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[摘 要] 假定桩身位移为三次幂函数，基于传统有限杆单元法，结合倾斜偏心荷载下单桩受力微分方程确定的桩身弯矩、剪力与桩身水平位移关系，导得了计入 P-Δ效应，具有统一形式的杆单元刚度矩阵，由此得出成层地基中倾斜偏心荷载、桩自重、水平分布荷载、竖向分布荷载和竖向分散集中荷载综合作用下考虑桩身倾斜影响基桩内力位移分析的有限杆单元法。结合某具体实例，对基桩内力及位移进行了计算分析。结果表明：有限杆单元方法用于复杂荷载下基桩计算分析是有效的，具有应用价值，并得出结论：桩身自重对桩基受力性能无显著影响。
[关键词]桩基础；倾斜偏心荷载；有限杆单元；P—Δ效应
Study on applying finite pole element method to analysis of piles under complex
loads
CAIFeng
(College of Civil Engineering, Hunan University, Changsha, Hunan 410082, China)
Abstract: The horizontal displacement of pile is assumed to be in the form of longitudinally cubic power function , improved pole element equation with consideration of P-Δ effect was derived from the traditional finite element method incorporating the moment/horizontal-displacement relationship and shear/horizontal -displacement relationship inferred from differential equation of piles under inclined and eccentric loads. And then the pole element method was presented to calculate displacement and stress of piles under inclined and eccentric loads, moments, weight of piles, horizontal and vertical distributed loads, scattering vertical forces and soil -pile friction considering the effect generated by slight inclination of piles.
The accuracy of the method is demonstrated through its application in a real project.
Case study was done for displacement and stress calculation of piles under under complex loads. Finally conclusions were drawn as follows: (i) the improved finite pole element method was proved to be an effective method for pile analysis under complex loads; (ii) there would not be great difference between the calculated results of displacement and stress of piles with weight of piles.
Key words: pile foundation; eccentric and inclined loads; finite pole element method; P-Δ effect
中图分类号：S969.1文献标识码：A文章编号：2095-2104（2013）
工程实际中的桩基单纯承受竖向或横向荷载的情况很少，往往同时承受上部结构传递的竖向荷载及水平荷载的共同作用或倾斜偏心荷载作用，如桥梁的桩基受橫向车辆的制动力产生的水平力、竖向车辆荷载及桥梁自重作用等。由于倾斜荷载作用下桩基的荷载传递过程和破坏机理比单一竖向荷载或水平荷载作用时要复杂得多，工程中往往采用简化的计算方法，即将桩顶竖向力和水平力分开计算，再根据小变形叠加原理计算桩身的内力和位移，并引入偏心矩增大系数近似考虑P—△效应。当横向荷载较大且且土质较软时，这种应力叠加的方法难以准确评价倾斜偏心荷载作用下桩身的内力和位移。因此，当桩顶横向荷载及桩身横向挠曲变形较大时应考虑轴、横向荷载间的非线性影响。
