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平抛运动是匀变速曲线运动，在分析平抛运动的习题时，通常采用运动的分解，将平抛运动分解为水平方向的匀速运动和竖直方向的自由落体运动，根据运动的独立性，分别列方程求解.一些学生喜欢直接套用匀变速直线运动的公式，特别是速度公式和位移公式，当然会出错，但速度的变化量公式Δv=a·Δt却能够使用.既然平抛运动也是匀变速运动，那么有没有匀变速直线运动的规律能适用于平抛运动呢？
如图1所示，一物体以初速度v0水平抛出，A、B、C是运动轨迹上的任意三点，且它们之间时间间隔相等，设为T，则B是AC的中间时刻.以抛出点为坐标原点O，建立Oxy平面直角坐标系，设x、y方向的单位矢量分别为i、j，重力加速度为g.
物体运动到A、B、C三点的速度分别为vA、vB、vC，将它们沿x、y方向分解，如图2所示，考虑到平抛运动的水平分速度不变，则有
vA=v0i vAyj，
vB=v0j vByj，
vC=v0i vCyj，
物体在AB、BC之间运动的位移分别为lAB、lBC，将它们沿x、y方向分解，如图3所示，有
lAB=xABi yABj，
lBC=xBCi yBCj.
下面，以物体在A、B、C之间的运动为例，从平抛运动的规律出发，来讨论匀变速直线运动中的哪些规律能够适用于平抛运动.
1速度公式
物体做匀变速直线运动的速度公式为vt=v0 at，其中a为物体运动的加速度.那么，这个公式对做平抛运动的物体适用吗？
物体从A运动到B，由竖直方向分运动的速度公式，有
vBy=vAy gT，
则vB=v0i vByj=v0i （vAy gT）j
=（v0i vAyj） gj·T=vA gT.
即匀变速直线运动的速度公式，对平抛运动成立，但这个成立的速度公式是矢量关系式，作为数量关系的速度公式并不成立，即vB≠vA gT.
2位移公式
物体做匀变速直线运动的位移公式为x=v0t 12at2，那么，这个公式对做平抛运动的物体适用吗？
物体从A运动到B，由竖直方向分运动的位移公式，有
yAB=vAyT 12gT2，
则lAB=xABi yABj=v0Ti （vAyT 12gT2）j
=（v0j vAyj）T 12gj·T2=vAT 12gT2，
即匀变速直线运动的位移公式，对平抛运动成立，但这个成立的位移公式是矢量关系式，作为数量关系的位移公式并不成立，即lAB≠vaT 12gT2.
3相等时间的位移差公式Δx=aT2
做匀变速直线运动的物体，在连续相等的时间T内的位移差Δx=aT2.那么，做平抛运动的物体，这个规律适用吗？
对物体在A、B、C之间的运动，在相等的时间T内，它们的位移差为
Δl=lBC-lAB=（xBC-xAB）i （yBC-yAB）j，
由平抛运动的规律知
xBC=xAB=v0T，
yBC-yAB=gT2，
所以Δl=lBC-lAB=gT2j=gT2.
即做平抛运动的物体，在连续相等的时间T内的位移差大小Δl=gT2，方向竖直向下.但位移差大小是位移矢量之差的大小，不是位移的大小之差，即lBC-lAB≠gT2，也就是说，相等时间内的位移差公式，对平抛运动，成立的是矢量关系式，而不是数量关系式.
4平均速度等于中间时刻速度v=vt/2
做匀变速直线运动的物体，在某段时间内的平均速度等于中间时刻的速度.那么，做平抛运动的物体，这个规律适用吗？
如图4所示，物体从A运动到C的位移为
lAC=lAB lBC
=（xAB xBC）i （yAB yBC）j，
物体在AC段的平均速度为
AC=lAC2T=（xAB xBC）2Ti （yAB yBC）2Tj.
由平抛运动的规律，有
xAB xBC=v0·2T，
yAB yBC2T=ACy=vBy，
其中，ACy表示物体在AC运动过程中的平均速度在y方向的分量.
所以AC=v0j vByj=vB.
即做平抛运动的物体，在某段时间内的平均速度等于中间时刻的速度.
对这个结论，可以换一种思路来进一步讨论.
如图5所示，对物体从A到C的运动，由平抛运动的规律，有
vAC=v0·2T，
yAC=ACy·2T=vBy·2T，
则lAC=x2AC y2AC=2Tv20 v2By，
所以AC=lAC2T=v20 v2By=vB，
设AC与水平方向的夹角为α，vB与水平方向的夹角为θ，则有
tanα=yACxAC=vByv0=tanθ，
即α=θ.
