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一、选择题(本大题10个小题,每小题4分,共40分)在每个小题的下面,都给出了代号为A、B、C、D的四个答案,其中只有一个是正确的,请将正确答案的代号填在题后的括号中.
1.-7的相反数是( )
A.-7 B.-17 C.7 D.17
2.下列运算中:①3x+2y=5xy;②5x-3·x2=5x-6;③4x2y-6xy2=-2xy2;④4x4y÷(-2xy)=-2x3.正确的个数是( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
3.3月22日是世界水日.重庆市水利局有关负责人介绍,重庆市是一座缺水的城市:全市一年人均水资源量只有1650m3,因此,全市水资源约为51150000000m3.全市水资源总量可用科学记数法表示为( )
A.5115×107m3 B.5.115×1010m3
C.0.5115×1012m3D.51.15×109m3
图14.已知:如图1所示,在等腰△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,垂足为D,AD=3,BD=4,则图中阴影部分的面积是( )
A.3个平方单位
B.6个平方单位
C.9个平方单位
D.12个平方单位
5.如图2是某几何体的三视图及相关数据,则判断正确的是( )
A.a>cB.b>c
C.4a2+b2=c2D.a2+b2=c2
图26.在平面直角坐标系中,有五个点A(1,6)、B(-3,-2)、C(2,-3)、D(5,65)、E(72,127),其中有四个点在同一反比例函数图象上,则不在这个反比例函数图象上的点是( )
A.点E B.点D C.点C D.点B
7.如图3,将一正方形纸片按下列顺序折叠,然后将最后折叠的纸片沿虚线剪去上方的小三角形.将纸片展开,得到的图形是( )
图38.已知三角形三个顶点坐标,求三角形面积通常有以下三种方法:方法1:直接法.计算三角形一边的长,并求出该边上的高.方法2:补形法.将三角形面积转化成若干个特殊的四边形和三角形的面积的和与差.方法3:分割法.选择一条恰当的直线,将三角形分割成两个便于计算面积的三角形.现给出三点坐标:A(-1,4),B(2,2),C(4,-1),请你选择一种方法计算△ABC的面积,你的答案是S△ABC=( )
A.-12 B.12 C.-52 D.52
9.如图4,一块含有30°角的直角三角板ABC,在水平桌面上绕点C接顺时针方向旋转到A′B′C′的位置.若BC=15cm,那么顶点A从开始到结束所经过的路径长为( )
图4 图5A.10πcm B.103πcm
C.15πcmD.20πcm
10.2008年重庆市把高中招生考试的体育成绩增加为50分,下表是测试项目“女生投实心球”的成绩评分标准:
水平距离x/m5.65.45.25.04.84.64.4分值/分151413.513121110 如图5,某女生投实心球时,实心球在空中的高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系式y=-112x2+112x+53,按照上面的评分标准,她的测试成绩是( )
A.11分 B.12分 C.13分 D.13.5分
二、填空题(本大题10个小题,每小题3分,共30分)在每小题中,请将答案直接填在题后的横线上.
11.分解因式:x3-2x2+x=.
12.如图6,梯子的各条横档互相平行,若∠1=110°,则∠2的度数为.
图6 图713.如图7,P为菱形ABCD的对角线上一点,PE⊥AB于点E,PF⊥AD于点F,PF=6cm,则P点到AB的距离是cm.
14.如图8,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=6cm,D为AB的中点,则CD=cm.
图8 图915.如图9,某建筑物BC垂直于水平地面,在A点测得B点仰角为α=30°,AC=203米,则建筑物BC的高为米.
16.现要选用两种不同的正多边形地砖铺地板,若已选择了正四边形,可以再选择正n边形搭配,则n=(填写一种即可).
17.经过某十字路口的汽车,它可以继续直行,也可以向左转或向右转,如果这三种可能性大小相同,那么某辆汽车经过这个十字路口,恰好向左转的概率是.