20世纪70 年代横山幸满给出了地基系数为常数时单层地基中倾斜荷载作用下单桩内力及位移的解析解，并指出应力叠加原理在某些情况下采用是不适用的[1]。而后王用中、张河水利用势能原理导得了倾斜荷载下文克尔地基模型中弹性地基梁的单元刚度矩阵，将有限元方法应用到倾斜荷载下桩基计算分析[2]。文献[3]在 m 法基础上导得单层地基中倾斜荷载下单桩内力位移计算的幂级数解；
文献[4]在(mz+C)假定下对成层地基中倾斜偏心荷载下给出的幂级数解。文献[5]提出改进的有限单元法，将其用于成层地基中倾斜荷载下单桩的计算分析。此外
20世纪50年代以来 Mererhof等对倾斜偏心荷载下基桩的受力特性进行了大量试验研究，深入探讨了倾斜荷载下基桩承载性能，提出了倾斜偏心荷载下单桩承载力计算的半经验公式[6―11]。
1 有限杆单元方法
有限杆单元法是适应使用计算机而发展起来的用于杆件结构的数值分析方法，把复杂的结构视为有限个单元（杆件）的集合，各单元在彼此结点处连接而构成整体。先将结构分解成有限个单元，即对结构进行离散化，再对单元进行分析，建立单元杆端力与杆端位移之间的关系。再根据变形协调条件、静力平衡条件使离散化的结构恢复为原结构，从而形成结构刚度方程，据此不难求解结构的结点位移和单元杆端力。
传统有限杆单元方法假定杆单元为弹性体，且为小变形构件，忽略轴力对剪力弯矩的影响，不考虑剪切变形时的单元单刚方程为：
(1)
式中参数意义详见相关结构力学书籍。由式（1）可见，杆单元刚度方程中轴力和剪力弯矩相互独立，轴力对剪力弯矩没有影响，不能考虑P—△效应，当地基土质较差、地面以上桩自由长度较大时，该方法计算的位移可达 30%～50%的误差，内力误差达 10%以上。因此，传统有限杆单元法难以适用于倾斜偏心荷载下基桩的准确分析。
1.1 改进有限杆单元
在有限杆单元分析中很重要的一步就是建立联系节点力列阵和节点位移列阵的刚度方程。为了计入P—△效应，考虑轴力对剪力弯矩的影响，拟对杆单元的单元刚度矩阵进行修正。设单元受力如图1所示，单元水平位移函数为：
(2)
则 (3)
式中
(4)
结合材料力学中弯矩和剪力表达式可求得计入P—△效应后的杆单元刚度方程。倾斜偏心荷载下桩身弯矩水平位移关系为：
(5)
倾斜偏心荷载下桩身剪力、弯矩、轴力与水平位移关系[11]为
(6)
由式（5）和式（6）可得单元节点荷载和节结位移关系为：
（9）
式中：为单元体ij的平均轴力，图 1 杆单元受力分析示意图
可近似等于i端轴力与j端轴力的平均值。 Fig. 1 Analysis of pole elements1．
故计入P—△效应后的杆单元刚度方程为
（10）
1.2 改进有限杆单元法计算步骤
因改进有限杆单元方法考虑了P—△ 效应，进行基桩计算分析时与传统有限杆单元方法步骤存在一定差别，其具体计算步骤如下：
(1) 离散结构，划分单元，假定桩侧摩阻力分布模式，计算单元所受竖向荷载、水平荷载，形成荷载列阵。
(2) 以单元刚度方程式(10)按后处理法不考虑任何约束建立基桩计算分析的初始刚度矩阵。
(3) 由考虑地基土约束修正初始整体刚度矩阵可得尚未考虑桩顶、桩端边界条件的整体刚度方程为
（11）
或（12）
式中为位移列阵，为地基系数修正矩阵。
(4) 由计入桩顶、桩端边界条件修正式（12）可得基桩计算分析的整体刚度方程。解此整体刚度方程即得倾斜偏心荷载下桩身位移列阵。
(5) 计算桩身内力，将单元节点位移代入式（1）而非式(10)，则可计算桩身水平力和弯矩。
(6) 桩身水平位移乘地基系数得桩侧土压力； 绘制桩身内力及位移图和桩侧土压力图，并计算最大剪力、弯矩和桩侧土压力。
2 算例分析
某桥梁基桩自由长度 30.212m[2―3]，其中 l1=8.012m，d1=1.8m，E1=1.9333×104MPa；l2=22.2m，d2=2.2m， E2=1.8×104
MPa ；冲刷线以下桩长 l3=42.8m，d3=2.2m，E3=1.8×104MPa；地基比例系数m=10000 kN/m4，竖向荷载 Fz=9102.2kN，水平荷载Fx=165kN。按本文改进有限杆单元法计算结果和文献[3―3]结果比较如表 1 所示。
图 3 桥梁基桩受力图
Fig. 3 Mechanical analysis of bridge piles
表 1 不同方法计算结果比较
Tab1e1 Comparison of solutions by different methods
注： xp、Φp、x0、Φ0、Mmax、Qmax、σsmax分别为桩顶水平位移、转角、
地面处桩身水平位移、转角、桩身最大弯矩、最大剪力和最大桩侧土压力；
