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解题通常是在问题给定的环境里由题设推出结论，但有些数学问题，其给出的题设条件与要推出的结论相距甚远，直接推理时常不能顺利进行，此时，我们就不得不寻求某种中介工具，用以沟通条件与结论，而此中介工具往往隐含在这个数学问题的题设和结论中，这需要我们根据已学过的数学知识，转化为某种已熟知的数学模型，从而达到解题的目的，这就是所谓的构造法。
现行高中《数学》教材中，函数是其重要的内容，包括一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数及三角函数，性质包含函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等。因此，对一些数学问题，转换问题的视角，构造成函数问题，借助函数的相关性质，使一个比较复杂的数学问题变成一个简单的问题，从而获得数学解题的突破。
一、 构造一次函数
一次函数形式为f(x)=kx+b(k≠0)，k﹥0时，f(x)单调增，k＜0时f(x)为减函数，其图像为直线。
例1 设x、y、z∈(0，1)，求证：x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)＜1。
分析 观察试题，问题题设条件简单，而要推出复杂结论，似乎无从下手。我们不难发现，所有变量都是一次，且都在（0，1）范围内，因此，把其看成一个一次函数问题，其中一个变量为自变量，另两个视为参数。
证明 不妨设f(x)=x(1-y)+y(1-z)+fz(1-x)-1=(1-y-z)x+(y+z-yz-1)，且0＜x＜1。因为 f(0)=y+z-yz-1=-(y-1)(z-1)＜0， f(1)=(1-y-z)+(y+z-yz-1)=-yz＜0，所以对于x∈(0，1)都有 f(x)＜0，所以问题得证。
二、构造二次函数
二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴 x0= -■,△的正负意味着f(x)图像与x轴相交等情况，也含有f(x)＞0(≥0,＜0,≤0)成立或解集问题，图像为抛物线。
例2 设x1,x2,x3,y1,y2,y3∈R，且满足x12+x22+x32≤1。
求证：(x1y1+x2y2+x3y3-1)2≥(x12+x22+x32-1)(y12+y22+y33-1)。
分析：本题条件不多，变量很多，似乎难以下手，由条件难以得出结论，结论也难以反推出条件，但与二次函数 f(x)=ax2+bx+c中的 △ =b2-4ac相似。
即(x1y1+x2y2+x3y3-1)2-(x12+x22+x32-1)(y12+y22+y33-1)≥0 可推出为[2(x1y1+x2y2+x3y3-1)]2-4(x12+x22+x32-1)(y12+y22+y33-1) ≥0。
解：显然当x12+x22+x32-1=0时，原不等式成立；当 x12+x22+x32-1≠0时，令f(t)=(x12+x22+x32-1)t2-2(x1y1+x2y2+x3y3-1)t+(y12+y22+y33-1)=(x1t-y1)2+(x2t-y2)2+(x3t-y3)2-(t-1)2。
因为x12+x22+x32＜1,所以f(t)图像开口向下。
又因为f(1)≥0，所以图像必与x轴相交。
所以△=4(x1y1+x2y2+x3y3-1)2-4(x12+x22+x32-1)(y12+y22+y33-1)≥0，
即(x1y1+x2y2+x3y3-1)2≥(x12+x22+x32-1)(y12+y22+y33-1) 成立。
例3 设A、B、C是△ABC的内角，x,y,z∈R,求证：x2+y2+z2≥2xycosC+2yzcosA+2xzcosB。
分析：初看这个问题似乎是解三角形中余弦定理的应用，但很快发现x、y、z并非A、B、C的对边，这样一来，余弦定理不可用，因此无从下手，但我们仍可从中观察到x,y,z的次数最高为2，因此，我们可尝试以x为自变量，y，z为参数，从而构造二次函数。
解 令f(x)=x2-2(ycosC+zcosB)x+(y2+z2-2yzcosA)。
△=4(ycosC+zcosB)2-4(y2+z2-2yzcosA)=4{-y2sin2C-z2sin2B+2yzcosBcosC+2yzcosA}=-4{y2sin2C+2yzsinBsinC+z2sin2B}=-4(ysinC+zsinB)2＜0，所以f(x)≥0恒成立，即原不等式成立。
三、 构造其他函数
高中阶段不少函数是由基本初等函数经过有限次运算或复合而得到的，其性质可由有关定理而导出，可据其特征得出的函数性质解决问题。
例4 已知不等式(x2-20x+38)3+4(x2-20x+38)＜x3+4x,则x的范围为________。
分析：显然展开不等式右边是不可能的，可看出不等式左、右两边形式相似，把x2-20x+38看作一个整体就有形式a3+4a＜b3+4b,因此可令f(t)=t3+t。
解：令f(t)=t3+t，且f(t)是一个奇函数，单调递增 。
t1=x2-20x+38,t2=x。
因为f(t1)＜f(t2)?坩?圯 t1＜t2 即x2-20x+38＜x。解得2＜x＜9。