18.如图10,现要对三角形ABC空地进行绿化,中位线MN把△ABC空地分割成两部分,其中△AMN部分种植红花,四边形BCNM部分种植绿草,已知红花的种植面积是20m2,则绿草的种植面积为m2.
图10 图1119.两个反比例函数y=kx和y=1x在第一象限内的图象如图11所示,点P在y=kx的图象上,PC⊥x轴于点C,交y=1x的图象于点A,PD⊥y轴于点D,交y=1x的图象于点B,当点P在y=kx的图象上运动时,以下结论:①△ODB与△OCA的面积相等;②四边形PAOB的面积不会发生变化;③PA与PB始终相等;④当点A是PC的中点时,点B一定是PD的中点.其中一定正确的是(把你认为正确结论的序号都填上,少填或错填不给分).图12
20.善于归纳和总结的小明发现,“数形结合”是初中数学的基本思想方法,被广泛地应用在数学学习和解决问题中.用数量关系描述图形性质和用图形描述数量关系,往往会有新的发现.小明在研究垂直于直径的弦的性质过程中(如图12,直径AB⊥弦CD于E),设AE=x,BE=y,他用含x,y的式子表示图中的弦CD的长度,通过比较运动的弦CD和与之垂直的直径AB的大小关系,发现了一个关于正数x,y的不等式,你也能发现这个不等式吗?写出你发现的不等式.
三、解答题(本大题6个小题,每小题10分,共60分)解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤.
21.(1)计算:(318+1550-412)÷32.
(2)解二元一次方程组:3x+5y=8,
2x-y=1.
22.如图13所示,在网格中建立了平面直角坐标系,每个小正方形的边长均为1个单位长度,将四边形ABCD绕坐标原点O按顺时针方向旋转180°后得到四边形A1B1C1D1.
(1)直接写出D1点的坐标;
(2)将四边形A1B1C1D1平移,得到四边形A2B2C2D2,若D2(4,5),画出平移后的图形.(友情提示:画图时请不要涂错阴影的位置哦!)
图13 图1423.在解题目:“当x=2008时,求代数式x2-4x+4x2-4÷x2-2xx+2-1x+1的值”时,聪聪认为x只要任取一个使原式有意义的值代入都有相同结果.你认为他说的有理吗?请说明理由.
24.如图14,B,C,E是同一直线上的三个点,四边形ABCD与四边形CEFG都是正方形.连结BG,DE.
(1)观察猜想BG与DE之间的大小关系,并证明你的结论;
(2)图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形?若存在,请指出,并说出旋转过程;若不存在,请说明理由.
25.随着我国人民生活水平和质量的提高,百岁寿星日益增多.某市是中国的长寿之乡,截至2008年2月底,该市五个地区的100周岁以上的老人分布如下表(单位:人):
一二三四五男性2130384220女性3950737037 根据表格中的数据得到条形统计如图15所示:
图15解答下列问题:
(1)请把统计图中地区二和地区四中缺失的数据、图形补充完整;
(2)填空:该市五个地区100周岁以上的老人中,男性的极差是人,女性人数的中位数是人;
(3)预计2015年该市100周岁以上的老人将比2008年2月的统计数增加100人,请你估算2015年地区一增加100周岁以上的男性老人多少人?
图1626.如图16,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,D是AC的中点,⊙O经过A、B、D三点,CB的延长线交⊙O于点E.
(1)求证AE=CE;
(2)EF与⊙O相切于点E,交AC的延长线于点F,若CD=CF=2cm,求⊙O的直径;
(3)若CFCD=n(n>0),求sin∠CAB.
四、解答题(本大题2个小题,每小题10分,共20分)解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤.
27.如图17,在6×8的网格纸中,每个小正方形的边长都为1,动点P、Q分别从点F、A出发向右移动,点P的运动速度为每秒2个单位,点Q的运动速度为每秒1个单位,当点P运动到点E时,两个点都停止运动.
(1)请你在答题卡所附的6×8的方格纸中,画出1秒时的线段PQ;
(2)如图18,在动点P、Q运动的过程中,当为何值时,9PQ2=4BF2?