由表1可知,本文方法计算得到的桩顶位移、地面处位移、最大弯矩及最大剪力较文献[2,3]结果大致相等,表明本文方法基本正确。当计入轴力但不考虑桩体自重时，由于P—△ 效应，桩顶位移增大31.9%，地面处桩身位移增大26.9%；若同时考虑桩身自重和轴力的影响，桩顶位移增大36.0%，地面处桩身位移增大31.0%。考虑桩身自重，桩顶位移增加3.11%，桩顶位移增加3.20%，最大弯矩增加3.40%，最大剪力增加2.85%。可见桩身自重对桩内力位移的影响不大，可忽略不计。当基桩的自由长度及轴向荷载较大时，对桩内力位移的影响较大，不可忽略。
3结论
（1）本文基于传统有限杆单元法推导了具有统一形式、计入P—△效应的杆单元刚度方程，编制的有限杆单元基桩计算程序，可进行成层地基中倾斜偏心荷载、桩自重、水平分布荷载、竖向分布荷载、和竖向分散集中荷载综合作用下单桩计算分析，并通过实例进行了验证，可用于倾斜荷载桩的内力及位移分析。
（2）桩的自重对倾斜荷载下桩身内力与位移影响不大，可以忽略不计。
（3）当基桩的在地面以上的自由长度较长时，较大的轴向荷载对倾斜荷载下基桩内力位移的影响较大，在设计时必须予以考虑。
参 考 文 献
［1］ 横山幸满(日). 桩结构物的计算方法和计算实例[M]. 唐业清, 吴庆荪, 译. 北京: 人民交通出版社, 1981:167―169.
［2］ 王用中,张河水.弹性地基梁的压弯计算及其应用[J].桥梁建设,1985,14(4):30–52.(WANG Yong-zhong, ZHANG He-shui. The calculation of press bending and application for
beam on elastic foundation[J]. Bridge Construction, 1985,14(4):30–52.)
［3］ 赵明华.轴向和横向荷载同时作用下的桩的计算[J].湖南大学学报 ,1987,14(2):68–81.(ZHAO Ming-hua. Thecalculation of piles under simultaneous axial and lateral loading[J].
Journal of Hunan University, 1987,14(2):68–81.)
［4］李微哲, 赵明华, 单远铭, 杨明辉. 倾斜偏心荷载下基桩内力位移分析[J]. 中南公路工程, 2005, 30(3): 53―57.（Li Weizhe, Zhao Minghua, Shan Yuanming, YangMinghui. Analysis of single pile under eccentric and inclined loading [J]. General South Highway Engineering,2005, 30(3): 53―56.）
［5］ 趙明华, 李微哲, 单远铭. , 杨明辉.成层地基中倾斜荷载桩改进有限杆单元方法研究［J］. 工程力学, 2008, 25 (5)：79- 84(ZHAO Ming-hua,LI Wei-zhe, CAO Wen-gui. Behavior analysis of piles in layered clays under eccentric and inclined loads by improved finite pole element method[J]. Engineering Mechanics 2008,25(5): 79- 84.)
［6］ Meyerhof G G, Ranjan G. The bearing capacity of rigid piles under inclined loads in sand in Vertical piles［J］. Canadian Geotechnical Journal,1972，9 (4)：440- 446
［7］ Meyerhof G G, Mathur S K, Valsnagkar A J. The bearing capacity of rigid piles and pile groups under inclined loads in layered sand ［J］. Canadian Geotechnical Journal, 1981,18 (4)：514- 519
［8］ Meyerhof G G, Yalcin A S. Pile capacity for eccentric inclined load in clay［J］. Canadian Geotechnical Journal，1984,21 (3)：389- 396
［9］ Sastry V V R N, Meyerhof G G. Lateral soil pressures and displacements of rigid piles in homogeneous soils under eccentric and inclined loads [J]. Canadian Geotechnical Journal, 1986, 23(3): 281―286.
