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【摘 要】本文就一道质量监测试题学生的解答情况引起对教学过程的思考进行探究，提出当前很多教师在教学过程中容易忽略的一些问题，作一些反思和探讨，为以后的课堂教学提供参考。
【关键词】数学本质；教学设计；教师能力；课堂效果
【中图分类号】G633.7 【文献标识码】A
【文章编号】2095-3089（2019）05-0227-01
在高一的最后一次考试中，出了这样一道填空题：已知x>0，y>0且1x+9y=1。则x+y的最小值是_______。学生和我同时拿到试题，我心里很高兴，这是经典题型，上新课的时候训练过，期末复习课上也刚刚讲解过，数据有所修改而已，得分率该很高。学生看到该题时应该也信心满满。然而，令人想不到的是，考试结果出来，一个班几乎有一半以上的同学做错了。这怎么可能呢？明明很详详细细地讲过的题目啊？我困惑不已，同事也有同样的感觉。撇开学生自身的基础和考试状态不说，作为教师，是不是也存在教学问题呢？我重新思考了当时的教学设计和教学情境：
关于《基本不等式》的教学内容，我是这么设计的：三个课时。第一课时：基本不等式的概念及简单应用，主要结合教材的例题来讲基本不等式在求最值时的应用，并得出“积定和最小，和定积最大”的结论；第二课时：基本不等式在求最值时的应用，注意“一正二定三相等”的限制条件；掌握“拆拼凑”等技巧；第三课时：习题课，总结题型和方法。从内容上看，这样设计全面、合理；从习题选择来看，难度适中；从课堂气氛来看，学生互动情况也良好。但是，仔细回想，问题出在细节上：
首先，“讲得太多，却没有讲清楚。”第一课时中，基本不等式概念的提出，我按照教材上的三步曲：问题提出——基本不等式内容——不等式的证明，直接讲授，抱着一颗“我要把这节课任务完成”的心态，自顾自地把知识灌输给学生，他们听是听得懂，却没有进到脑子里去，俗话说：左耳进，右耳出。也就是说，根本没有引起他们对这知识太多的关注和思考。而我本身，也没有将基本不等式的本质理解清楚，或者说没有一个系统的认识，这也是大多数教师容易犯的错误：个别难的问题避开不讲，因而自己也不去思考其“难”点。事实上，教师本身如果把数学知识的本质思考透彻，再整合、组织教学内容，可以把“难”点简单化。比如这里，a+b≥2ab（a>0，b>0）的本质反映的是a+b与2ab的大小关系，要么相等，要么大于，其中当a=b时，a+b=2ab，而非此时a+b取得最小值，同时2ab取最大值。事实上，在a>0，b>0时，a+b与2ab的取值有无数对，在这无数对的对应值中，只有在a=b时，a+b才与2ab一样大，而a≠b时，a+b比2ab大，而不能认为当a=b时，a+b就取到了最小值为2ab。因此，在第一课时的引入时，我应该先提醒同学们：本节课要来学习一个很有用的不等式的结论，相当于一个定理，常用来求最值，内容独立，计算量不大，题型有限。以增强他们的信心，使他们把注意力集中起来。在给出基本不等式的结论之后，提问：到底这个基本不等式有什么用呢？让学生自己探究，讨论，引导他们得到结论：首先它可以用来反映两个量a、b的和会恒大于某个量2ab。其次，随着a、b的变化，恒大于的那个量2ab也在变化。当2ab是个常数时，不论a、b（a>0，b>0）取哪一组值，a+b≥一个常数。此时，a与b的和的最小值就是该常数。从而引出了下面具体的例子。
其次，除了讲太多，我忽略了学生的内心反应。第二课时中，我以这样三个小题来强调用基本不等式求最值的三个条件：一正二定三相等。判断正误：（1）已知x<0，求x+1x的最值。解：∵x+1x≥2x·1x=2 ∴原式取得最小值。（2）已知x≥12，求x2+1的最小值。解∵x2+1≥2x2=2x 当且仅当x2=1即x=1时，原式取得最小值，为2x=2。（3）已知x≥3，求x+4x的最值。解：∵x+4x≥2x·4x=4 ∴原式取得最小值4。题目简单，很好地揭示了基本不等式的限制条件。但如果我能这样来设计：让学生自己做，然后收集同学们正确及错误的答案展示，一起探讨得到结论。那么，仅仅这三个小题能让他们获益匪浅且印象深刻。而不是被我一步步牵着走，机械地做了重复的题，枯燥无味地结束一节课。
