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摘 要:最值问题能考查学生推理、转换、归纳等综合数学能力,每年高考都会出现. 在高中数学教学中,最值问题的有两个主要的解决策略,一是转换成函数,利用函数性质求解,二是利用不等式求解.2020年全国Ⅱ卷第21题第(2)问是典型的最值问题,本文分别从函数性质和不等式的角度给出不同的解答,以总结出一般的思路步骤,供复习参考.
关键词:最值问题;函数;不等式;一题多解
中图分类号:G632文献标识码:A文章编号:1008-0333(2021)04-0037-03
一、真题再现
(2020年全国Ⅱ卷第21题)已知函数f(x)=sin2xsin2x.
(1)讨论f(x)在(0,π)的单调性;
(2)证明:f(x)≤338;
(3)证明:sin2xsin22xsin24x…sin22nx≤3n4n.
通过观察题目发现,该题以三角函数为背景,考查判断函数在区间内的单调性、求函数值域、不等式证明等多个知识点. 题目综合性强,难度较大,对考生的逻辑推理能力和运算能力有较高的要求,很好的体现了课程标准要求的核心素养导向,具有高考命题需要的区分度. 下面重点给出第(2)问的一题多解,对于第(1)、(3)问仅给出一种可行的解答.
二、真题解析
(1)分析 要讨论函数f(x)在区间内的单调性,只需要求导,由导函数值在区间内的正(负)可得到原函数在区间内单调递增(减),该题是常规考法.
解答 对函数f(x)=sin2xsin2x求导,得f ′(x)=2sinxcosxsin2x+2sin2xcos2x=2sin2x(2cos2x+1),
当x∈(0,π)时,令f ′(x)=0,得x=π3或x=2π3.
1°当x∈0,π3∪2π3,π时,f ′(x)>0;
2°当x∈π3,2π3时,f ′(x)<0.
因此,f(x)在(0,π)上的单调增区间为0,π3和2π3,π,减区间为π3,2π3.
(2)要想证明f(x)≤338,只需要证明-338≤f(x)≤338即可.
分析1 直接求导,利用函数单调性求最值. 要想求出函数的最值(取值范围),借助导数先判断单调性再求最值是最常用的方法. 因此,可以借助导数解答这个问题.
解答1 由(1)知,f ′(x)=2sin2x(2cos2x+1)=(1-cos2x)(2cos2x+1),令f ′(x)=0,得cos2x=1或cos2x=-12.
由f ′(x)≥0,得-12≤cos2x≤1,即2kπ-2π3≤2x≤2kπ+2π3(k∈Z),
由此得kπ-π3≤x≤kπ+π3(k∈Z),因此f(x)在kπ-π3,kπ+π3(k∈Z)上单调递增;
由f ′(x)≤0,得-1≤cos2x≤-12,即2kπ-π≤2x≤2kπ-2π3(k∈Z)或2kπ+2π3≤2x≤2kπ+π(k∈Z),由此得kπ-π2≤x≤kπ-π3(k∈Z)或kπ+π3≤x≤kπ+π2(k∈Z),因此f(x)在kπ-π2,kπ-π3(k∈Z)和kπ+π3,kπ+π2(k∈Z)单调递减.
综上,f(x)max=maxfkπ-π2,fkπ+π3=338,f(x)min=minfkπ-π3,fkπ+π2=-338.
所以,-338≤f(x)≤338,即f(x)≤338得证.
评析 这种解法是能够容易想到的,观察解答过程可以发现,对计算的要求较高. 此外,需要考生对三角函数的图象性质非常熟悉才能由f ′(x)≥0(或f ′(x)≤0)正确的求出x的范围. 体现了数学运算核心素养,考查学生的综合运用能力.
分析2 利用三角函數周期性,转化为连续函数在区间上的最值问题. 周期性是三角函数的一个重要性质,该题以三角函数为背景,易想到利用周期性解决. 由三角函数周期性,可以把问题转化为求一个闭区间内的最值问题,只要求出函数在这个区间内的最值即可.
解答2 由题意,f(x+π)=sin2(x+π)sin2(x+π)=f(x),所以π是f(x)的一个周期.因此,问题可以转化为:
证明当x∈0,π时,f(x)≤338.
由(1)知,因此f(x)在0,π3和2π3,π上单调递增,在π3,2π3单调递减.
所以f(x)max=maxfπ3,fπ=fπ3=338,
f(x)min=minf2π3,
f0=f2π3=-338.
所以,-338≤f(x)≤338,即f(x)≤338得证.
评析 这种解法较为灵活,要求学生具有抽象概括的能力、直观想象的核心素养,能够在看到三角函数时候即想到周期性,并将问题转为为一个闭区间上的最值问题. 学生在平时复习中,要熟练掌握基础知识,还要注意抽象概括能力的培养.
