论文部分内容阅读
摘 要：能源消耗问题是全球关注的焦点，单位GDP能耗是反映能源消耗水平的重要指标，对其进行科学、准确的预测有着重大意义。由于GM（1，1）模型和Markov模型用于时间序列预测时优势互补，本文首先建立了无偏灰色Markov预测模型，然后进一步利用新信息优先的思想，建立了等维新息无偏灰色Markov预测模型。以1991年至2011年广东省单位GDP能耗实测值作为原始数据，构建预测模型，预测其2012年至2014年单位GDP能耗。结果表明：新维无偏灰色Markov模型的预测误差小，精度高，适合中长期预测。
关键词：单位GDP能耗预测；新维无偏灰色Markov模型
中图分类号：TU984
灰色预测法和Markov预测法是目前常用的预测方法。灰色模型主要适用于数据资料少、波动不大、预测时间短的系统对象。当序列的随机波动性比较大时，灰色预测法的预测准确度较差。Markov模型适用于预测随机波动大的动态过程，在这一点上恰恰可以弥补灰色预测的不足。有学者提出了灰色Markov预测模型，首先用GM（1，1）模型拟合序列的趋势项，在此基础上再进行Markov预测[1]。这样，通过两模型的优势互补，预测的相对误差明显降低。但是，它只对短期预测具有较高的准确度，越往后预测准确度越低。为了解决随机波动性大的动态过程中长期预测问题，本文提出一种新维无偏灰色Markov预测模型，利用灰色Markov预测的最新预测结果不断更新建模用的原始数据建立无偏灰色Markov预测模型。
能源消耗问题是全球关注的焦点，单位GDP能耗是指一定时期内，一个国家或地区每生产一个单位的国内生产总值所消耗的能源，单位是吨标准煤/万元[2]。计算公式：单位国内生产总值能耗=能源消费总值/国内生产总值。单位GDP能耗是反映能源消耗水平的重要指标，对其进行科学、准确的预测有着重大意义。目前用于能耗预测的方法主要有回归法、神经网络、支持向量机等[3][4]，用灰色Markov模型进行预测的还不多见。本文建立新维无偏灰色Markov模型并用于单位GDP能耗预测，实现了短期及中长期预测准确度的提高。
1 无偏灰色预测模型的建立
文献[4]研究了传统灰色预测模型的特性，证明了传统灰色预测模型是有偏差的指数模型，并在此基础上提出了无偏灰色预测模型。具体模型建立过程如下：
1.1 GM（1，1）模型
GM（1，1）模型即单变量一阶灰色模型，是灰色系统理论的基本模型。其原理是对原始序列采取累加的方法，使生成序列呈现出一定趋势规律，并对生成序列建立微分方程模型，通过求解微分方程得到时间响应函数预测模型，实现对系统的预测。建模步骤如下：
（1）累加
记原始时间序列为： 作一阶累加生成新的序列： ，式中： 。
（2）构造一阶微分方程：
利用最小二乘法求得参数 的估计值。 ，
其中： ，
（3）计算无偏GM（1，1）模型的参数 和 。对呈现指数变化趋势的数据序列 ，做一次累加生成序列 。按传统GM（1，1）方法建模可得：
由此求得用传统GM（1，1）模型参数 、 表示的b和A的估计为：
（4）得到原序列预测值模型： 。
可以看到，无偏GM（1，1）模型没有了传统GM（1，1）模型固有的偏差，不需进行累减还原，建模步骤相对简单。
2 基于Markov链改进的无偏灰色预测模型
2.1 状态划分
由于原始数据序列中最后一个数值的状态转向不确定，所以，在进行状态划分和计算转移矩阵时应删掉最后一个数据。设无偏灰色预测值序列为 ，现以 曲线为中心将原序列系统划分为 个区域： ，步骤如下：
（1）计算 ， ；
（2）把序列 分为 个区间：
2.2 计算状态转移概率矩阵