(3)在动点P、Q运动的过程中,△PQB能否成为等腰三角形?若能,请求出相应的时间t;若不能,请说明理由.
图17 图1828.如图19,直角坐标系中,已知两点O(0,0),A(2,0),点B在第一象限且△OAB为正三角形,△OAB的外接圆交y轴的正半轴于点C,过点C的圆的切线交x轴于点D.
图19(1)求B,C两点的坐标;
(2)求直线CD的函数解析式;
(3)设E,F分别是线段AB,AD上的两个动点,且EF平分四边形ABCD的周长.试探究:△AEF的最大面积?
备用题:
1.在一次春游中,小明、小亮等同学随家人一同到江郎山旅游,下面是购买门票时,小明与他爸爸的对话(如图20所示).
图20(1)小明他们一共去了几个成人?几个学生?
(2)请你帮助小明算一算,用哪种方式买票更省钱?并说明理由.
2.元旦前布置教室,为了节约开支,同学们自己动手,利用彩色纸条粘成一环套一环的彩纸链,细心的小敏测量了部分彩纸链的长度,她得到的数据如下表:
纸环数x/个1234…彩纸链长度y/cm20355065… (1)把上表中x、y的各组对应值作为点的坐标,在平面直角坐标系中描出相应的点,猜想y与x的函数关系,并求出函数关系式;
(2)教室天花板对角线长为12m,现需沿天花板对角线各拉一根彩纸链,则每根彩纸链至少用多少个纸环?
3.为了响应全民健身运动,小王每天早晨都进行晨跑运动. 已知小王从A地跑到B地的速度为a米/分,时间为n分钟,称为第一阶段;又从B地跑到C地的速度为(a+20)米/分,时间为30分钟,称为第二阶段;假设这两个阶段的速度都是均匀的.
(1)当n=20,a=60时,试求小王从A地到C地的平均速度;
(2)设甲从A地到C地的平均速度为x米/分,第一阶段的速度+第二阶段的速度2=y,有人探究“当n符合什么条件时,x=y?”,于时取“n=40、50、60”,再求出相应的平均速度,然后断言:“无论n取任何正整数,x与y一定不相等.”你认为这种说法对吗?若不对,请求出不符合这一说法的n的值.”
参考答案:
一、1.C;2.D;3.B;4.B;5.D;6.C;7.C;8.D;9.D;10.C.
二、11.x(x-1)2;12.70°;13.6;14.3;15.20;16.答案不惟一.如,3或8;17.13;18.60;19.①②④;20.答案不惟一.如,x+y≥2xy,或x2+y2≥2xy,或xy≤x+y2等.
三、21.(1)(318+1550-412)÷32=(92+2-22)÷42=82÷42=2.(2)x=1,
y=1.图21
22.(1)D1(3,-1).
(2)如图21.
23.聪聪说的有理.因为x2-4x+4x2-4÷x2-2xx+2-1x+1=(x-2)2(x+2)(x-2)×x+2x(x-2)-1x+1=1x-1x+1=1.所以只要使原式有意义,无论x取何值,原式的值都相同,为常数1.
24.(1)BG=DE.因为四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形,所以GC=CE,BC=CD,∠BCG=∠DCE=90°.所以△BCG≌△DCE.所以BG=DE.
(2)存在.△BCG和△DCE.△BCG绕点C顺时针方向旋转90°后与△DCE重合.
25.(1)如图22.
图22(2)22,50.(3)[21÷(21+30+38+42+20+39+50+73+70+37)]×100=5.预计地区一增加100周岁以上男性老人5人.
26.(1)连结DE,因为∠ABC=90°,所以∠ABE=90°,所以AE是⊙O直径,所以∠ADE=90°,所以DE⊥AC.又因为D是AC的中点,所以DE是AC的垂直平分线.所以AE=CE.
(2)在△ADE和△EFA中,因为∠ADE=∠AEF=90°,∠DAE=∠FAE,所以△ADE∽△EFA,所以AEAF=ADAE,所以AE6=2AE,所以AE=23cm.