分析3 平方处理,利用四元均值不等式证明.题目要证的式子中含有绝对值,可以通过平方去掉绝对值. 平方后,问题转化为求乘积的最大值,可以构造四元均值不等式.
解答3 由题意,
f(x)2=sin4x·sin22x
=4sin6x·cos2x
=43sin2x·sin2x·sin2x·3cos2x
≤43·sin2x+sin2x+sin2x+3cos2x44=2764,
当且仅当sin2x=3cos2x,即x=kπ-π3或x=kπ+π3(k∈Z)时,取“=”.
由此,可得f(x)≤338.
分析4 先降幂化次数为1,再平方处理,利用四元均值不等式证明. 题目所给函数表达式两个因式的次数不统一,可以利用降幂公式把两项次数都化为1. 此时,再通过平方去掉绝对值,问题再次转为为求乘积的最大值,可以构造四元均值不等式. 解答4 由题,
f(x)=sin2xsin2x=1-cos2x2sin2x,
所以f(x)2=14(1-cos2x)2sin22x
=14(1-cos2x)2(1-cos22x)
=14(1-cos2x)3(1+cos2x)
=14×13(1-cos2x)(1-cos2x)(1-cos2x)(3+3cos2x)
≤1121-cos2x+1-cos2x+1-cos2x+3+3cos2x44
=2764.
当且仅当1-cos2x=3+3cos2x,即x=kπ-π3或x=kπ+π3(k∈Z)时,取″=″.
由此,可得f(x)≤338.
评析 这两种解法都蕴含两个关键思路,一是看到绝对值想到通过平方取绝对值,二是能够想到均值不等式中“和定积最大”解决最值问题. 不同的是,解法3直接平方处理,解法4先降幂再处理.不论哪一种解法,都要求对三角函数相关公式非常熟悉,有较强的运算能力才能正确解答. 此外,教材中所学的是二元均值不等式,这两种解法都用到四元均值不等式,要求学生具有较强的逻辑推理能力.
(3)分析 利用第(2)问已经证明的结论,平方处理,可以出现要证明目标中的34. 通过换元,再累乘,即可构造出题目要证明的式子.
解答 由(2)知,f(x)≤338,
两边平方,得f(x)2≤2764,
即sin4x·sin22x≤343,其中x∈R.
将x依次替换为2x,22x,23x,…,2n-1x,
得sin4(2x)·sin2(22x)≤343,
sin4(22x)·sin2(23x)≤343,
sin4(23x)·sin2(24x)≤343,…,sin4(2n-1x)·sin2(2nx)≤343.
累乘,得
sin4x·sin6(2x)·sin6(22x)·sin6(23x)
·…·sin6(2n-1x)·sin2(2nx)
≤343n
又因为sin6x·sin6(2x)·sin6(22x)·…·sin6(2n-1x)·sin6(2nx)
=
sin2x·sin4(2nx)·sin4x·sin6(2x)·sin6(22x)·…·sin6(2n-1x)·sin2(2nx)
≤1×1×343n
即sin2xsin22xsin24x…sin22nx3≤343n,
所以sin2xsin22xsin24x…sin22nx≤3n4n.
评析 该题涉及到三角函数性质,绝对值处理,数列累乘,放缩证明不等式等知识点和相关方法,综合性强,难度较大,很好体现了高考的选拔性功能. 在平时复习中,首先应注重夯实基础,其次要注意多个知识点的融合,培養学生的综合运用能力.可以发现,高考数学压轴题融合的知识点较多,综合性强,难度大,是最容易体现高考区分度的题型. 基于对今年高考题的分析解答,提出如下复习建议:
1.重视基础知识学习,强化基本技能训练
基础知识是“四基”能力培养和核心素养养成的最重要载体,概念的形成过程就是数学抽象和数学建模的过程.因此,要深刻理解相关知识的基本概念,理解公式定理的形成过程,掌握基本方法的适用“题境”,加强审读问题、分析问题、解决问题的训练.
2. 关注数学思想方法的应用,培养数学核心素养
在平时教学和学习中,引导学生正确使用数学思想放方法分析问题,训练他们抽象概括、转化问题的能力,提高数学运算能力,从多个方面培养数学核心素养.3. 研究高考命题思路,总结命题规律
高考试题是命题专家根据《课程标准》和考试大纲精心打造的,复习通过研读近些年的高考试题,分析理解命题思路、意图和理念,总结命题规律. 通过研读高考题,避免大搞题海战术,实现高效备考.
参考文献:
[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(2017年版)[M].北京:人民教育出版社,2018.
[2]林国红.多视角 巧突破——2018年全国Ⅰ卷理数第16题的解法赏析与探究[J].中学数学研究(华南师范大学版),2018(17):44-46.