设 为由状态 经过 步转移到状态 的原始数据样本数， 为处于状态 的原始数据样本数，称 为由状态 到状态 的 步状态转移概率。则构造 步状态转移概率矩阵为：
状态转移概率矩阵 反映了系统各状态之间的转移规律。根据初始状态序列值和状态转移概率矩阵，就可以计算未来的变化序列值。一般情况下，只考虑一步状态转移概率矩阵 ，但当矩阵 中第k行有两个或两个以上概率相同或相近时，说明状态的未来转向难以确定，此时，需要考察 或多步 转移概率矩阵。
2.3 确定预测值
未来的转移状态 确定之后，则可得预测值： （*）
3 新维无偏灰色Markov预测模型
新维无偏灰色Markov预测模型的原理是：将无偏灰色Markov模型得到的一个预测值补充到已知数据，同时去掉原序列的第一个数据，保持数列等维。利用新的序列再建立无偏灰色Markov模型并得到下一个预测值，再将其补充到数列之后，同时去掉原序列的第二个数据，以此类推，直到完成预测为止。理论上认为：离预测点越近的数据往往包含对未来预测更有用的信息，因此，新维无偏灰色Markov预测模型是对传统灰色Markov预测模型的改进。新维无偏灰色Markov预测模型的构建算法为：
（1）输入原始数据序列 ；
（2）对 作一次累加生成模块 ；
（3）确定数据矩阵 求参数 的估计值， ；
（4）令 ，得到生成数据序列模型： ；
（5）设第k期无偏灰色Markov预测序列为 以 为中心将系统划分为 个状态；
（6）计算一步状态转移概率矩阵 ；
（7）判断需要预测数据所处的状态 ；
（8）根据（*）式计算预测值 ；
（9）更新数据序列 ； （10）返回步骤（2），重复步骤（2）到步骤（9），直到完成需要预测数据的预测值为止。
4 实例分析
4.1 数据说明
选取1991年至2011年共21期的广东省单位GDP能耗数据（单位：吨标准煤/万元），如表1。数据来源于《广东统计年鉴》、《广东工业统计年鉴》和《中国环境统计年鉴》。
4.2 新维无偏灰色Markov模型构建过程
4.2.1 构建单位GDP能耗无偏GM（1，1）模型
根据无偏灰色建模的步骤，利用表1的原始数据序列，通过Matlab编程实现，求得 ， ，进而求得： 。建立无偏灰色的预测模型， ， 。
4.2.2 构建单位GDP能耗无偏灰色Markov模型
由于原始数据序列的最后一个值的状态转向不确定，所以，去除2011年数据，用无偏灰色预测模型得到的前20个预测值分别除以其原始值即得到 的值， 。根据 的大小确定4个状态的区间：
区间 <93.2675 93.2675-103.2950 103.2950-113.3225 >113.3225
状态 1 2 3 4
通过分析可知落入各状态的原序列值个数分别为 ，然后得一步转移概率矩阵为：
2011年单位GDP能耗最可能处于状态3，因而其最可能的预测值为： 。同理，可预测2012年至2014年广东省单位GDP能耗。利用该模型得到的预测值如表2。
4.2.3 构建单位GDP能耗新维无偏灰色Markov模型
根据新维无偏灰色Markov预测模型的构建步骤，即可完成该模型的构建。在构建过程中，所有的系统都划分为4个状态，一步转移矩阵都是4×4阶的。利用该模型得到的预测值如表2，拟合图如图1。
5 三种模型预测精度对比分析
为了进一步检验三种模型的预测效果，比较三种模型预测结果的平均绝对百分比误差（MAPE）指标，指标定义为：
式中N是预测样本数， 表示预测值， 表示实际值。显然MAPE越小，说明模型预测效果就越好。三种模型预测效果的对比见表2和表3。
通过平均绝对百分比误差的对比检验可以看出，无偏灰色模型预测的平均绝对误差为10.5937%，无偏灰色Markov模型预测的平均绝对误差为2.6432%，新维无偏灰色Markov模型预测的平均绝对误差为1.8177%，通过比较发现：新维无偏灰色Markov模型具有较高的稳定性，拟合误差较小，可以很好地反映广东省单位GDP能耗的发展动态。
