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数列的概念及表示法在每年的高考中都有所体现,尤其是根据an与Sn的关系求an和由递推公式求通项公式,更是高考的热点.题目以能力立意为中心,注重以求数列通项为背景的新情境题目,常与函数、方程(不等式)、解析几何等知识交汇命题。
一、an+1=an+f(n)型
把原递推公式转化为an+1-an=f(n),再利用累加法(逐差相加法)求解,即an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=a1+f(1)+f(2)+f(3)+…+f(n - 1).
[例题1] 已知数列{an}满足a1=,an+1=an+,求an.
[规范解答] 由条件,知an+1-an=[1n2+n]=[1nn+1]=[1n]-[1n+1],则(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+…+(an-an-1)=[1-12]+[12-13]+[13-14]+…+[1n-1-1n],所以an-a1=1-[1n].
因为a1=[12],所以an=[12]+1-[1n]=[32]-[1n].
二、an+1=f(n)an型
把原递推公式转化为=f(n),再利用累乘法(逐商相乘法)求解,即由=f(1),=f(2),…,=f(n-1),累乘可得=f(1)f(2)…f(n-1).
[例题2] 已知数列{an}满足a1=[23],an+1=[1n+1]·an,求an.
[规范解答] 由an+1=[1n+1]·an,得[an+1an]=[nn+1],
故an=[anan-1]·[an-1an-2]·…·[a2a1]·a1=[n-1n]·[n-2n-1]…·[12]·[23]=. 即an=[23n].
三、an+1=pan+q(其中p,q均为常数,pq(p-1)≠0)型
对于此类问题,通常采用换元法进行转化,假设将递推公式改写为an+1+t=p(an+t),比较系数可知t=[qp-1],可令an+1+t=bn+1换元即可转化为等比数列来解决.
[例题3] 已知数列{an}中,a1=1,an+1=2an+3,求an.
[规范解答] 设递推公式an+1=2an+3可以转化为an+1-t=2(an-t),即an+1=2an-t,则t=-3.故递推公式为an+1+3=2(an+3).
令bn=an+3,则b1=a1+3=4,且[bn+1bn]=[an+1+3an+3]=2.所以{bn}是以b1=4为首项,2为公比的等比数列.
所以bn=4×2n-1=2n+1,即an=2n+1-3.
四、an+1=pan+qn(其中p,q均为常数,pq(p-1)≠0)型
(1)一般地,要先在递推公式两边同除以qn+1,得[an+1qn+1]=[pq]·[anqn]+[1q],引入辅助数列{bn},得bn+1=[pq]·bn+[1q],再用待定系数法解决;
(2)也可以在原递推公式两边同除以pn+1,得[an+1qn+1]=[anqn]+[1p]·[pq]n,引入辅助数列{bn},得bn+1-bn=n,再利用叠加法(逐差相加法)求解.
[例题4] 已知数列{an}中,a1=,an+1=an+n+1,求an.
[规范解答] 解法一:在an+1=an+n+1两边乘以2n+1,得2n+1·an+1=(2n·an)+1.
令bn=2n·an,则bn+1=[23]bn+1,
根据待定系数法,得bn+1-3=[23](bn-3).
所以数列{bn-3}是以b1-3=2×[56]-3=-[43]为首项,以[23]为公比的等比数列.
所以bn-3=-[43][23]n-1,即bn=3-2[23]n. 于是,an=[bn2n]=3[12]n-2[13]n.
解法二:在an+1=[13]an+[12]n+1两边乘以3n+1,得3n+1an+1=3nan+[32]n+1. 令bn=3n·an,则bn+1=bn+[32]n+1.所以bn-bn-1=n,bn-1-bn-2=n-1,…,b2-b1=2.
将以上各式叠加,得bn-b1=[32]2+…+[32]n-1+[32]n. 又b1=3a1=3×[56]=[52]=1+[32],所以bn=1+[32]+[32]2+…+[32]n-1+[32]n=2[32]n+1-2,即bn=2[32]n+1-2. 故an=[bn3n]=3[12]n-2[13]n.
五、an+1=[AanBan+C] (A,B,C为常数)型
对于此类递推数列,可通过两边同时取倒数的方法得出关系式.
[例题5] 已知数列{an}的首项a1=,an+1=,n=1,2,3,…求{an}的通项公式.
[规范解答]∵an+1=[3an2an+1],∴[1an+1]=[23]+[13an],∴[1an+1]-1=[13][1an-1]. 又[1a1]-1=[23],∴[1an-1]是[23]以为首项,[13]为公比的等比数列,∴[1an]-1=[23]·[13n-1]=[23n],
∴an=[3n3n+2].