(3)因为AE是⊙O直径,EF是⊙O的切线,所以∠ADE=∠AEF=90°,所以Rt△ADE∽Rt△EDF,所以ADED=DEDF.因为CFCD=n,AD=CD,所以CF=nCD,所以DF=(1+n)CD,所以DE=1+nCD.在Rt△CDE中,CE2=CD2+DE2=CD2+(1+nCD)2=(n+2)CD2,所以CE=n+2CD.因为 ∠CAB=∠DEC,所以sin∠CAB=sin∠DEC=CDCE=1n+2=n+2n+2.
27.(1)如图23所示.
图23 图24(2)如图24,作PT⊥AB于点T,在Rt△ABF中,AB=8,AF=6,所以BF2=AB2+AF2=100.
在Rt△PQT中,TP=6,QT=2t-t=t,所以PQ2=PT2+QT2=62+t2,当9PQ2=4BF2时,9(62+t2)=400,解得t=2193.所以当t=2193时,9PQ2=4BF2.
(3)依题意,得PE=8-2t,EB=6,在Rt△PEB中,由勾股定理,得PB2=PE2+EB2,所以PB2=(8-2t)2+62,又PQ2=62+t2,所以BQ2=(8-t)2.
①若PB=BQ,则PB2=BQ2,即(8-2t)2+62=(8-t)2,因为Δ<0,所以此方程无实数根.故PB=BQ是不可能的.
②若PB=PQ,则PB2=PQ2,即(8-2t)2+62=62+t2,解得t=8(因0 ③若BQ=PQ,则BQ2=PQ2,即(8-t)2=62+t2,解得t=74.综上,当t=83,或74秒时,△PQB是等腰三角形.
28.(1)因为A(2,0),所以OA=2.作BG⊥OA于G,因为△OAB为正三角形,所以OG=1,BG=3,即A(1,3).连结AC,因为∠AOC=90°,∠ACO=∠ABO=60°,所以OC=OAtan30°=233,所以C(0,233).
(2)因为∠AOC=90°,所以AC是圆的直径,又因为CD是圆的切线,所以CD⊥AC.所以∠OCD=30°,OD=OCtan30°=23,所以C(-23,0).设直线CD的函数解析式为y=kx+b(k≠0),则b=233,
0=-23k+b.解得k=3,
b=233.即直线CD的函数解析式为y=3x+233.
(3)因为AB=OA=2,OD=23,CD=2OD=43,BC=OC=233,所以四边形ABCD的周长6+233.设AE=t,△AEF的面积为S,则AF=3+33-t,S=12AF×AEsin60°=34t(3+33-t).因为S=34t(3+33-t)=34[-(t-9+36)2+73+32],所以当t=9+36时,Smax=7312+38.因为点E,F分别在线段AB,AD上,所以0≤t≤2,
0≤3+33-t≤2+23.解得1+33≤t≤2.因为t=9+36满足1+33≤t≤2,所以△AEF的最大面积为7312+38.
备用题答案:1.(1)设小明他们一共了x个成人,y个学生,则根据题意,得
x+y=11,
40x+12×40y=360.解得x=7,
y=4.
答:小明他们一共去了7个成人,4个学生.
(2)若按14人购买团体票,则共需14×40×60%=336(元),360-336=24(元).所以购买团体票可省24元.
2.(1)图略.由图象猜想到y与x之间满足一次函数,设经过(1,20),(2,35)两点的直线为y=kx+b(k≠0),则可得k+b=20,
2k+b=35.解得:k=15,
b=5.所以y=15x+5.
(2)12m=1200cm,根据题意得15x+5≥1200,解得:x≥7923.
答:每根彩纸链至少要用80个纸环.
3.(1)小王从A地到C地的平均速度:20×60+30×8020+30=72(米/分).