6 结论
本文构建了新维无偏灰色Markov模型并对广东省单位GDP能耗进行预测。经过一系列的检验和对比，可以认为新维无偏灰色Markov模型比其它两个模型预测效果更好，更能拟合单位GDP能耗时间序列的未来发展动态。具体优越性体现在如下的几个方面：
（1）该模型继承了灰色模型所需历史数据少、能弱化数据波动、提取数据变化趋势的优点，充分地利用了有限的数据。
（2）利用无偏灰色预测模型改善了传统灰色预测模型固有的偏差，扩展了应用范围，更符合单位GDP能耗指标的实际变化趋势。
（3）利用等维新息思想，将无偏灰色Markov模型得到的预测值补充到已知数据，同时去掉原序列的距离预测点较远的数据，保持数列等维，建立新维无偏灰色Markov模型，使得该模型更适合于单位GDP能耗指标的中长期预测，克服了一般灰色Markov模型仅适用于短期预测的缺陷。
参考文献：
[1]朱孔来.灰色Markov链预测模型及其应用[J].系统工程理论与实践，1993，2：67-70.
[2]夏炎，王会娟，陈锡康.新能耗指标的建立与可比性分析[J].宏观经济战略与管理，2009，9：10-15.
[3]周仲礼，冯文新.基于小波神经网络模型的中国能耗预测[J].成都理工大学学报（自然科学版），2005，5：544-547.
[4]宫运启.基于神经网络的机械加工工序能耗预测[J].计算机工程与应用，2012，48（21）：235-239.
[5]吉培荣，黄巍松，胡翔勇.无偏灰色预测模型[J].系统工程与电子技术，2000，22（6）：78-80.
[6]邓聚龙.灰色预测与决策[M].武汉：华中理工大学出版社，1988.
作者简介：龙会典，讲师，博士研究生；严广乐，教授，博士生导师。
作者单位：广东外语外贸大学信息学院，广州 510420；上海理工大学管理学院，上海 200093
基金项目：本文受上海市一流学科建设项目（S1201YLXK）、国家统计局科学研究计划项目（2012LY063）资助。
关键词：单位GDP能耗预测；新维无偏灰色Markov模型
中图分类号：TU984
灰色预测法和Markov预测法是目前常用的预测方法。灰色模型主要适用于数据资料少、波动不大、预测时间短的系统对象。当序列的随机波动性比较大时，灰色预测法的预测准确度较差。Markov模型适用于预测随机波动大的动态过程，在这一点上恰恰可以弥补灰色预测的不足。有学者提出了灰色Markov预测模型，首先用GM（1，1）模型拟合序列的趋势项，在此基础上再进行Markov预测[1]。这样，通过两模型的优势互补，预测的相对误差明显降低。但是，它只对短期预测具有较高的准确度，越往后预测准确度越低。为了解决随机波动性大的动态过程中长期预测问题，本文提出一种新维无偏灰色Markov预测模型，利用灰色Markov预测的最新预测结果不断更新建模用的原始数据建立无偏灰色Markov预测模型。
能源消耗问题是全球关注的焦点，单位GDP能耗是指一定时期内，一个国家或地区每生产一个单位的国内生产总值所消耗的能源，单位是吨标准煤/万元[2]。计算公式：单位国内生产总值能耗=能源消费总值/国内生产总值。单位GDP能耗是反映能源消耗水平的重要指标，对其进行科学、准确的预测有着重大意义。目前用于能耗预测的方法主要有回归法、神经网络、支持向量机等[3][4]，用灰色Markov模型进行预测的还不多见。本文建立新维无偏灰色Markov模型并用于单位GDP能耗预测，实现了短期及中长期预测准确度的提高。
1 无偏灰色预测模型的建立