［10］ Sastry V V R N, Meyerhof G G, Koummoto T. Behavior of rigid piles in layered soils under eccentric and inclined load［J］. Canadian Geotechnical Journal,1986，23 (4)：451-457
［11］ Sastry V V R N, Meyerhof G G. Behavior of flexible piles under inclined loads [J]. Canadian Geotechnical Journal, 1990, 27(1): 19―28.
[关键词]桩基础；倾斜偏心荷载；有限杆单元；P—Δ效应
Study on applying finite pole element method to analysis of piles under complex
loads
CAIFeng
(College of Civil Engineering, Hunan University, Changsha, Hunan 410082, China)
Abstract: The horizontal displacement of pile is assumed to be in the form of longitudinally cubic power function , improved pole element equation with consideration of P-Δ effect was derived from the traditional finite element method incorporating the moment/horizontal-displacement relationship and shear/horizontal -displacement relationship inferred from differential equation of piles under inclined and eccentric loads. And then the pole element method was presented to calculate displacement and stress of piles under inclined and eccentric loads, moments, weight of piles, horizontal and vertical distributed loads, scattering vertical forces and soil -pile friction considering the effect generated by slight inclination of piles.
The accuracy of the method is demonstrated through its application in a real project.
Case study was done for displacement and stress calculation of piles under under complex loads. Finally conclusions were drawn as follows: (i) the improved finite pole element method was proved to be an effective method for pile analysis under complex loads; (ii) there would not be great difference between the calculated results of displacement and stress of piles with weight of piles.
Key words: pile foundation; eccentric and inclined loads; finite pole element method; P-Δ effect
中图分类号：S969.1文献标识码：A文章编号：2095-2104（2013）
工程实际中的桩基单纯承受竖向或横向荷载的情况很少，往往同时承受上部结构传递的竖向荷载及水平荷载的共同作用或倾斜偏心荷载作用，如桥梁的桩基受橫向车辆的制动力产生的水平力、竖向车辆荷载及桥梁自重作用等。由于倾斜荷载作用下桩基的荷载传递过程和破坏机理比单一竖向荷载或水平荷载作用时要复杂得多，工程中往往采用简化的计算方法，即将桩顶竖向力和水平力分开计算，再根据小变形叠加原理计算桩身的内力和位移，并引入偏心矩增大系数近似考虑P—△效应。当横向荷载较大且且土质较软时，这种应力叠加的方法难以准确评价倾斜偏心荷载作用下桩身的内力和位移。因此，当桩顶横向荷载及桩身横向挠曲变形较大时应考虑轴、横向荷载间的非线性影响。