(2)此说法不正确.理由如下:尽管当n=40、50、60时,x≠y.但可令x=y,得:na+30(a+20)n+30=a+a+202,即(n+30)a+600n+30=a+10化简得:600n+30=10(*),解得:n=30.经检验,n=30是方程(*)的根.所以当n=30时,x=y,即不符合这一说法的n的值为30.
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1.-7的相反数是( )
A.-7 B.-17 C.7 D.17
2.下列运算中:①3x+2y=5xy;②5x-3·x2=5x-6;③4x2y-6xy2=-2xy2;④4x4y÷(-2xy)=-2x3.正确的个数是( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
3.3月22日是世界水日.重庆市水利局有关负责人介绍,重庆市是一座缺水的城市:全市一年人均水资源量只有1650m3,因此,全市水资源约为51150000000m3.全市水资源总量可用科学记数法表示为( )
A.5115×107m3 B.5.115×1010m3
C.0.5115×1012m3D.51.15×109m3
图14.已知:如图1所示,在等腰△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,垂足为D,AD=3,BD=4,则图中阴影部分的面积是( )
A.3个平方单位
B.6个平方单位
C.9个平方单位
D.12个平方单位
5.如图2是某几何体的三视图及相关数据,则判断正确的是( )
A.a>cB.b>c
C.4a2+b2=c2D.a2+b2=c2
图26.在平面直角坐标系中,有五个点A(1,6)、B(-3,-2)、C(2,-3)、D(5,65)、E(72,127),其中有四个点在同一反比例函数图象上,则不在这个反比例函数图象上的点是( )
A.点E B.点D C.点C D.点B
7.如图3,将一正方形纸片按下列顺序折叠,然后将最后折叠的纸片沿虚线剪去上方的小三角形.将纸片展开,得到的图形是( )
图38.已知三角形三个顶点坐标,求三角形面积通常有以下三种方法:方法1:直接法.计算三角形一边的长,并求出该边上的高.方法2:补形法.将三角形面积转化成若干个特殊的四边形和三角形的面积的和与差.方法3:分割法.选择一条恰当的直线,将三角形分割成两个便于计算面积的三角形.现给出三点坐标:A(-1,4),B(2,2),C(4,-1),请你选择一种方法计算△ABC的面积,你的答案是S△ABC=( )
A.-12 B.12 C.-52 D.52
9.如图4,一块含有30°角的直角三角板ABC,在水平桌面上绕点C接顺时针方向旋转到A′B′C′的位置.若BC=15cm,那么顶点A从开始到结束所经过的路径长为( )
图4 图5A.10πcm B.103πcm
C.15πcmD.20πcm
10.2008年重庆市把高中招生考试的体育成绩增加为50分,下表是测试项目“女生投实心球”的成绩评分标准:
水平距离x/m5.65.45.25.04.84.64.4分值/分151413.513121110 如图5,某女生投实心球时,实心球在空中的高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系式y=-112x2+112x+53,按照上面的评分标准,她的测试成绩是( )
A.11分 B.12分 C.13分 D.13.5分
二、填空题(本大题10个小题,每小题3分,共30分)在每小题中,请将答案直接填在题后的横线上.
11.分解因式:x3-2x2+x=.
12.如图6,梯子的各条横档互相平行,若∠1=110°,则∠2的度数为.
图6 图713.如图7,P为菱形ABCD的对角线上一点,PE⊥AB于点E,PF⊥AD于点F,PF=6cm,则P点到AB的距离是cm.
14.如图8,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=6cm,D为AB的中点,则CD=cm.
图8 图915.如图9,某建筑物BC垂直于水平地面,在A点测得B点仰角为α=30°,AC=203米,则建筑物BC的高为米.
16.现要选用两种不同的正多边形地砖铺地板,若已选择了正四边形,可以再选择正n边形搭配,则n=(填写一种即可).
17.经过某十字路口的汽车,它可以继续直行,也可以向左转或向右转,如果这三种可能性大小相同,那么某辆汽车经过这个十字路口,恰好向左转的概率是.