文献[4]研究了传统灰色预测模型的特性，证明了传统灰色预测模型是有偏差的指数模型，并在此基础上提出了无偏灰色预测模型。具体模型建立过程如下：
1.1 GM（1，1）模型
GM（1，1）模型即单变量一阶灰色模型，是灰色系统理论的基本模型。其原理是对原始序列采取累加的方法，使生成序列呈现出一定趋势规律，并对生成序列建立微分方程模型，通过求解微分方程得到时间响应函数预测模型，实现对系统的预测。建模步骤如下：
（1）累加
记原始时间序列为： 作一阶累加生成新的序列： ，式中： 。
（2）构造一阶微分方程：
利用最小二乘法求得参数 的估计值。 ，
其中： ，
（3）计算无偏GM（1，1）模型的参数 和 。对呈现指数变化趋势的数据序列 ，做一次累加生成序列 。按传统GM（1，1）方法建模可得：
由此求得用传统GM（1，1）模型参数 、 表示的b和A的估计为：
（4）得到原序列预测值模型： 。
可以看到，无偏GM（1，1）模型没有了传统GM（1，1）模型固有的偏差，不需进行累减还原，建模步骤相对简单。
2 基于Markov链改进的无偏灰色预测模型
2.1 状态划分
由于原始数据序列中最后一个数值的状态转向不确定，所以，在进行状态划分和计算转移矩阵时应删掉最后一个数据。设无偏灰色预测值序列为 ，现以 曲线为中心将原序列系统划分为 个区域： ，步骤如下：
（1）计算 ， ；
（2）把序列 分为 个区间：
2.2 计算状态转移概率矩阵
设 为由状态 经过 步转移到状态 的原始数据样本数， 为处于状态 的原始数据样本数，称 为由状态 到状态 的 步状态转移概率。则构造 步状态转移概率矩阵为：
状态转移概率矩阵 反映了系统各状态之间的转移规律。根据初始状态序列值和状态转移概率矩阵，就可以计算未来的变化序列值。一般情况下，只考虑一步状态转移概率矩阵 ，但当矩阵 中第k行有两个或两个以上概率相同或相近时，说明状态的未来转向难以确定，此时，需要考察 或多步 转移概率矩阵。
2.3 确定预测值
未来的转移状态 确定之后，则可得预测值： （*）
3 新维无偏灰色Markov预测模型
新维无偏灰色Markov预测模型的原理是：将无偏灰色Markov模型得到的一个预测值补充到已知数据，同时去掉原序列的第一个数据，保持数列等维。利用新的序列再建立无偏灰色Markov模型并得到下一个预测值，再将其补充到数列之后，同时去掉原序列的第二个数据，以此类推，直到完成预测为止。理论上认为：离预测点越近的数据往往包含对未来预测更有用的信息，因此，新维无偏灰色Markov预测模型是对传统灰色Markov预测模型的改进。新维无偏灰色Markov预测模型的构建算法为：
（1）输入原始数据序列 ；
（2）对 作一次累加生成模块 ；
（3）确定数据矩阵 求参数 的估计值， ；
（4）令 ，得到生成数据序列模型： ；
（5）设第k期无偏灰色Markov预测序列为 以 为中心将系统划分为 个状态；
（6）计算一步状态转移概率矩阵 ；
（7）判断需要预测数据所处的状态 ；
（8）根据（*）式计算预测值 ；
（9）更新数据序列 ； （10）返回步骤（2），重复步骤（2）到步骤（9），直到完成需要预测数据的预测值为止。
4 实例分析
4.1 数据说明
选取1991年至2011年共21期的广东省单位GDP能耗数据（单位：吨标准煤/万元），如表1。数据来源于《广东统计年鉴》、《广东工业统计年鉴》和《中国环境统计年鉴》。
4.2 新维无偏灰色Markov模型构建过程
4.2.1 构建单位GDP能耗无偏GM（1，1）模型
根据无偏灰色建模的步骤，利用表1的原始数据序列，通过Matlab编程实现，求得 ， ，进而求得： 。建立无偏灰色的预测模型， ， 。