[3]李晨.浅谈最值问题的解决方法[J].数学教学通讯,2020(18):83-84.
[4]汤敬鹏,汤先键.n元均值不等式证法的探索性学习[J].数学教学,2007(07):16-17+7.
[责任编辑:李 璟]
关键词:最值问题;函数;不等式;一题多解
中图分类号:G632文献标识码:A文章编号:1008-0333(2021)04-0037-03
一、真题再现
(2020年全国Ⅱ卷第21题)已知函数f(x)=sin2xsin2x.
(1)讨论f(x)在(0,π)的单调性;
(2)证明:f(x)≤338;
(3)证明:sin2xsin22xsin24x…sin22nx≤3n4n.
通过观察题目发现,该题以三角函数为背景,考查判断函数在区间内的单调性、求函数值域、不等式证明等多个知识点. 题目综合性强,难度较大,对考生的逻辑推理能力和运算能力有较高的要求,很好的体现了课程标准要求的核心素养导向,具有高考命题需要的区分度. 下面重点给出第(2)问的一题多解,对于第(1)、(3)问仅给出一种可行的解答.
二、真题解析
(1)分析 要讨论函数f(x)在区间内的单调性,只需要求导,由导函数值在区间内的正(负)可得到原函数在区间内单调递增(减),该题是常规考法.
解答 对函数f(x)=sin2xsin2x求导,得f ′(x)=2sinxcosxsin2x+2sin2xcos2x=2sin2x(2cos2x+1),
当x∈(0,π)时,令f ′(x)=0,得x=π3或x=2π3.
1°当x∈0,π3∪2π3,π时,f ′(x)>0;
2°当x∈π3,2π3时,f ′(x)<0.
因此,f(x)在(0,π)上的单调增区间为0,π3和2π3,π,减区间为π3,2π3.
(2)要想证明f(x)≤338,只需要证明-338≤f(x)≤338即可.
分析1 直接求导,利用函数单调性求最值. 要想求出函数的最值(取值范围),借助导数先判断单调性再求最值是最常用的方法. 因此,可以借助导数解答这个问题.
解答1 由(1)知,f ′(x)=2sin2x(2cos2x+1)=(1-cos2x)(2cos2x+1),令f ′(x)=0,得cos2x=1或cos2x=-12.
由f ′(x)≥0,得-12≤cos2x≤1,即2kπ-2π3≤2x≤2kπ+2π3(k∈Z),
由此得kπ-π3≤x≤kπ+π3(k∈Z),因此f(x)在kπ-π3,kπ+π3(k∈Z)上单调递增;
由f ′(x)≤0,得-1≤cos2x≤-12,即2kπ-π≤2x≤2kπ-2π3(k∈Z)或2kπ+2π3≤2x≤2kπ+π(k∈Z),由此得kπ-π2≤x≤kπ-π3(k∈Z)或kπ+π3≤x≤kπ+π2(k∈Z),因此f(x)在kπ-π2,kπ-π3(k∈Z)和kπ+π3,kπ+π2(k∈Z)单调递减.
综上,f(x)max=maxfkπ-π2,fkπ+π3=338,f(x)min=minfkπ-π3,fkπ+π2=-338.
所以,-338≤f(x)≤338,即f(x)≤338得证.
评析 这种解法是能够容易想到的,观察解答过程可以发现,对计算的要求较高. 此外,需要考生对三角函数的图象性质非常熟悉才能由f ′(x)≥0(或f ′(x)≤0)正确的求出x的范围. 体现了数学运算核心素养,考查学生的综合运用能力.
分析2 利用三角函數周期性,转化为连续函数在区间上的最值问题. 周期性是三角函数的一个重要性质,该题以三角函数为背景,易想到利用周期性解决. 由三角函数周期性,可以把问题转化为求一个闭区间内的最值问题,只要求出函数在这个区间内的最值即可.
解答2 由题意,f(x+π)=sin2(x+π)sin2(x+π)=f(x),所以π是f(x)的一个周期.因此,问题可以转化为:
证明当x∈0,π时,f(x)≤338.
由(1)知,因此f(x)在0,π3和2π3,π上单调递增,在π3,2π3单调递减.
所以f(x)max=maxfπ3,fπ=fπ3=338,
f(x)min=minf2π3,
f0=f2π3=-338.
所以,-338≤f(x)≤338,即f(x)≤338得证.
评析 这种解法较为灵活,要求学生具有抽象概括的能力、直观想象的核心素养,能够在看到三角函数时候即想到周期性,并将问题转为为一个闭区间上的最值问题. 学生在平时复习中,要熟练掌握基础知识,还要注意抽象概括能力的培养.
分析3 平方处理,利用四元均值不等式证明.题目要证的式子中含有绝对值,可以通过平方去掉绝对值. 平方后,问题转化为求乘积的最大值,可以构造四元均值不等式.