18.如图10,现要对三角形ABC空地进行绿化,中位线MN把△ABC空地分割成两部分,其中△AMN部分种植红花,四边形BCNM部分种植绿草,已知红花的种植面积是20m2,则绿草的种植面积为m2.
图10 图1119.两个反比例函数y=kx和y=1x在第一象限内的图象如图11所示,点P在y=kx的图象上,PC⊥x轴于点C,交y=1x的图象于点A,PD⊥y轴于点D,交y=1x的图象于点B,当点P在y=kx的图象上运动时,以下结论:①△ODB与△OCA的面积相等;②四边形PAOB的面积不会发生变化;③PA与PB始终相等;④当点A是PC的中点时,点B一定是PD的中点.其中一定正确的是(把你认为正确结论的序号都填上,少填或错填不给分).图12
20.善于归纳和总结的小明发现,“数形结合”是初中数学的基本思想方法,被广泛地应用在数学学习和解决问题中.用数量关系描述图形性质和用图形描述数量关系,往往会有新的发现.小明在研究垂直于直径的弦的性质过程中(如图12,直径AB⊥弦CD于E),设AE=x,BE=y,他用含x,y的式子表示图中的弦CD的长度,通过比较运动的弦CD和与之垂直的直径AB的大小关系,发现了一个关于正数x,y的不等式,你也能发现这个不等式吗?写出你发现的不等式.
三、解答题(本大题6个小题,每小题10分,共60分)解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤.
21.(1)计算:(318+1550-412)÷32.
(2)解二元一次方程组:3x+5y=8,
2x-y=1.
22.如图13所示,在网格中建立了平面直角坐标系,每个小正方形的边长均为1个单位长度,将四边形ABCD绕坐标原点O按顺时针方向旋转180°后得到四边形A1B1C1D1.
(1)直接写出D1点的坐标;
(2)将四边形A1B1C1D1平移,得到四边形A2B2C2D2,若D2(4,5),画出平移后的图形.(友情提示:画图时请不要涂错阴影的位置哦!)
图13 图1423.在解题目:“当x=2008时,求代数式x2-4x+4x2-4÷x2-2xx+2-1x+1的值”时,聪聪认为x只要任取一个使原式有意义的值代入都有相同结果.你认为他说的有理吗?请说明理由.
24.如图14,B,C,E是同一直线上的三个点,四边形ABCD与四边形CEFG都是正方形.连结BG,DE.
(1)观察猜想BG与DE之间的大小关系,并证明你的结论;
(2)图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形?若存在,请指出,并说出旋转过程;若不存在,请说明理由.
25.随着我国人民生活水平和质量的提高,百岁寿星日益增多.某市是中国的长寿之乡,截至2008年2月底,该市五个地区的100周岁以上的老人分布如下表(单位:人):
一二三四五男性2130384220女性3950737037 根据表格中的数据得到条形统计如图15所示:
图15解答下列问题:
(1)请把统计图中地区二和地区四中缺失的数据、图形补充完整;
(2)填空:该市五个地区100周岁以上的老人中,男性的极差是人,女性人数的中位数是人;
(3)预计2015年该市100周岁以上的老人将比2008年2月的统计数增加100人,请你估算2015年地区一增加100周岁以上的男性老人多少人?
图1626.如图16,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,D是AC的中点,⊙O经过A、B、D三点,CB的延长线交⊙O于点E.
(1)求证AE=CE;
(2)EF与⊙O相切于点E,交AC的延长线于点F,若CD=CF=2cm,求⊙O的直径;
(3)若CFCD=n(n>0),求sin∠CAB.
四、解答题(本大题2个小题,每小题10分,共20分)解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤.
27.如图17,在6×8的网格纸中,每个小正方形的边长都为1,动点P、Q分别从点F、A出发向右移动,点P的运动速度为每秒2个单位,点Q的运动速度为每秒1个单位,当点P运动到点E时,两个点都停止运动.
(1)请你在答题卡所附的6×8的方格纸中,画出1秒时的线段PQ;
(2)如图18,在动点P、Q运动的过程中,当为何值时,9PQ2=4BF2?