4.2.2 构建单位GDP能耗无偏灰色Markov模型
由于原始数据序列的最后一个值的状态转向不确定，所以，去除2011年数据，用无偏灰色预测模型得到的前20个预测值分别除以其原始值即得到 的值， 。根据 的大小确定4个状态的区间：
区间 <93.2675 93.2675-103.2950 103.2950-113.3225 >113.3225
状态 1 2 3 4
通过分析可知落入各状态的原序列值个数分别为 ，然后得一步转移概率矩阵为：
2011年单位GDP能耗最可能处于状态3，因而其最可能的预测值为： 。同理，可预测2012年至2014年广东省单位GDP能耗。利用该模型得到的预测值如表2。
4.2.3 构建单位GDP能耗新维无偏灰色Markov模型
根据新维无偏灰色Markov预测模型的构建步骤，即可完成该模型的构建。在构建过程中，所有的系统都划分为4个状态，一步转移矩阵都是4×4阶的。利用该模型得到的预测值如表2，拟合图如图1。
5 三种模型预测精度对比分析
为了进一步检验三种模型的预测效果，比较三种模型预测结果的平均绝对百分比误差（MAPE）指标，指标定义为：
式中N是预测样本数， 表示预测值， 表示实际值。显然MAPE越小，说明模型预测效果就越好。三种模型预测效果的对比见表2和表3。
通过平均绝对百分比误差的对比检验可以看出，无偏灰色模型预测的平均绝对误差为10.5937%，无偏灰色Markov模型预测的平均绝对误差为2.6432%，新维无偏灰色Markov模型预测的平均绝对误差为1.8177%，通过比较发现：新维无偏灰色Markov模型具有较高的稳定性，拟合误差较小，可以很好地反映广东省单位GDP能耗的发展动态。
6 结论
本文构建了新维无偏灰色Markov模型并对广东省单位GDP能耗进行预测。经过一系列的检验和对比，可以认为新维无偏灰色Markov模型比其它两个模型预测效果更好，更能拟合单位GDP能耗时间序列的未来发展动态。具体优越性体现在如下的几个方面：
（1）该模型继承了灰色模型所需历史数据少、能弱化数据波动、提取数据变化趋势的优点，充分地利用了有限的数据。
（2）利用无偏灰色预测模型改善了传统灰色预测模型固有的偏差，扩展了应用范围，更符合单位GDP能耗指标的实际变化趋势。
（3）利用等维新息思想，将无偏灰色Markov模型得到的预测值补充到已知数据，同时去掉原序列的距离预测点较远的数据，保持数列等维，建立新维无偏灰色Markov模型，使得该模型更适合于单位GDP能耗指标的中长期预测，克服了一般灰色Markov模型仅适用于短期预测的缺陷。
参考文献：
[1]朱孔来.灰色Markov链预测模型及其应用[J].系统工程理论与实践，1993，2：67-70.
[2]夏炎，王会娟，陈锡康.新能耗指标的建立与可比性分析[J].宏观经济战略与管理，2009，9：10-15.
[3]周仲礼，冯文新.基于小波神经网络模型的中国能耗预测[J].成都理工大学学报（自然科学版），2005，5：544-547.
[4]宫运启.基于神经网络的机械加工工序能耗预测[J].计算机工程与应用，2012，48（21）：235-239.
[5]吉培荣，黄巍松，胡翔勇.无偏灰色预测模型[J].系统工程与电子技术，2000，22（6）：78-80.
[6]邓聚龙.灰色预测与决策[M].武汉：华中理工大学出版社，1988.
作者简介：龙会典，讲师，博士研究生；严广乐，教授，博士生导师。
作者单位：广东外语外贸大学信息学院，广州 510420；上海理工大学管理学院，上海 200093
基金项目：本文受上海市一流学科建设项目（S1201YLXK）、国家统计局科学研究计划项目（2012LY063）资助。