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摘 要：线性方程组及其求解是线性代数及高等数学课程中的核心内容，在数学相关领域中有应用广泛。本文介绍了线性方程组在几何学、高次方程理论、化学等方面的应用，以期为线性方程组的求解及应用提供一定的指导作用。
关键词：线性方程组;几何学;高次方程;化学
1 绪论
线性代数的核心内容是线性方程组的求解，这是在寻求线性方程组解的存在定理与求解方法的过程中产生的[1]。行列式理论和矩阵理论形成了线性代数的基本理论，这些理论知识本是代数问题，可是，若将该代数问题与几何问题联系起来，通过考虑常数项與系数的相互关系，从而建立方程组，就可在此基础上得到方程组的矩阵求解及行列式求解[23]。这些理论知识为借用线性方程组解决实际问题提供了方法，并奠定了基础。比如，将线性方程组理论应用在解析几何中，可内在沟通线性代数与几何之间的相互联系，也可实现代数与几何之间的相互渗透，还可使得对许多几何问题的刻画更为简洁、明了。
2 线性方程组的应用
线性方程组的应用有很多方面，如在数学理论中，特别是几何、代数等方面应用较多。除此之外，还可以用方程组来研究初等数学中的一些问题，从而可以避免烦琐的分析与求解[4]。线性方程组在生活中也有广泛应用，比如在计算机、物理、经济、化学及航空等领域。此外，线性方程组也被用于电路、力学、数字处理等课程[56]。为了能更好地应用线性方程组的理论方法解决实际问题，需要在求解过程中将涉及的每个量联系起来，通过分析条件及所求的关系，结合实际问题，通过恰当的问题转化及变换，从而达到通过最有效、最快捷的方法来解决实际问题的目的。
2.1 线性方程组应用在几何方面
设上述齐次线性方程组的一组非零解为（A1，D1，E1，F1），由条件知，四点的任意三点均不共线，可设A1≠0（不然，会出现三点共线），从而得知这四个点都在圆A1（a2+b2）+D1a+E1b+F1=0（A1≠0）上，由此得证。
2.2 线性方程组应用在高次方程理论中
定理2[8]设四个实数a，b，c，d各不相等，证明四元方程：
不妨设上面方程组中的四个方程有公共的实数解x0，则关于a，b，c，d的齐次线性方程组有非零解，从而上面方程组的系数行列式等于零，即x30x20x01
将x0=-1代入原方程组中，可得b=c，这与已知条件矛盾。
2.3 线性方程组应用在化学方面
化学中的线性方程组也有广泛应用，比如用于化学方程式的配平问题，按照质量守恒定律，得到对应的方程，再经过联立得到相对应方程组并求解，最后得出结果，便可得到相应的化学方程组的配平系数。
例1[9]假设在高温下，一氧化碳可使得四氧化三铁还原，使其生成二氧化碳与单质铁，试配平如下的化学方程式：
CO+Fe3O4→Fe+CO2
解 设反应物与生成物的量依次为x1，x2，x3，x4，通过质量守恒定律知各原子数在反应前后保持不变，如，通过铁原子的守恒得x3=3x2;通过碳原子的守恒得x1=x4;因此，由氧原子守恒得x1+4x2=2x4;
联立上面三等式并移项得x3-3x2=0，
x1-x4=0，
x1+4x2-2x4=0。
易见上面方程组未知量的个数大于方程的个数，因此，上述线性方程组有非零解。
由于化学方程组的每个系数必是正数，即每一个分量的解都必须是正数解;通过矩阵的初等变换得上述线性方程组的增广矩阵：
2.4 经济平衡中线性方程组的应用
例2[10]某个经济体系中有三个行业：五金、能源、机械，而且各行业的产出在每个行业中的分配比例见表1，其中每列的数表示相应行业占该行业总产出的比例。如第一列，五金行业总产出分配比例是：五金行业占20%;能源行业占30%;机械行业占50%。分别用p1，p2，p3表示五金、能源、机械在每年总产出的各价格，为使三个行业的投入与产出都相等，试求各行业的平衡价格。
解 由上表可得列值代表的是每个行业产出的具体分配方式，行值代表的是每个行业所需要的投入。
设此三行业的总产出价格依次为p1，p2，p3，则五金行业的总支出应该为0.3p1+0.1p2+0.4p3。
为使五金行业收入与支出相等，则应满足：
p1=0.3p1+0.1p2+0.4p3
同理，对上表中的第1行、第3行的数据也进行相同的处理，把它们与上式联立起来，就得到一个齐次线性方程组：
p1=0.2p1+0.8p2+0.4p3，
p2=0.3p1+0.1p2+0.4p3，
p3=0.5p1+0.1p2+0.2p3。
解得上述方程组的通解为p1
p2
p3=p31.417
0.917
1.000，即经济系统中的平衡价格向量。
令p3=2.000亿元，可得p1=2.834亿元，p2=1.834亿元，即，若机械行业产出的价格是2.000亿元，则五金行业的产出价格是2.834亿元，而能源行业产出的价格为1.834亿元，这样，每个行业的收入就等于该行业的支出了。 2.5 电路中线性方程组的应用
例3[11]如图1所示，在直流电路中，已知ε1，r1，ε2，r2，ε3，r3，R1，R2，R3，R4，求I1，I2，I3。
图1 直流電流示意图
解 利用电路方程中的基尔霍夫定律可以得到方程组如下：
I1（R1+R3+r1）-I3（R3+r3）=ε1-ε3;
I2（R4+R2+r2）+I3（R3+r3）=ε3-ε2;
I1-I2+I3=0。
求解上述的关于I1，I2，I3的线性方程组就可得所求的值。
参考文献：
[1]李全忠，李仁所，朱柘琍，等.一类齐次线性方程组有非零解的充分条件的一种新证法[J].高等数学研究，2017.