(3)在动点P、Q运动的过程中,△PQB能否成为等腰三角形?若能,请求出相应的时间t;若不能,请说明理由.
图17 图1828.如图19,直角坐标系中,已知两点O(0,0),A(2,0),点B在第一象限且△OAB为正三角形,△OAB的外接圆交y轴的正半轴于点C,过点C的圆的切线交x轴于点D.
图19(1)求B,C两点的坐标;
(2)求直线CD的函数解析式;
(3)设E,F分别是线段AB,AD上的两个动点,且EF平分四边形ABCD的周长.试探究:△AEF的最大面积?
备用题:
1.在一次春游中,小明、小亮等同学随家人一同到江郎山旅游,下面是购买门票时,小明与他爸爸的对话(如图20所示).
图20(1)小明他们一共去了几个成人?几个学生?
(2)请你帮助小明算一算,用哪种方式买票更省钱?并说明理由.
2.元旦前布置教室,为了节约开支,同学们自己动手,利用彩色纸条粘成一环套一环的彩纸链,细心的小敏测量了部分彩纸链的长度,她得到的数据如下表:
纸环数x/个1234…彩纸链长度y/cm20355065… (1)把上表中x、y的各组对应值作为点的坐标,在平面直角坐标系中描出相应的点,猜想y与x的函数关系,并求出函数关系式;
(2)教室天花板对角线长为12m,现需沿天花板对角线各拉一根彩纸链,则每根彩纸链至少用多少个纸环?
3.为了响应全民健身运动,小王每天早晨都进行晨跑运动. 已知小王从A地跑到B地的速度为a米/分,时间为n分钟,称为第一阶段;又从B地跑到C地的速度为(a+20)米/分,时间为30分钟,称为第二阶段;假设这两个阶段的速度都是均匀的.
(1)当n=20,a=60时,试求小王从A地到C地的平均速度;
(2)设甲从A地到C地的平均速度为x米/分,第一阶段的速度+第二阶段的速度2=y,有人探究“当n符合什么条件时,x=y?”,于时取“n=40、50、60”,再求出相应的平均速度,然后断言:“无论n取任何正整数,x与y一定不相等.”你认为这种说法对吗?若不对,请求出不符合这一说法的n的值.”
参考答案:
一、1.C;2.D;3.B;4.B;5.D;6.C;7.C;8.D;9.D;10.C.
二、11.x(x-1)2;12.70°;13.6;14.3;15.20;16.答案不惟一.如,3或8;17.13;18.60;19.①②④;20.答案不惟一.如,x+y≥2xy,或x2+y2≥2xy,或xy≤x+y2等.
三、21.(1)(318+1550-412)÷32=(92+2-22)÷42=82÷42=2.(2)x=1,
y=1.图21
22.(1)D1(3,-1).
(2)如图21.
23.聪聪说的有理.因为x2-4x+4x2-4÷x2-2xx+2-1x+1=(x-2)2(x+2)(x-2)×x+2x(x-2)-1x+1=1x-1x+1=1.所以只要使原式有意义,无论x取何值,原式的值都相同,为常数1.
24.(1)BG=DE.因为四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形,所以GC=CE,BC=CD,∠BCG=∠DCE=90°.所以△BCG≌△DCE.所以BG=DE.
(2)存在.△BCG和△DCE.△BCG绕点C顺时针方向旋转90°后与△DCE重合.
25.(1)如图22.
图22(2)22,50.(3)[21÷(21+30+38+42+20+39+50+73+70+37)]×100=5.预计地区一增加100周岁以上男性老人5人.
26.(1)连结DE,因为∠ABC=90°,所以∠ABE=90°,所以AE是⊙O直径,所以∠ADE=90°,所以DE⊥AC.又因为D是AC的中点,所以DE是AC的垂直平分线.所以AE=CE.
(2)在△ADE和△EFA中,因为∠ADE=∠AEF=90°,∠DAE=∠FAE,所以△ADE∽△EFA,所以AEAF=ADAE,所以AE6=2AE,所以AE=23cm.
