论文部分内容阅读
摘要：以径向偏振圆对称Airy光束为例，基于Rayleigh Sommerfeld矢量衍射理论，探讨了矢量圆对称Airy光束的传输特性。随着光束波长增大其自聚焦焦距减小，光束等效数值孔径增大。与傍轴理论计算结果比较后发现，当等效数值孔径大于0.09时，傍轴理论不再适用，因为此时傍轴理论低估了光波的衍射效应和矢量性。
关键词：圆对称艾里光束； 自聚焦； 径向偏振
中图分类号： O 436.1 文献标志码： A doi： 10.3969/j.issn.1005 5630.2018.03.009
Abstract： In this paper，the vector propagation dynamics of the radially circular Airy beams have been studied based on Rayleigh Sommerfeld integration.With the increase of the wavelength the focal length of self focusing will decrease and the equivalent numerical aperture will increase.It is found that the paraxial theory is valid when the equivalent numerical aperture is less than 0 . 09 by comparing with the calculation results of Rayleigh Sommerfeld integration.The paraxial theory under estimates the diffraction effect and the vector property of light waves.Thus，paraxial theory can ’ t be used for tightly focused systems.
Keywords：circular Airy beams； self focusing； radial polarization
引 言
圓对称Airy光束（circular Airy beams，CAB）因在传输过程中有自加速、无衍射、自修复的特性[1]，使其在生物医学、光学微操纵、表面等离子等领域有着广泛的应用。相比于高斯光束等非无衍射光束， 圆对称Airy光束的无衍射特性是指其在传输过程中一直保持较低能量并在焦点处能量突然增加。自修复特性是指即使在部分光束被遮挡的情况下，圆对称Airy光束在传播一段距离后还会恢复原有的光场分布。圆对称Airy光束的自加速和轨道自弯曲特性可以躲避直线传输过程中的障碍物，巧妙地利用和改造Airy光束的自加速特性，还可以构造出新型光束，例如具有复杂轨道的光束。
在过去的几年里，人们对圆对称Airy光束已经进行了大量的研究，如通过遮挡Airy光束主光瓣[2]，加载光学涡旋[3]和对Airy光束进行调制[4]等方法来提高Airy光束自聚焦特性，探索Airy光束对微粒的辐射力影响[5]以及如何实验获得Airy光束等等。
然而到目前为止，绝大部分的研究都是使用傍轴理论来研究光束的传输特性，有关矢量理论的研究少有报道。因此，本文基于Rayleigh Sommerfeld（R S）积分的矢量衍射理论来探讨圆对称Airy光束自聚焦的矢量传输特性。因径向偏振光最适合产生超分辨光斑，本文以径向偏振光为例进行研究。
由于圆对称Airy光束的自聚焦性质会受到初始光束尺寸的限制，因此，在保持初始光束尺寸不变的情况下，通过改变光束波长来改变其等效数值孔径，研究自聚焦情况下傍轴理论和R S矢量衍射理论的适用范围。
假设入射光为氦氖激光，波长λ为632.8 nm，光束的尺寸为：r0=1 mm，w=0.08，α=0.1。根据计算得到光束束宽为1.307 2 mm，此时傍轴理论和R S矢量衍射理论计算出的焦距f都为462.462 5 mm，NA约为0.002 8。
图1给出了当NA为0.002 8时，两种方法计算的z轴的总光强分布，图2给出了图1中虚线对应位置x轴总光强分布，其中Im/I0表示出射光束最大光强与初始光束最大光强的比值。从图中可以看出：由于偏振奇点的存在，径向偏振圆对称Airy光束在焦点处为暗焦斑；在等效数值孔径特别小的情况下两种理论计算结果吻合得非常好。因此在等效数值孔径较小的情况下两种理论都适用。
我们将波长更改为0.02 mm，初始光束尺寸不变。此时两种理论计算出的焦距都为14.464 5 mm，等效数值孔径NA约为0.09。此时焦点处的纵向分量占总光强的比值相较于NA为0.002 8时已经有所增大。