[2]葛学滨.线性方程组解结构的历史研究[D].山东大学，2009.
[3]李海英.齐次线性方程组的应用研究[J].太原城市职业技术学院学报，2013，000（002）：164165.
[4]王艳天.解线性方程组的LU分解法[J].科技创新导报，2009，000（004）：245.
[5]张禾瑞，郝鈵新.高等代数[M].北京：高等教育出版社，2007.
[6]王萼芳，石生明.高等代数[M].北京：高等教育出版社，2003.
[7]王向东，等.高等代数常用方法[M].北京：科学出版社，1989.
[8]陈殿友，术洪亮.线性代数[M].清华大学出版社，2006：6490.
[9]毛纲源.线性代数解题方法技巧归纳[J].华中科技大学出版社，2010：2534.
[10]俞正光.全国硕士研究生入学统一考试[J].清华大学出版社，2004：517.
[11]https：//max.book118.com/html/2017/1103/138773479.shtm.
基金项目：国家自然科学基金项目（31960273）
作者简介：柳江岸（1977— ），男，汉族，本科，中学一级教师，研究方向：应用数学。
关键词：线性方程组;几何学;高次方程;化学
1 绪论
线性代数的核心内容是线性方程组的求解，这是在寻求线性方程组解的存在定理与求解方法的过程中产生的[1]。行列式理论和矩阵理论形成了线性代数的基本理论，这些理论知识本是代数问题，可是，若将该代数问题与几何问题联系起来，通过考虑常数项與系数的相互关系，从而建立方程组，就可在此基础上得到方程组的矩阵求解及行列式求解[23]。这些理论知识为借用线性方程组解决实际问题提供了方法，并奠定了基础。比如，将线性方程组理论应用在解析几何中，可内在沟通线性代数与几何之间的相互联系，也可实现代数与几何之间的相互渗透，还可使得对许多几何问题的刻画更为简洁、明了。
2 线性方程组的应用
线性方程组的应用有很多方面，如在数学理论中，特别是几何、代数等方面应用较多。除此之外，还可以用方程组来研究初等数学中的一些问题，从而可以避免烦琐的分析与求解[4]。线性方程组在生活中也有广泛应用，比如在计算机、物理、经济、化学及航空等领域。此外，线性方程组也被用于电路、力学、数字处理等课程[56]。为了能更好地应用线性方程组的理论方法解决实际问题，需要在求解过程中将涉及的每个量联系起来，通过分析条件及所求的关系，结合实际问题，通过恰当的问题转化及变换，从而达到通过最有效、最快捷的方法来解决实际问题的目的。
2.1 线性方程组应用在几何方面
设上述齐次线性方程组的一组非零解为（A1，D1，E1，F1），由条件知，四点的任意三点均不共线，可设A1≠0（不然，会出现三点共线），从而得知这四个点都在圆A1（a2+b2）+D1a+E1b+F1=0（A1≠0）上，由此得证。
2.2 线性方程组应用在高次方程理论中
定理2[8]设四个实数a，b，c，d各不相等，证明四元方程：
不妨设上面方程组中的四个方程有公共的实数解x0，则关于a，b，c，d的齐次线性方程组有非零解，从而上面方程组的系数行列式等于零，即x30x20x01
将x0=-1代入原方程组中，可得b=c，这与已知条件矛盾。
2.3 线性方程组应用在化学方面
化学中的线性方程组也有广泛应用，比如用于化学方程式的配平问题，按照质量守恒定律，得到对应的方程，再经过联立得到相对应方程组并求解，最后得出结果，便可得到相应的化学方程组的配平系数。
例1[9]假设在高温下，一氧化碳可使得四氧化三铁还原，使其生成二氧化碳与单质铁，试配平如下的化学方程式：
CO+Fe3O4→Fe+CO2
解 设反应物与生成物的量依次为x1，x2，x3，x4，通过质量守恒定律知各原子数在反应前后保持不变，如，通过铁原子的守恒得x3=3x2;通过碳原子的守恒得x1=x4;因此，由氧原子守恒得x1+4x2=2x4;