通过上述几个构造函数问题的举例，我们可以转换视角获得解题思路的突破，感受其奇异巧妙；我们还从中感受到数学的简洁性、统一性、协调性、对称性、概括性的“美感”，获得数学的“美的意识”。
◆(作者单位：江西省南昌县莲塘第二中学)
责任编辑：周瑜芽
现行高中《数学》教材中，函数是其重要的内容，包括一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数及三角函数，性质包含函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等。因此，对一些数学问题，转换问题的视角，构造成函数问题，借助函数的相关性质，使一个比较复杂的数学问题变成一个简单的问题，从而获得数学解题的突破。
一、 构造一次函数
一次函数形式为f(x)=kx+b(k≠0)，k﹥0时，f(x)单调增，k＜0时f(x)为减函数，其图像为直线。
例1 设x、y、z∈(0，1)，求证：x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)＜1。
分析 观察试题，问题题设条件简单，而要推出复杂结论，似乎无从下手。我们不难发现，所有变量都是一次，且都在（0，1）范围内，因此，把其看成一个一次函数问题，其中一个变量为自变量，另两个视为参数。
证明 不妨设f(x)=x(1-y)+y(1-z)+fz(1-x)-1=(1-y-z)x+(y+z-yz-1)，且0＜x＜1。因为 f(0)=y+z-yz-1=-(y-1)(z-1)＜0， f(1)=(1-y-z)+(y+z-yz-1)=-yz＜0，所以对于x∈(0，1)都有 f(x)＜0，所以问题得证。
二、构造二次函数
二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴 x0= -■,△的正负意味着f(x)图像与x轴相交等情况，也含有f(x)＞0(≥0,＜0,≤0)成立或解集问题，图像为抛物线。
例2 设x1,x2,x3,y1,y2,y3∈R，且满足x12+x22+x32≤1。
求证：(x1y1+x2y2+x3y3-1)2≥(x12+x22+x32-1)(y12+y22+y33-1)。
分析：本题条件不多，变量很多，似乎难以下手，由条件难以得出结论，结论也难以反推出条件，但与二次函数 f(x)=ax2+bx+c中的 △ =b2-4ac相似。
即(x1y1+x2y2+x3y3-1)2-(x12+x22+x32-1)(y12+y22+y33-1)≥0 可推出为[2(x1y1+x2y2+x3y3-1)]2-4(x12+x22+x32-1)(y12+y22+y33-1) ≥0。
解：显然当x12+x22+x32-1=0时，原不等式成立；当 x12+x22+x32-1≠0时，令f(t)=(x12+x22+x32-1)t2-2(x1y1+x2y2+x3y3-1)t+(y12+y22+y33-1)=(x1t-y1)2+(x2t-y2)2+(x3t-y3)2-(t-1)2。
因为x12+x22+x32＜1,所以f(t)图像开口向下。
又因为f(1)≥0，所以图像必与x轴相交。
所以△=4(x1y1+x2y2+x3y3-1)2-4(x12+x22+x32-1)(y12+y22+y33-1)≥0，
即(x1y1+x2y2+x3y3-1)2≥(x12+x22+x32-1)(y12+y22+y33-1) 成立。
例3 设A、B、C是△ABC的内角，x,y,z∈R,求证：x2+y2+z2≥2xycosC+2yzcosA+2xzcosB。
分析：初看这个问题似乎是解三角形中余弦定理的应用，但很快发现x、y、z并非A、B、C的对边，这样一来，余弦定理不可用，因此无从下手，但我们仍可从中观察到x,y,z的次数最高为2，因此，我们可尝试以x为自变量，y，z为参数，从而构造二次函数。
解 令f(x)=x2-2(ycosC+zcosB)x+(y2+z2-2yzcosA)。
△=4(ycosC+zcosB)2-4(y2+z2-2yzcosA)=4{-y2sin2C-z2sin2B+2yzcosBcosC+2yzcosA}=-4{y2sin2C+2yzsinBsinC+z2sin2B}=-4(ysinC+zsinB)2＜0，所以f(x)≥0恒成立，即原不等式成立。
三、 构造其他函数
高中阶段不少函数是由基本初等函数经过有限次运算或复合而得到的，其性质可由有关定理而导出，可据其特征得出的函数性质解决问题。
例4 已知不等式(x2-20x+38)3+4(x2-20x+38)＜x3+4x,则x的范围为________。
分析：显然展开不等式右边是不可能的，可看出不等式左、右两边形式相似，把x2-20x+38看作一个整体就有形式a3+4a＜b3+4b,因此可令f(t)=t3+t。
解：令f(t)=t3+t，且f(t)是一个奇函数，单调递增 。
t1=x2-20x+38,t2=x。
因为f(t1)＜f(t2)?坩?圯 t1＜t2 即x2-20x+38＜x。解得2＜x＜9。
通过上述几个构造函数问题的举例，我们可以转换视角获得解题思路的突破，感受其奇异巧妙；我们还从中感受到数学的简洁性、统一性、协调性、对称性、概括性的“美感”，获得数学的“美的意识”。
◆(作者单位：江西省南昌县莲塘第二中学)
责任编辑：周瑜芽