图3给出了等效数值孔径为0.09时，两种理论沿着z轴和x轴的总光强分布，图4给出了焦点处x轴的径向分量、纵向分量光强分布（已归一化处理）。从图中我们可以看出：随着等效数值孔径增大，纵向分量光强占总光强比例增加，此时两种理论开始出现差异；虽然傍轴理论和R S矢量衍射理论计算结果仍然都为暗焦斑，但是R S矢量衍射理论计算出最大光强要比傍轴理论大一些。由此可见，在NA为0.09时，傍轴理论就开始表现出对纵向分量地位的估计不足。
图5和图6给出了当λ等于0.1 mm时的计算结果，此时NA约为0.47，等效数值孔径近一步增大后，纵向分量继续增大。比较两种理论的计算结果，可以发现傍轴理论计算出的自聚焦焦距为2.772 8 mm，R S矢量衍射理论计算出的自聚焦焦距为2.912 9 mm。傍轴理论计算出的光场仍然为暗焦斑，但是R S矢量衍射理论计算出的光场已经不再是暗焦斑，此时聚焦光束的纵向分量最大值已经远大于径向分量最大值。 通过上述的比较可以发现，傍轴理论和R S矢量衍射理论在等效数值孔径为0.09时开始出现差异，并且随着等效数值孔径增大，这两种理论的差异越来越大。究其原因是因为傍轴理论在推导过程中采用傍轴近似，忽略了光束传输过程中的矢量特性。在等效数值孔径非常小的情况下，聚焦光场的纵向分量非常小可以忽略，但是随着等效数值孔径逐渐增大，聚焦光场的纵向分量占总光强比例增加，纵向分量不可再忽略，傍轴理论就不再适用。同时我们还发现在初始光束尺寸不变的情况下，聚焦光束径向分量形成的暗斑尺寸也不会发生变化。
3 结 论
本文通过类比定义了Airy光束的等效数值孔径，并以此来表征其聚焦状态。经对比R S矢量衍射理论与傍轴理论，我们发现：当等效数值孔径小于0.09时两种理论都可以用于研究矢量原对称Airy光束的传输特性；当等效数值孔径增大后，聚焦光场的纵向分量占总光强比例增加，纵向分量不可忽略，此时傍轴理论不再适用。因此，在探讨Airy光束自聚焦矢量特性时，我们可以采用R S矢量衍射理论。
参考文献：
[1] DAVIS J A，COTTRELL D M，SAND D.Abruptly autofocusing vortex beams[J].Optics Express，2012，20（12）：13302 13310.
[2] LI N，JIANG Y F，HUANG K K，et al.Abruptly autofocusing property of blocked circular Airy beams[J].Optics Express，2014，22（19）：22847 22853.
[3] JIANG Y F，HUANG K F，LU X H.Propagation dynamics of abruptly autofocusing Airy beams with optical vortices[J].Optics Express，2012，20（17）：18579 18584.
[4] JIANG Y F，ZHU X W，YU W L，et al.Propagation characteristics of the modified circular Airy beam[J].Optics Express，2015，23（23）：29834 29841.
[5] PAPAZOGLOU D G，EFREMIDIS N K，CHRISTODOULIDES D N，et al.Observation of abruptly autofocusing waves[J].Optics Letters，2011，36（10）：1842 1844.
[6] JIANG Y F，HUANG K K，LU X H.Radiation force of abruptly autofocusing Airy beams on a Rayleigh particle[J].Optics Express，2013，21（20）：24413 24421.
[7] WANG F，ZHAO CL，DONG Y，et al.Generation and tight focusing properties of cylindrical vector circular Airy beams[J].Applied Physics B，2014，117（3）：905 913.
[8] KOTLYAR V V，KOVALEV A A.Nonparaxial propagation of a Gaussian optical vortex with initial radial polarization[J].Journal of the Optical Society of America A，2010，27（3）：372 380.