解答3 由题意,
f(x)2=sin4x·sin22x
=4sin6x·cos2x
=43sin2x·sin2x·sin2x·3cos2x
≤43·sin2x+sin2x+sin2x+3cos2x44=2764,
当且仅当sin2x=3cos2x,即x=kπ-π3或x=kπ+π3(k∈Z)时,取“=”.
由此,可得f(x)≤338.
分析4 先降幂化次数为1,再平方处理,利用四元均值不等式证明. 题目所给函数表达式两个因式的次数不统一,可以利用降幂公式把两项次数都化为1. 此时,再通过平方去掉绝对值,问题再次转为为求乘积的最大值,可以构造四元均值不等式. 解答4 由题,
f(x)=sin2xsin2x=1-cos2x2sin2x,
所以f(x)2=14(1-cos2x)2sin22x
=14(1-cos2x)2(1-cos22x)
=14(1-cos2x)3(1+cos2x)
=14×13(1-cos2x)(1-cos2x)(1-cos2x)(3+3cos2x)
≤1121-cos2x+1-cos2x+1-cos2x+3+3cos2x44
=2764.
当且仅当1-cos2x=3+3cos2x,即x=kπ-π3或x=kπ+π3(k∈Z)时,取″=″.
由此,可得f(x)≤338.
评析 这两种解法都蕴含两个关键思路,一是看到绝对值想到通过平方取绝对值,二是能够想到均值不等式中“和定积最大”解决最值问题. 不同的是,解法3直接平方处理,解法4先降幂再处理.不论哪一种解法,都要求对三角函数相关公式非常熟悉,有较强的运算能力才能正确解答. 此外,教材中所学的是二元均值不等式,这两种解法都用到四元均值不等式,要求学生具有较强的逻辑推理能力.
(3)分析 利用第(2)问已经证明的结论,平方处理,可以出现要证明目标中的34. 通过换元,再累乘,即可构造出题目要证明的式子.
解答 由(2)知,f(x)≤338,
两边平方,得f(x)2≤2764,
即sin4x·sin22x≤343,其中x∈R.
将x依次替换为2x,22x,23x,…,2n-1x,
得sin4(2x)·sin2(22x)≤343,
sin4(22x)·sin2(23x)≤343,
sin4(23x)·sin2(24x)≤343,…,sin4(2n-1x)·sin2(2nx)≤343.
累乘,得
sin4x·sin6(2x)·sin6(22x)·sin6(23x)
·…·sin6(2n-1x)·sin2(2nx)
≤343n
又因为sin6x·sin6(2x)·sin6(22x)·…·sin6(2n-1x)·sin6(2nx)
=
sin2x·sin4(2nx)·sin4x·sin6(2x)·sin6(22x)·…·sin6(2n-1x)·sin2(2nx)
≤1×1×343n
即sin2xsin22xsin24x…sin22nx3≤343n,
所以sin2xsin22xsin24x…sin22nx≤3n4n.
评析 该题涉及到三角函数性质,绝对值处理,数列累乘,放缩证明不等式等知识点和相关方法,综合性强,难度较大,很好体现了高考的选拔性功能. 在平时复习中,首先应注重夯实基础,其次要注意多个知识点的融合,培養学生的综合运用能力.可以发现,高考数学压轴题融合的知识点较多,综合性强,难度大,是最容易体现高考区分度的题型. 基于对今年高考题的分析解答,提出如下复习建议:
1.重视基础知识学习,强化基本技能训练
基础知识是“四基”能力培养和核心素养养成的最重要载体,概念的形成过程就是数学抽象和数学建模的过程.因此,要深刻理解相关知识的基本概念,理解公式定理的形成过程,掌握基本方法的适用“题境”,加强审读问题、分析问题、解决问题的训练.
2. 关注数学思想方法的应用,培养数学核心素养
在平时教学和学习中,引导学生正确使用数学思想放方法分析问题,训练他们抽象概括、转化问题的能力,提高数学运算能力,从多个方面培养数学核心素养.3. 研究高考命题思路,总结命题规律
高考试题是命题专家根据《课程标准》和考试大纲精心打造的,复习通过研读近些年的高考试题,分析理解命题思路、意图和理念,总结命题规律. 通过研读高考题,避免大搞题海战术,实现高效备考.
参考文献:
[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(2017年版)[M].北京:人民教育出版社,2018.
[2]林国红.多视角 巧突破——2018年全国Ⅰ卷理数第16题的解法赏析与探究[J].中学数学研究(华南师范大学版),2018(17):44-46.
[3]李晨.浅谈最值问题的解决方法[J].数学教学通讯,2020(18):83-84.
[4]汤敬鹏,汤先键.n元均值不等式证法的探索性学习[J].数学教学,2007(07):16-17+7.
[责任编辑:李 璟]