所以AC与vB大小相等，方向相同.即做平抛运动的物体，在某段时间内的平均速度大小等于中间时刻的速度大小，方向与中间时刻的速度方向相同.
5平均速度等于初末速度的平均值=v0 vt2
做匀变速直线运动的物体，在某段时间内的平均速度等于初速度与末速度的平均值.那么，做平抛运动的物体，这个规律适用吗？
从上面4的讨论知道，AC=vB，
由平抛运动在竖直方向分运动的规律，有
vBy=vAy vCy2，
则vA vC2=（v0i vAyj） （v0i vCyj）2
=v0i （vAy vCy）2j=v0i vByj=vB=AC.
即做平抛运动的物体，在某段时间内的平均速度矢量等于初速度矢量与末速度矢量的平均值，但不表明平均速度大小等于初速度与末速度大小的平均值.其实，在匀变速直线运动中，某段时间内的平均速度大小也不一定等于初速度与末速度大小的平均值.比如，竖直上抛的物体，从抛出到落回抛出点的过程中，平均速度等于零，而抛出时的速度大小与落回抛出点时的速度大小的平均值显然不等于零.
从以上讨论可以知道，匀变速直线运动的规律，作为矢量关系式都适用于平抛运动，作为数量关系式，只有平均速度等于中间时刻速度这一规律适用于平抛运动.在高中物理教学中，若能正确使用这一规律，可以迅速求解一些不需要解题过程的填空题或者选择题.下面来看一道常见的习题.
题目在研究平抛运动的实验中，用一张印有小方格的纸记录小球的运动轨迹，小方格的边长为L，若小球在平抛运动轨迹中的几个位置如图6中的a、b、c、d所示，则小球平抛运动的初速度v0的计算式为v0=，小球在b点的速率为vb=.（已知重力加速度为g）
分析与解在求b点速率时，通常是先分别求出b的水平分速度和竖直分速度，然后再用勾股定理求出b的速率，既费时，又容易出错，如果直接用平抛运动的中间时刻的速度等于平均速度，很快就可以求出.
（1）由于a、b、c、d在水平方向位移相等，故时间间隔相等，设为T，小球竖直方向做自由落体运动，有
Δy=L=gT2，
得T=L/g.
（2）小球水平方向做匀速直线运动，
有Δx=2L=v0T，
得v0=2gL.
（3）由于b是ac的中间时刻，所以有
vb=ac=lac2T=x2ac y2ac2T=5L2T=52gL.
如图1所示，一物体以初速度v0水平抛出，A、B、C是运动轨迹上的任意三点，且它们之间时间间隔相等，设为T，则B是AC的中间时刻.以抛出点为坐标原点O，建立Oxy平面直角坐标系，设x、y方向的单位矢量分别为i、j，重力加速度为g.
物体运动到A、B、C三点的速度分别为vA、vB、vC，将它们沿x、y方向分解，如图2所示，考虑到平抛运动的水平分速度不变，则有
vA=v0i vAyj，
vB=v0j vByj，
vC=v0i vCyj，
物体在AB、BC之间运动的位移分别为lAB、lBC，将它们沿x、y方向分解，如图3所示，有
lAB=xABi yABj，
lBC=xBCi yBCj.
下面，以物体在A、B、C之间的运动为例，从平抛运动的规律出发，来讨论匀变速直线运动中的哪些规律能够适用于平抛运动.
1速度公式
物体做匀变速直线运动的速度公式为vt=v0 at，其中a为物体运动的加速度.那么，这个公式对做平抛运动的物体适用吗？
物体从A运动到B，由竖直方向分运动的速度公式，有
vBy=vAy gT，
则vB=v0i vByj=v0i （vAy gT）j
=（v0i vAyj） gj·T=vA gT.
即匀变速直线运动的速度公式，对平抛运动成立，但这个成立的速度公式是矢量关系式，作为数量关系的速度公式并不成立，即vB≠vA gT.
2位移公式
物体做匀变速直线运动的位移公式为x=v0t 12at2，那么，这个公式对做平抛运动的物体适用吗？
物体从A运动到B，由竖直方向分运动的位移公式，有
yAB=vAyT 12gT2，
则lAB=xABi yABj=v0Ti （vAyT 12gT2）j
=（v0j vAyj）T 12gj·T2=vAT 12gT2，
即匀变速直线运动的位移公式，对平抛运动成立，但这个成立的位移公式是矢量关系式，作为数量关系的位移公式并不成立，即lAB≠vaT 12gT2.