[9] LIU S，WANG M R，LI P，et al.Abrupt polarization transition of vector autofocusing Airy beams[J].Optics Letters，2013，38（14）：2416 2418.
（編辑：刘铁英）
关键词：圆对称艾里光束； 自聚焦； 径向偏振
中图分类号： O 436.1 文献标志码： A doi： 10.3969/j.issn.1005 5630.2018.03.009
Abstract： In this paper，the vector propagation dynamics of the radially circular Airy beams have been studied based on Rayleigh Sommerfeld integration.With the increase of the wavelength the focal length of self focusing will decrease and the equivalent numerical aperture will increase.It is found that the paraxial theory is valid when the equivalent numerical aperture is less than 0 . 09 by comparing with the calculation results of Rayleigh Sommerfeld integration.The paraxial theory under estimates the diffraction effect and the vector property of light waves.Thus，paraxial theory can ’ t be used for tightly focused systems.
Keywords：circular Airy beams； self focusing； radial polarization
引 言
圓对称Airy光束（circular Airy beams，CAB）因在传输过程中有自加速、无衍射、自修复的特性[1]，使其在生物医学、光学微操纵、表面等离子等领域有着广泛的应用。相比于高斯光束等非无衍射光束， 圆对称Airy光束的无衍射特性是指其在传输过程中一直保持较低能量并在焦点处能量突然增加。自修复特性是指即使在部分光束被遮挡的情况下，圆对称Airy光束在传播一段距离后还会恢复原有的光场分布。圆对称Airy光束的自加速和轨道自弯曲特性可以躲避直线传输过程中的障碍物，巧妙地利用和改造Airy光束的自加速特性，还可以构造出新型光束，例如具有复杂轨道的光束。
在过去的几年里，人们对圆对称Airy光束已经进行了大量的研究，如通过遮挡Airy光束主光瓣[2]，加载光学涡旋[3]和对Airy光束进行调制[4]等方法来提高Airy光束自聚焦特性，探索Airy光束对微粒的辐射力影响[5]以及如何实验获得Airy光束等等。
然而到目前为止，绝大部分的研究都是使用傍轴理论来研究光束的传输特性，有关矢量理论的研究少有报道。因此，本文基于Rayleigh Sommerfeld（R S）积分的矢量衍射理论来探讨圆对称Airy光束自聚焦的矢量传输特性。因径向偏振光最适合产生超分辨光斑，本文以径向偏振光为例进行研究。
由于圆对称Airy光束的自聚焦性质会受到初始光束尺寸的限制，因此，在保持初始光束尺寸不变的情况下，通过改变光束波长来改变其等效数值孔径，研究自聚焦情况下傍轴理论和R S矢量衍射理论的适用范围。
假设入射光为氦氖激光，波长λ为632.8 nm，光束的尺寸为：r0=1 mm，w=0.08，α=0.1。根据计算得到光束束宽为1.307 2 mm，此时傍轴理论和R S矢量衍射理论计算出的焦距f都为462.462 5 mm，NA约为0.002 8。
图1给出了当NA为0.002 8时，两种方法计算的z轴的总光强分布，图2给出了图1中虚线对应位置x轴总光强分布，其中Im/I0表示出射光束最大光强与初始光束最大光强的比值。从图中可以看出：由于偏振奇点的存在，径向偏振圆对称Airy光束在焦点处为暗焦斑；在等效数值孔径特别小的情况下两种理论计算结果吻合得非常好。因此在等效数值孔径较小的情况下两种理论都适用。
我们将波长更改为0.02 mm，初始光束尺寸不变。此时两种理论计算出的焦距都为14.464 5 mm，等效数值孔径NA约为0.09。此时焦点处的纵向分量占总光强的比值相较于NA为0.002 8时已经有所增大。