[方法总结] 上面的几种常见的由递推公式求通项公式的题型和对应解法,从这些题型及解法中可以发现,很多题型及方法都是相通的,如果能够真正理解其内在的联系及区别,也就真正做到了举一反三、触类旁通,使自己的学习游刃有余,真正成为学习的主人。
一、an+1=an+f(n)型
把原递推公式转化为an+1-an=f(n),再利用累加法(逐差相加法)求解,即an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=a1+f(1)+f(2)+f(3)+…+f(n - 1).
[例题1] 已知数列{an}满足a1=,an+1=an+,求an.
[规范解答] 由条件,知an+1-an=[1n2+n]=[1nn+1]=[1n]-[1n+1],则(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+…+(an-an-1)=[1-12]+[12-13]+[13-14]+…+[1n-1-1n],所以an-a1=1-[1n].
因为a1=[12],所以an=[12]+1-[1n]=[32]-[1n].
二、an+1=f(n)an型
把原递推公式转化为=f(n),再利用累乘法(逐商相乘法)求解,即由=f(1),=f(2),…,=f(n-1),累乘可得=f(1)f(2)…f(n-1).
[例题2] 已知数列{an}满足a1=[23],an+1=[1n+1]·an,求an.
[规范解答] 由an+1=[1n+1]·an,得[an+1an]=[nn+1],
故an=[anan-1]·[an-1an-2]·…·[a2a1]·a1=[n-1n]·[n-2n-1]…·[12]·[23]=. 即an=[23n].
三、an+1=pan+q(其中p,q均为常数,pq(p-1)≠0)型
对于此类问题,通常采用换元法进行转化,假设将递推公式改写为an+1+t=p(an+t),比较系数可知t=[qp-1],可令an+1+t=bn+1换元即可转化为等比数列来解决.
[例题3] 已知数列{an}中,a1=1,an+1=2an+3,求an.
[规范解答] 设递推公式an+1=2an+3可以转化为an+1-t=2(an-t),即an+1=2an-t,则t=-3.故递推公式为an+1+3=2(an+3).
令bn=an+3,则b1=a1+3=4,且[bn+1bn]=[an+1+3an+3]=2.所以{bn}是以b1=4为首项,2为公比的等比数列.
所以bn=4×2n-1=2n+1,即an=2n+1-3.
四、an+1=pan+qn(其中p,q均为常数,pq(p-1)≠0)型
(1)一般地,要先在递推公式两边同除以qn+1,得[an+1qn+1]=[pq]·[anqn]+[1q],引入辅助数列{bn},得bn+1=[pq]·bn+[1q],再用待定系数法解决;
(2)也可以在原递推公式两边同除以pn+1,得[an+1qn+1]=[anqn]+[1p]·[pq]n,引入辅助数列{bn},得bn+1-bn=n,再利用叠加法(逐差相加法)求解.
[例题4] 已知数列{an}中,a1=,an+1=an+n+1,求an.
[规范解答] 解法一:在an+1=an+n+1两边乘以2n+1,得2n+1·an+1=(2n·an)+1.
令bn=2n·an,则bn+1=[23]bn+1,
根据待定系数法,得bn+1-3=[23](bn-3).
所以数列{bn-3}是以b1-3=2×[56]-3=-[43]为首项,以[23]为公比的等比数列.
所以bn-3=-[43][23]n-1,即bn=3-2[23]n. 于是,an=[bn2n]=3[12]n-2[13]n.
解法二:在an+1=[13]an+[12]n+1两边乘以3n+1,得3n+1an+1=3nan+[32]n+1. 令bn=3n·an,则bn+1=bn+[32]n+1.所以bn-bn-1=n,bn-1-bn-2=n-1,…,b2-b1=2.
将以上各式叠加,得bn-b1=[32]2+…+[32]n-1+[32]n. 又b1=3a1=3×[56]=[52]=1+[32],所以bn=1+[32]+[32]2+…+[32]n-1+[32]n=2[32]n+1-2,即bn=2[32]n+1-2. 故an=[bn3n]=3[12]n-2[13]n.
五、an+1=[AanBan+C] (A,B,C为常数)型
对于此类递推数列,可通过两边同时取倒数的方法得出关系式.
[例题5] 已知数列{an}的首项a1=,an+1=,n=1,2,3,…求{an}的通项公式.
[规范解答]∵an+1=[3an2an+1],∴[1an+1]=[23]+[13an],∴[1an+1]-1=[13][1an-1]. 又[1a1]-1=[23],∴[1an-1]是[23]以为首项,[13]为公比的等比数列,∴[1an]-1=[23]·[13n-1]=[23n],
∴an=[3n3n+2].
[方法总结] 上面的几种常见的由递推公式求通项公式的题型和对应解法,从这些题型及解法中可以发现,很多题型及方法都是相通的,如果能够真正理解其内在的联系及区别,也就真正做到了举一反三、触类旁通,使自己的学习游刃有余,真正成为学习的主人。