联立上面三等式并移项得x3-3x2=0，
x1-x4=0，
x1+4x2-2x4=0。
易见上面方程组未知量的个数大于方程的个数，因此，上述线性方程组有非零解。
由于化学方程组的每个系数必是正数，即每一个分量的解都必须是正数解;通过矩阵的初等变换得上述线性方程组的增广矩阵：
2.4 经济平衡中线性方程组的应用
例2[10]某个经济体系中有三个行业：五金、能源、机械，而且各行业的产出在每个行业中的分配比例见表1，其中每列的数表示相应行业占该行业总产出的比例。如第一列，五金行业总产出分配比例是：五金行业占20%;能源行业占30%;机械行业占50%。分别用p1，p2，p3表示五金、能源、机械在每年总产出的各价格，为使三个行业的投入与产出都相等，试求各行业的平衡价格。
解 由上表可得列值代表的是每个行业产出的具体分配方式，行值代表的是每个行业所需要的投入。
设此三行业的总产出价格依次为p1，p2，p3，则五金行业的总支出应该为0.3p1+0.1p2+0.4p3。
为使五金行业收入与支出相等，则应满足：
p1=0.3p1+0.1p2+0.4p3
同理，对上表中的第1行、第3行的数据也进行相同的处理，把它们与上式联立起来，就得到一个齐次线性方程组：
p1=0.2p1+0.8p2+0.4p3，
p2=0.3p1+0.1p2+0.4p3，
p3=0.5p1+0.1p2+0.2p3。
解得上述方程组的通解为p1
p2
p3=p31.417
0.917
1.000，即经济系统中的平衡价格向量。
令p3=2.000亿元，可得p1=2.834亿元，p2=1.834亿元，即，若机械行业产出的价格是2.000亿元，则五金行业的产出价格是2.834亿元，而能源行业产出的价格为1.834亿元，这样，每个行业的收入就等于该行业的支出了。 2.5 电路中线性方程组的应用
例3[11]如图1所示，在直流电路中，已知ε1，r1，ε2，r2，ε3，r3，R1，R2，R3，R4，求I1，I2，I3。
图1 直流電流示意图
解 利用电路方程中的基尔霍夫定律可以得到方程组如下：
I1（R1+R3+r1）-I3（R3+r3）=ε1-ε3;
I2（R4+R2+r2）+I3（R3+r3）=ε3-ε2;
I1-I2+I3=0。
求解上述的关于I1，I2，I3的线性方程组就可得所求的值。
参考文献：
[1]李全忠，李仁所，朱柘琍，等.一类齐次线性方程组有非零解的充分条件的一种新证法[J].高等数学研究，2017.
[2]葛学滨.线性方程组解结构的历史研究[D].山东大学，2009.
[3]李海英.齐次线性方程组的应用研究[J].太原城市职业技术学院学报，2013，000（002）：164165.
[4]王艳天.解线性方程组的LU分解法[J].科技创新导报，2009，000（004）：245.
[5]张禾瑞，郝鈵新.高等代数[M].北京：高等教育出版社，2007.
[6]王萼芳，石生明.高等代数[M].北京：高等教育出版社，2003.
[7]王向东，等.高等代数常用方法[M].北京：科学出版社，1989.
[8]陈殿友，术洪亮.线性代数[M].清华大学出版社，2006：6490.
[9]毛纲源.线性代数解题方法技巧归纳[J].华中科技大学出版社，2010：2534.
[10]俞正光.全国硕士研究生入学统一考试[J].清华大学出版社，2004：517.
[11]https：//max.book118.com/html/2017/1103/138773479.shtm.
基金项目：国家自然科学基金项目（31960273）
作者简介：柳江岸（1977— ），男，汉族，本科，中学一级教师，研究方向：应用数学。