第三，在第三课时中，我总结了几种常见的考查题型，其中就包含了本文提到的这种题型。不妨以其为例。我讲了以下两种解法：1、由1x+9y=1，得x=yy-9。则x+y=yy-9+y=y-9+9y-9+y=10+9y-9+y-9≥16 ；2、∵1x+9y=1 ∴x+y=（x+y）（1x+9y）=1+9xy+yx+9≥16。在这里，我又犯了一个错误：就题讲题。缺乏总结和引导。而问题的根源在于我没有细心体会数学思想方法，或者说没有思考过如何将数学知识蕴含的数学思想方法挖掘出来。另外，跟大多教师一样，将数学思想和数学方法混为一谈。这里就不详细展开了。通过对此题的求解，我如果对数学思想方法渗透得自然到位，学生就能感受到数学思想方法无处不在，而不是虚幻的。我应该引导学生明确在求解过程中使用了“转化”的数学思想：“把两个变量转化为一个变量”，“把x+y等价转化为1+9xy+yx+9”。还可以“升华”一下：本题要求的是“和最小”，而条件没有“积定”啊？那么学生可思考：可否将条件进行等价转化出“积定”呢？那么，本题还可以这样做：由1x+9y=1，得（x-1）（y-9）=9 ∴x+y=x-1+y-9+10≥29+10=16。而涉及到的数学方法有：分离常数法，配凑法，巧用“1”整体代换法。还可以引发学生思考：这些方法在哪里还用到呢？实现知识的迁移和联系。
总的来说，在近段时间的教学过程中，我始终抱着“我今天要完成什么，知识点有几点，题型有几种”的课前准备状态去上课。虽不至于照本宣科，但整个教学过程是死板的，缺乏灵性，缺乏生动活泼。通过这次“教训”，我体会到以下几点：
第一，要引导学生切实感受到数学知识是自然的，富有灵性的，它是人类社会在长期实践中经过千锤百炼的精华和基础。使学生在课堂一开始就能产生“看个究竟”的冲动，集中注意力，自主地兴趣盎然地投入到数学学习中来。
第二，教师自身一定要抓住数学知识的本质，包括概念及其应用。试想，如果教师对某个问题的本质都模模糊糊，怎么可能引导学生的思维做到流畅自然呢？自己没底气，会避重就轻，长期累积下来，不仅教師自身的能力得不到发展，还会使学生形成惰性，使他们感到知识是“死”的，晦涩难懂，甚至害怕讨厌数学。又何谈使他们在遇到复杂问题时能保持清醒的思路以不变应万变呢？
第三，数学思想方法的领悟是一个潜移默化的过程，需要教师用心体会，在教与学的过程中引导学生不断积累，逐步神深化，直至最后形成一种内在的本质认识。数学方法是属于数学思想的，在处理问题时，先有“思想”，后有“方法”。适当的总结是必要的。
总之，不论是概念教学还是解题教学，必要的模式和套路可取。但教师必须“跳”出来，对数学的本质和核心思想、方法有清楚的理解和认识。学生才可以避免出现错误，成为数学问题的主宰者。
参考文献
[1]钱佩玲等.走进课堂-高中数学.高等教育出版社，2005年印.
[2]林长好等.《中学数学研究》，2013第三期.
【关键词】数学本质；教学设计；教师能力；课堂效果
【中图分类号】G633.7 【文献标识码】A
【文章编号】2095-3089（2019）05-0227-01
在高一的最后一次考试中，出了这样一道填空题：已知x>0，y>0且1x+9y=1。则x+y的最小值是_______。学生和我同时拿到试题，我心里很高兴，这是经典题型，上新课的时候训练过，期末复习课上也刚刚讲解过，数据有所修改而已，得分率该很高。学生看到该题时应该也信心满满。然而，令人想不到的是，考试结果出来，一个班几乎有一半以上的同学做错了。这怎么可能呢？明明很详详细细地讲过的题目啊？我困惑不已，同事也有同样的感觉。撇开学生自身的基础和考试状态不说，作为教师，是不是也存在教学问题呢？我重新思考了当时的教学设计和教学情境：
关于《基本不等式》的教学内容，我是这么设计的：三个课时。第一课时：基本不等式的概念及简单应用，主要结合教材的例题来讲基本不等式在求最值时的应用，并得出“积定和最小，和定积最大”的结论；第二课时：基本不等式在求最值时的应用，注意“一正二定三相等”的限制条件；掌握“拆拼凑”等技巧；第三课时：习题课，总结题型和方法。从内容上看，这样设计全面、合理；从习题选择来看，难度适中；从课堂气氛来看，学生互动情况也良好。但是，仔细回想，问题出在细节上：
首先，“讲得太多，却没有讲清楚。”第一课时中，基本不等式概念的提出，我按照教材上的三步曲：问题提出——基本不等式内容——不等式的证明，直接讲授，抱着一颗“我要把这节课任务完成”的心态，自顾自地把知识灌输给学生，他们听是听得懂，却没有进到脑子里去，俗话说：左耳进，右耳出。也就是说，根本没有引起他们对这知识太多的关注和思考。而我本身，也没有将基本不等式的本质理解清楚，或者说没有一个系统的认识，这也是大多数教师容易犯的错误：个别难的问题避开不讲，因而自己也不去思考其“难”点。事实上，教师本身如果把数学知识的本质思考透彻，再整合、组织教学内容，可以把“难”点简单化。比如这里，a+b≥2ab（a>0，b>0）的本质反映的是a+b与2ab的大小关系，要么相等，要么大于，其中当a=b时，a+b=2ab，而非此时a+b取得最小值，同时2ab取最大值。