图3给出了等效数值孔径为0.09时，两种理论沿着z轴和x轴的总光强分布，图4给出了焦点处x轴的径向分量、纵向分量光强分布（已归一化处理）。从图中我们可以看出：随着等效数值孔径增大，纵向分量光强占总光强比例增加，此时两种理论开始出现差异；虽然傍轴理论和R S矢量衍射理论计算结果仍然都为暗焦斑，但是R S矢量衍射理论计算出最大光强要比傍轴理论大一些。由此可见，在NA为0.09时，傍轴理论就开始表现出对纵向分量地位的估计不足。
图5和图6给出了当λ等于0.1 mm时的计算结果，此时NA约为0.47，等效数值孔径近一步增大后，纵向分量继续增大。比较两种理论的计算结果，可以发现傍轴理论计算出的自聚焦焦距为2.772 8 mm，R S矢量衍射理论计算出的自聚焦焦距为2.912 9 mm。傍轴理论计算出的光场仍然为暗焦斑，但是R S矢量衍射理论计算出的光场已经不再是暗焦斑，此时聚焦光束的纵向分量最大值已经远大于径向分量最大值。 通过上述的比较可以发现，傍轴理论和R S矢量衍射理论在等效数值孔径为0.09时开始出现差异，并且随着等效数值孔径增大，这两种理论的差异越来越大。究其原因是因为傍轴理论在推导过程中采用傍轴近似，忽略了光束传输过程中的矢量特性。在等效数值孔径非常小的情况下，聚焦光场的纵向分量非常小可以忽略，但是随着等效数值孔径逐渐增大，聚焦光场的纵向分量占总光强比例增加，纵向分量不可再忽略，傍轴理论就不再适用。同时我们还发现在初始光束尺寸不变的情况下，聚焦光束径向分量形成的暗斑尺寸也不会发生变化。
3 结 论
本文通过类比定义了Airy光束的等效数值孔径，并以此来表征其聚焦状态。经对比R S矢量衍射理论与傍轴理论，我们发现：当等效数值孔径小于0.09时两种理论都可以用于研究矢量原对称Airy光束的传输特性；当等效数值孔径增大后，聚焦光场的纵向分量占总光强比例增加，纵向分量不可忽略，此时傍轴理论不再适用。因此，在探讨Airy光束自聚焦矢量特性时，我们可以采用R S矢量衍射理论。
参考文献：
[1] DAVIS J A，COTTRELL D M，SAND D.Abruptly autofocusing vortex beams[J].Optics Express，2012，20（12）：13302 13310.
[2] LI N，JIANG Y F，HUANG K K，et al.Abruptly autofocusing property of blocked circular Airy beams[J].Optics Express，2014，22（19）：22847 22853.
[3] JIANG Y F，HUANG K F，LU X H.Propagation dynamics of abruptly autofocusing Airy beams with optical vortices[J].Optics Express，2012，20（17）：18579 18584.
[4] JIANG Y F，ZHU X W，YU W L，et al.Propagation characteristics of the modified circular Airy beam[J].Optics Express，2015，23（23）：29834 29841.
[5] PAPAZOGLOU D G，EFREMIDIS N K，CHRISTODOULIDES D N，et al.Observation of abruptly autofocusing waves[J].Optics Letters，2011，36（10）：1842 1844.
[6] JIANG Y F，HUANG K K，LU X H.Radiation force of abruptly autofocusing Airy beams on a Rayleigh particle[J].Optics Express，2013，21（20）：24413 24421.
[7] WANG F，ZHAO CL，DONG Y，et al.Generation and tight focusing properties of cylindrical vector circular Airy beams[J].Applied Physics B，2014，117（3）：905 913.
[8] KOTLYAR V V，KOVALEV A A.Nonparaxial propagation of a Gaussian optical vortex with initial radial polarization[J].Journal of the Optical Society of America A，2010，27（3）：372 380.
[9] LIU S，WANG M R，LI P，et al.Abrupt polarization transition of vector autofocusing Airy beams[J].Optics Letters，2013，38（14）：2416 2418.
（編辑：刘铁英）