(3)因为AE是⊙O直径,EF是⊙O的切线,所以∠ADE=∠AEF=90°,所以Rt△ADE∽Rt△EDF,所以ADED=DEDF.因为CFCD=n,AD=CD,所以CF=nCD,所以DF=(1+n)CD,所以DE=1+nCD.在Rt△CDE中,CE2=CD2+DE2=CD2+(1+nCD)2=(n+2)CD2,所以CE=n+2CD.因为 ∠CAB=∠DEC,所以sin∠CAB=sin∠DEC=CDCE=1n+2=n+2n+2.
27.(1)如图23所示.
图23 图24(2)如图24,作PT⊥AB于点T,在Rt△ABF中,AB=8,AF=6,所以BF2=AB2+AF2=100.
在Rt△PQT中,TP=6,QT=2t-t=t,所以PQ2=PT2+QT2=62+t2,当9PQ2=4BF2时,9(62+t2)=400,解得t=2193.所以当t=2193时,9PQ2=4BF2.
(3)依题意,得PE=8-2t,EB=6,在Rt△PEB中,由勾股定理,得PB2=PE2+EB2,所以PB2=(8-2t)2+62,又PQ2=62+t2,所以BQ2=(8-t)2.
①若PB=BQ,则PB2=BQ2,即(8-2t)2+62=(8-t)2,因为Δ<0,所以此方程无实数根.故PB=BQ是不可能的.
②若PB=PQ,则PB2=PQ2,即(8-2t)2+62=62+t2,解得t=8(因0
28.(1)因为A(2,0),所以OA=2.作BG⊥OA于G,因为△OAB为正三角形,所以OG=1,BG=3,即A(1,3).连结AC,因为∠AOC=90°,∠ACO=∠ABO=60°,所以OC=OAtan30°=233,所以C(0,233).
(2)因为∠AOC=90°,所以AC是圆的直径,又因为CD是圆的切线,所以CD⊥AC.所以∠OCD=30°,OD=OCtan30°=23,所以C(-23,0).设直线CD的函数解析式为y=kx+b(k≠0),则b=233,
0=-23k+b.解得k=3,
b=233.即直线CD的函数解析式为y=3x+233.
(3)因为AB=OA=2,OD=23,CD=2OD=43,BC=OC=233,所以四边形ABCD的周长6+233.设AE=t,△AEF的面积为S,则AF=3+33-t,S=12AF×AEsin60°=34t(3+33-t).因为S=34t(3+33-t)=34[-(t-9+36)2+73+32],所以当t=9+36时,Smax=7312+38.因为点E,F分别在线段AB,AD上,所以0≤t≤2,
0≤3+33-t≤2+23.解得1+33≤t≤2.因为t=9+36满足1+33≤t≤2,所以△AEF的最大面积为7312+38.
备用题答案:1.(1)设小明他们一共了x个成人,y个学生,则根据题意,得
x+y=11,
40x+12×40y=360.解得x=7,
y=4.
答:小明他们一共去了7个成人,4个学生.
(2)若按14人购买团体票,则共需14×40×60%=336(元),360-336=24(元).所以购买团体票可省24元.
2.(1)图略.由图象猜想到y与x之间满足一次函数,设经过(1,20),(2,35)两点的直线为y=kx+b(k≠0),则可得k+b=20,
2k+b=35.解得:k=15,
b=5.所以y=15x+5.
(2)12m=1200cm,根据题意得15x+5≥1200,解得:x≥7923.
答:每根彩纸链至少要用80个纸环.
3.(1)小王从A地到C地的平均速度:20×60+30×8020+30=72(米/分).
(2)此说法不正确.理由如下:尽管当n=40、50、60时,x≠y.但可令x=y,得:na+30(a+20)n+30=a+a+202,即(n+30)a+600n+30=a+10化简得:600n+30=10(*),解得:n=30.经检验,n=30是方程(*)的根.所以当n=30时,x=y,即不符合这一说法的n的值为30.
“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”