事实上，在a>0，b>0时，a+b与2ab的取值有无数对，在这无数对的对应值中，只有在a=b时，a+b才与2ab一样大，而a≠b时，a+b比2ab大，而不能认为当a=b时，a+b就取到了最小值为2ab。因此，在第一课时的引入时，我应该先提醒同学们：本节课要来学习一个很有用的不等式的结论，相当于一个定理，常用来求最值，内容独立，计算量不大，题型有限。以增强他们的信心，使他们把注意力集中起来。在给出基本不等式的结论之后，提问：到底这个基本不等式有什么用呢？让学生自己探究，讨论，引导他们得到结论：首先它可以用来反映两个量a、b的和会恒大于某个量2ab。其次，随着a、b的变化，恒大于的那个量2ab也在变化。当2ab是个常数时，不论a、b（a>0，b>0）取哪一组值，a+b≥一个常数。此时，a与b的和的最小值就是该常数。从而引出了下面具体的例子。
其次，除了讲太多，我忽略了学生的内心反应。第二课时中，我以这样三个小题来强调用基本不等式求最值的三个条件：一正二定三相等。判断正误：（1）已知x<0，求x+1x的最值。解：∵x+1x≥2x·1x=2 ∴原式取得最小值。（2）已知x≥12，求x2+1的最小值。解∵x2+1≥2x2=2x 当且仅当x2=1即x=1时，原式取得最小值，为2x=2。（3）已知x≥3，求x+4x的最值。解：∵x+4x≥2x·4x=4 ∴原式取得最小值4。题目简单，很好地揭示了基本不等式的限制条件。但如果我能这样来设计：让学生自己做，然后收集同学们正确及错误的答案展示，一起探讨得到结论。那么，仅仅这三个小题能让他们获益匪浅且印象深刻。而不是被我一步步牵着走，机械地做了重复的题，枯燥无味地结束一节课。
第三，在第三课时中，我总结了几种常见的考查题型，其中就包含了本文提到的这种题型。不妨以其为例。我讲了以下两种解法：1、由1x+9y=1，得x=yy-9。则x+y=yy-9+y=y-9+9y-9+y=10+9y-9+y-9≥16 ；2、∵1x+9y=1 ∴x+y=（x+y）（1x+9y）=1+9xy+yx+9≥16。在这里，我又犯了一个错误：就题讲题。缺乏总结和引导。而问题的根源在于我没有细心体会数学思想方法，或者说没有思考过如何将数学知识蕴含的数学思想方法挖掘出来。另外，跟大多教师一样，将数学思想和数学方法混为一谈。这里就不详细展开了。通过对此题的求解，我如果对数学思想方法渗透得自然到位，学生就能感受到数学思想方法无处不在，而不是虚幻的。我应该引导学生明确在求解过程中使用了“转化”的数学思想：“把两个变量转化为一个变量”，“把x+y等价转化为1+9xy+yx+9”。还可以“升华”一下：本题要求的是“和最小”，而条件没有“积定”啊？那么学生可思考：可否将条件进行等价转化出“积定”呢？那么，本题还可以这样做：由1x+9y=1，得（x-1）（y-9）=9 ∴x+y=x-1+y-9+10≥29+10=16。而涉及到的数学方法有：分离常数法，配凑法，巧用“1”整体代换法。还可以引发学生思考：这些方法在哪里还用到呢？实现知识的迁移和联系。
总的来说，在近段时间的教学过程中，我始终抱着“我今天要完成什么，知识点有几点，题型有几种”的课前准备状态去上课。虽不至于照本宣科，但整个教学过程是死板的，缺乏灵性，缺乏生动活泼。通过这次“教训”，我体会到以下几点：
第一，要引导学生切实感受到数学知识是自然的，富有灵性的，它是人类社会在长期实践中经过千锤百炼的精华和基础。使学生在课堂一开始就能产生“看个究竟”的冲动，集中注意力，自主地兴趣盎然地投入到数学学习中来。
第二，教师自身一定要抓住数学知识的本质，包括概念及其应用。试想，如果教师对某个问题的本质都模模糊糊，怎么可能引导学生的思维做到流畅自然呢？自己没底气，会避重就轻，长期累积下来，不仅教師自身的能力得不到发展，还会使学生形成惰性，使他们感到知识是“死”的，晦涩难懂，甚至害怕讨厌数学。又何谈使他们在遇到复杂问题时能保持清醒的思路以不变应万变呢？
第三，数学思想方法的领悟是一个潜移默化的过程，需要教师用心体会，在教与学的过程中引导学生不断积累，逐步神深化，直至最后形成一种内在的本质认识。数学方法是属于数学思想的，在处理问题时，先有“思想”，后有“方法”。适当的总结是必要的。
总之，不论是概念教学还是解题教学，必要的模式和套路可取。但教师必须“跳”出来，对数学的本质和核心思想、方法有清楚的理解和认识。学生才可以避免出现错误，成为数学问题的主宰者。
参考文献
[1]钱佩玲等.走进课堂-高中数学.高等教育出版社，2005年印.
[2]林长好等.《中学数学研究》，2013第三期.