20世纪70 年代横山幸满给出了地基系数为常数时单层地基中倾斜荷载作用下单桩内力及位移的解析解，并指出应力叠加原理在某些情况下采用是不适用的[1]。而后王用中、张河水利用势能原理导得了倾斜荷载下文克尔地基模型中弹性地基梁的单元刚度矩阵，将有限元方法应用到倾斜荷载下桩基计算分析[2]。文献[3]在 m 法基础上导得单层地基中倾斜荷载下单桩内力位移计算的幂级数解；
文献[4]在(mz+C)假定下对成层地基中倾斜偏心荷载下给出的幂级数解。文献[5]提出改进的有限单元法，将其用于成层地基中倾斜荷载下单桩的计算分析。此外
20世纪50年代以来 Mererhof等对倾斜偏心荷载下基桩的受力特性进行了大量试验研究，深入探讨了倾斜荷载下基桩承载性能，提出了倾斜偏心荷载下单桩承载力计算的半经验公式[6―11]。
1 有限杆单元方法
有限杆单元法是适应使用计算机而发展起来的用于杆件结构的数值分析方法，把复杂的结构视为有限个单元（杆件）的集合，各单元在彼此结点处连接而构成整体。先将结构分解成有限个单元，即对结构进行离散化，再对单元进行分析，建立单元杆端力与杆端位移之间的关系。再根据变形协调条件、静力平衡条件使离散化的结构恢复为原结构，从而形成结构刚度方程，据此不难求解结构的结点位移和单元杆端力。
传统有限杆单元方法假定杆单元为弹性体，且为小变形构件，忽略轴力对剪力弯矩的影响，不考虑剪切变形时的单元单刚方程为：
(1)
式中参数意义详见相关结构力学书籍。由式（1）可见，杆单元刚度方程中轴力和剪力弯矩相互独立，轴力对剪力弯矩没有影响，不能考虑P—△效应，当地基土质较差、地面以上桩自由长度较大时，该方法计算的位移可达 30%～50%的误差，内力误差达 10%以上。因此，传统有限杆单元法难以适用于倾斜偏心荷载下基桩的准确分析。
1.1 改进有限杆单元
在有限杆单元分析中很重要的一步就是建立联系节点力列阵和节点位移列阵的刚度方程。为了计入P—△效应，考虑轴力对剪力弯矩的影响，拟对杆单元的单元刚度矩阵进行修正。设单元受力如图1所示，单元水平位移函数为：
(2)
则 (3)
式中
(4)
结合材料力学中弯矩和剪力表达式可求得计入P—△效应后的杆单元刚度方程。倾斜偏心荷载下桩身弯矩水平位移关系为：
(5)
倾斜偏心荷载下桩身剪力、弯矩、轴力与水平位移关系[11]为
(6)
由式（5）和式（6）可得单元节点荷载和节结位移关系为：
（9）
式中：为单元体ij的平均轴力，图 1 杆单元受力分析示意图
可近似等于i端轴力与j端轴力的平均值。 Fig. 1 Analysis of pole elements1．
故计入P—△效应后的杆单元刚度方程为
（10）
1.2 改进有限杆单元法计算步骤
因改进有限杆单元方法考虑了P—△ 效应，进行基桩计算分析时与传统有限杆单元方法步骤存在一定差别，其具体计算步骤如下：
(1) 离散结构，划分单元，假定桩侧摩阻力分布模式，计算单元所受竖向荷载、水平荷载，形成荷载列阵。
(2) 以单元刚度方程式(10)按后处理法不考虑任何约束建立基桩计算分析的初始刚度矩阵。
(3) 由考虑地基土约束修正初始整体刚度矩阵可得尚未考虑桩顶、桩端边界条件的整体刚度方程为
（11）
或（12）
式中为位移列阵，为地基系数修正矩阵。
(4) 由计入桩顶、桩端边界条件修正式（12）可得基桩计算分析的整体刚度方程。解此整体刚度方程即得倾斜偏心荷载下桩身位移列阵。
(5) 计算桩身内力，将单元节点位移代入式（1）而非式(10)，则可计算桩身水平力和弯矩。
(6) 桩身水平位移乘地基系数得桩侧土压力； 绘制桩身内力及位移图和桩侧土压力图，并计算最大剪力、弯矩和桩侧土压力。
2 算例分析
某桥梁基桩自由长度 30.212m[2―3]，其中 l1=8.012m，d1=1.8m，E1=1.9333×104MPa；l2=22.2m，d2=2.2m， E2=1.8×104
MPa ；冲刷线以下桩长 l3=42.8m，d3=2.2m，E3=1.8×104MPa；地基比例系数m=10000 kN/m4，竖向荷载 Fz=9102.2kN，水平荷载Fx=165kN。按本文改进有限杆单元法计算结果和文献[3―3]结果比较如表 1 所示。
图 3 桥梁基桩受力图
Fig. 3 Mechanical analysis of bridge piles
表 1 不同方法计算结果比较
Tab1e1 Comparison of solutions by different methods
注： xp、Φp、x0、Φ0、Mmax、Qmax、σsmax分别为桩顶水平位移、转角、
地面处桩身水平位移、转角、桩身最大弯矩、最大剪力和最大桩侧土压力；
由表1可知,本文方法计算得到的桩顶位移、地面处位移、最大弯矩及最大剪力较文献[2,3]结果大致相等,表明本文方法基本正确。当计入轴力但不考虑桩体自重时，由于P—△ 效应，桩顶位移增大31.9%，地面处桩身位移增大26.9%；若同时考虑桩身自重和轴力的影响，桩顶位移增大36.0%，地面处桩身位移增大31.0%。考虑桩身自重，桩顶位移增加3.11%，桩顶位移增加3.20%，最大弯矩增加3.40%，最大剪力增加2.85%。可见桩身自重对桩内力位移的影响不大，可忽略不计。当基桩的自由长度及轴向荷载较大时，对桩内力位移的影响较大，不可忽略。
3结论
