距两端的距离都不小于4米，求此时的概率？
情境4：一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒。当你到达路口时，看见绿灯的概率是多少？
情境5：某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，则他等待的时间不多于10分钟的概率是多少？
2 探究在定义教学中的应用——定义教学要有探究定义产生的过程
高中的数学定义的教学常用灌输式的教法，是一种“去数学”的强塞，学生对突然出现的新定义听得云里雾里，颇有一种“何时眼前突兀见此屋”之感。我认为一个数学定义必须有它的产生过程，它应是来自学生探究的结果，是自然的，而不是教师强加给学生的，学生的理解是深刻的，数学的.
案例2 直线的倾斜角的定义
师：客观世界中，“倾斜”往往与危险、破坏相联系，但也有例外，比如，比萨斜塔是倾斜的，然而展示给人类的却是奇异之美.好么，我们该怎样刻画其倾斜程度呢？
生1：用角度来刻画。
师：用哪一个角度来刻画？
生2：比萨斜塔与地面的夹角.
师：也就是线面角，有不同的看法吗？
生3：比萨斜塔与坚直方向的夹角.
师：那么在平面直角坐标系中，不同的直线，其倾斜程度不同，对于一条直线而言，哪些角可以刻画直线的倾斜程度？
生4：与x轴所成的角.
生5：与y轴所成的角.
生6：与x轴正方向所成的角.
生7：与y轴正方向所成的角.
师：那么，如何定义刻画直线的倾斜程度的角才合理呢？
这样的倾斜角定义的教学（从以上四个中任选一个），才是自然的，才是源自于学生探究的，对于教师只要在不严谨处加以纠正就可以了.
3 探究在解题教学中的应用——解题教学应注重探究解题途径的过程
数学教育家波利亚认为，一个数学教师，如果“把分配给他的时间塞满了例行运算来训练他的学生，他就扼杀了学生的兴趣，妨碍了他们的智力发展……”.因此，我们可以以一道有意义而又不复杂的题目去深入探究，引领学生由题目的结论出发，确定解题目标，由目标去探寻成立的条件，也可以从题目的各个侧面引导学生深入发掘，给不同层次的学生提供多种想象空间，以展示学生的思维、个性和才华，从而让学生通过这道题目，如同通过一道大门进入到一个崭新的思维天地.
案例3 直线与抛物线的位置关系
直线l：y=kx 2与抛物线y=2x2交于A、B两点，抛物线上有一点M，使得B，M，A三点横坐标成等差数列，过点 M作抛物线的切线m，求证：l∥m.
师：首先，我们的目标是什么？
生：证明过点M的切线m平行于l.
师：很好，怎么证明两直线平行呢？
生：如果有办法证明它们的斜率相等就可以了.
师：直线l与直线m的斜率能否表示出来？怎么表示？
生：由l的方程y=kx 2得：k1=k；m的斜率等于函数y=2x2在M处的导数，即：km=（2x2）’│x=xM，
通过联立 得：x2-kx-2=0，由根与系数的关系得：xM==，又因为：y’=4x，所以km=（2x2）’│x=xM= 4×=k，所以：k1=km=k，即：l∥m.
师：太好了！这样我们的目标就实现了.
4 巧设问题串，是递进式探究教学最有效的教学手段
提问是课堂教学中的基本环节和基本策略，如果教师提出的问题是零散的，没有条理性和逻辑性的，就很难达到高效提问的效果.基于问题串的数学探究式教学，是指教师以所设计的问题串为主线，在问题串的各个问题中详略得当地展开探究式教学，引导学生主动、自主地进行思考、交流、合作与探究.在问题教学中，一个个小问题把知识连接起来，一条问题串就是一条知识线. 设计问题串是将教学内容问题化，将问题串探究化的过程.由于课堂教学是动态的，所以数学探究式教学中问题串的设置应致力于问题串与探究相结合，问题串应该保持一定的思维弹性，留有空间，不应该过细，这样在课堂中教师才会根据问题探究活动的变化发展，适时地，创造性地做出调整，在问题串中进行探究性学习，在探究性学习中解决问题，这样才能促进学生新知识的获得，经历探究发现的完整过程，从而获得高效的教学效果.
案例4 平面向量的数量积
问题1 在已学的向量知识中，关于向量的运算有哪些？这些运算的结果还是向量吗？
（引导学生回忆向量的线性运算：加、减、数乘，同时也为后面的新课数量积非线性运算作好铺垫.）
问题2 当初我们学习向量加法时，是怎么引入的？
（启发学生用类比的方法自主去探究新知识.）
问题3 请同学们回顾一下，物理中计算功的公式，如果把力和位移用我们数学中的两个向量替代，结果会是怎样？那又会是我们数学中的何种运算呢？
（让学生了解数量积的背景，认识到知识在相关学科之间的关联性.）
问题4 平面向量积运算涉及到哪些基本量？
（引领学生深入探究向量数量积的概念.）
问题5 平面向量的数量积运算与之前学过的线性运算有什么不同？数量积值的大小与哪些量有关？
（引导学生观察、思考数量积的结果与线性运算的本质区别.）
问题6 两个向量的夹角决定了它们的数量积的符号，那么，当夹角为0°和90°时，即两向量平行与垂直时，此时，数量积有什么特殊性？
（引导学生深入探究数量积的两种特殊情况：共线与垂直.）
问题7 实数运算有哪些运算律？你能类比、猜想数量积的运算律吗？并能证明吗？
（让学生体会类比的数学思想方法，培养学生推理论证的能力并养成严谨的科学态度.）
总之，基于探究的数学教学是多元的、开放的，培养探究的教学设计是灵活的，点面结合的，它不拘泥于整堂课以“探究”为主线，有时仅在一教学片段中体现探究性教学，并且是不露痕迹的.它真正体现了学习的自主性与思维的广阔性和深刻性，在探究中提升学生的思维品质，培养学生的创造能力.因此，基于探究的数学教学是对优秀传统的继承，也是对优秀传统的发展，所以探究性教学理应成为数学课堂教学的一种习惯.