3相等时间的位移差公式Δx=aT2
做匀变速直线运动的物体，在连续相等的时间T内的位移差Δx=aT2.那么，做平抛运动的物体，这个规律适用吗？
对物体在A、B、C之间的运动，在相等的时间T内，它们的位移差为
Δl=lBC-lAB=（xBC-xAB）i （yBC-yAB）j，
由平抛运动的规律知
xBC=xAB=v0T，
yBC-yAB=gT2，
所以Δl=lBC-lAB=gT2j=gT2.
即做平抛运动的物体，在连续相等的时间T内的位移差大小Δl=gT2，方向竖直向下.但位移差大小是位移矢量之差的大小，不是位移的大小之差，即lBC-lAB≠gT2，也就是说，相等时间内的位移差公式，对平抛运动，成立的是矢量关系式，而不是数量关系式.
4平均速度等于中间时刻速度v=vt/2
做匀变速直线运动的物体，在某段时间内的平均速度等于中间时刻的速度.那么，做平抛运动的物体，这个规律适用吗？
如图4所示，物体从A运动到C的位移为
lAC=lAB lBC
=（xAB xBC）i （yAB yBC）j，
物体在AC段的平均速度为
AC=lAC2T=（xAB xBC）2Ti （yAB yBC）2Tj.
由平抛运动的规律，有
xAB xBC=v0·2T，
yAB yBC2T=ACy=vBy，
其中，ACy表示物体在AC运动过程中的平均速度在y方向的分量.
所以AC=v0j vByj=vB.
即做平抛运动的物体，在某段时间内的平均速度等于中间时刻的速度.
对这个结论，可以换一种思路来进一步讨论.
如图5所示，对物体从A到C的运动，由平抛运动的规律，有
vAC=v0·2T，
yAC=ACy·2T=vBy·2T，
则lAC=x2AC y2AC=2Tv20 v2By，
所以AC=lAC2T=v20 v2By=vB，
设AC与水平方向的夹角为α，vB与水平方向的夹角为θ，则有
tanα=yACxAC=vByv0=tanθ，
即α=θ.
所以AC与vB大小相等，方向相同.即做平抛运动的物体，在某段时间内的平均速度大小等于中间时刻的速度大小，方向与中间时刻的速度方向相同.
5平均速度等于初末速度的平均值=v0 vt2
做匀变速直线运动的物体，在某段时间内的平均速度等于初速度与末速度的平均值.那么，做平抛运动的物体，这个规律适用吗？
从上面4的讨论知道，AC=vB，
由平抛运动在竖直方向分运动的规律，有
vBy=vAy vCy2，
则vA vC2=（v0i vAyj） （v0i vCyj）2
=v0i （vAy vCy）2j=v0i vByj=vB=AC.
即做平抛运动的物体，在某段时间内的平均速度矢量等于初速度矢量与末速度矢量的平均值，但不表明平均速度大小等于初速度与末速度大小的平均值.其实，在匀变速直线运动中，某段时间内的平均速度大小也不一定等于初速度与末速度大小的平均值.比如，竖直上抛的物体，从抛出到落回抛出点的过程中，平均速度等于零，而抛出时的速度大小与落回抛出点时的速度大小的平均值显然不等于零.
从以上讨论可以知道，匀变速直线运动的规律，作为矢量关系式都适用于平抛运动，作为数量关系式，只有平均速度等于中间时刻速度这一规律适用于平抛运动.在高中物理教学中，若能正确使用这一规律，可以迅速求解一些不需要解题过程的填空题或者选择题.下面来看一道常见的习题.
题目在研究平抛运动的实验中，用一张印有小方格的纸记录小球的运动轨迹，小方格的边长为L，若小球在平抛运动轨迹中的几个位置如图6中的a、b、c、d所示，则小球平抛运动的初速度v0的计算式为v0=，小球在b点的速率为vb=.（已知重力加速度为g）
分析与解在求b点速率时，通常是先分别求出b的水平分速度和竖直分速度，然后再用勾股定理求出b的速率，既费时，又容易出错，如果直接用平抛运动的中间时刻的速度等于平均速度，很快就可以求出.
（1）由于a、b、c、d在水平方向位移相等，故时间间隔相等，设为T，小球竖直方向做自由落体运动，有
Δy=L=gT2，
得T=L/g.
（2）小球水平方向做匀速直线运动，
有Δx=2L=v0T，
得v0=2gL.
（3）由于b是ac的中间时刻，所以有
vb=ac=lac2T=x2ac y2ac2T=5L2T=52gL.