（1）本文基于传统有限杆单元法推导了具有统一形式、计入P—△效应的杆单元刚度方程，编制的有限杆单元基桩计算程序，可进行成层地基中倾斜偏心荷载、桩自重、水平分布荷载、竖向分布荷载、和竖向分散集中荷载综合作用下单桩计算分析，并通过实例进行了验证，可用于倾斜荷载桩的内力及位移分析。
（2）桩的自重对倾斜荷载下桩身内力与位移影响不大，可以忽略不计。
（3）当基桩的在地面以上的自由长度较长时，较大的轴向荷载对倾斜荷载下基桩内力位移的影响较大，在设计时必须予以考虑。
参 考 文 献
［1］ 横山幸满(日). 桩结构物的计算方法和计算实例[M]. 唐业清, 吴庆荪, 译. 北京: 人民交通出版社, 1981:167―169.
［2］ 王用中,张河水.弹性地基梁的压弯计算及其应用[J].桥梁建设,1985,14(4):30–52.(WANG Yong-zhong, ZHANG He-shui. The calculation of press bending and application for
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［3］ 赵明华.轴向和横向荷载同时作用下的桩的计算[J].湖南大学学报 ,1987,14(2):68–81.(ZHAO Ming-hua. Thecalculation of piles under simultaneous axial and lateral loading[J].
Journal of Hunan University, 1987,14(2):68–81.)
［4］李微哲, 赵明华, 单远铭, 杨明辉. 倾斜偏心荷载下基桩内力位移分析[J]. 中南公路工程, 2005, 30(3): 53―57.（Li Weizhe, Zhao Minghua, Shan Yuanming, YangMinghui. Analysis of single pile under eccentric and inclined loading [J]. General South Highway Engineering,2005, 30(3): 53―56.）
［5］ 趙明华, 李微哲, 单远铭. , 杨明辉.成层地基中倾斜荷载桩改进有限杆单元方法研究［J］. 工程力学, 2008, 25 (5)：79- 84(ZHAO Ming-hua,LI Wei-zhe, CAO Wen-gui. Behavior analysis of piles in layered clays under eccentric and inclined loads by improved finite pole element method[J]. Engineering Mechanics 2008,25(5): 79- 84.)
［6］ Meyerhof G G, Ranjan G. The bearing capacity of rigid piles under inclined loads in sand in Vertical piles［J］. Canadian Geotechnical Journal,1972，9 (4)：440- 446
［7］ Meyerhof G G, Mathur S K, Valsnagkar A J. The bearing capacity of rigid piles and pile groups under inclined loads in layered sand ［J］. Canadian Geotechnical Journal, 1981,18 (4)：514- 519
［8］ Meyerhof G G, Yalcin A S. Pile capacity for eccentric inclined load in clay［J］. Canadian Geotechnical Journal，1984,21 (3)：389- 396
［9］ Sastry V V R N, Meyerhof G G. Lateral soil pressures and displacements of rigid piles in homogeneous soils under eccentric and inclined loads [J]. Canadian Geotechnical Journal, 1986, 23(3): 281―286.
［10］ Sastry V V R N, Meyerhof G G, Koummoto T. Behavior of rigid piles in layered soils under eccentric and inclined load［J］. Canadian Geotechnical Journal,1986，23 (4)：451-457
［11］ Sastry V V R N, Meyerhof G G. Behavior of flexible piles under inclined loads [J]. Canadian Geotechnical Journal, 1990, 27(1): 19―28.