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知识是载体，方法是手段，思想是灵魂，数学思想方法是高考考查的重点.下面通过数学例题探求问题的求解策略，挖掘其中蕴涵的数学思想.
一、化归与转化思想
例1某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为45、35、25，且各轮问题能否正确回答互不影响.（1）求该选手被淘汰的概率；（2）该选手在选拔中回答问题的个数记为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望.
解析：（1）记“该选手能正确回答第轮的问题”的事件为Ai（i=1，2，3），则P（A1）=45，P（A2）=35，P（A3）=25.该选手被淘汰的概率P=1-P（A1A2A3）=1-P（A1）P（A2）P（A3）=1-45×35×25=101125.（2）ξ的可能值为1，2，3，P（ξ=1）=P（A1）=15，P（ξ=2）=P（A1A2）=P（A1）P（A2）=45×25=825，P（ξ=3）=1-P（ξ=1）-P（ξ=2）=1225.ξ的分布如下表.∴Eξ=1×15 2×825 3×1225=5725.
ξ123P158251225点评：本题通过正与反的转化，考虑其对立事件，实现问题求解，简化求解过程.两例题通过变换使之转化，从而使问题得到解决.这种解题策略就是化归与转化.
二、分类讨论思想
例2由1、2、3、4、5组成没有重复数字且1、2都不与5相邻的五位数的个数是（）.
A.36B.32C.28D.24
解析：根据5所在的位置，可将问题分成两类：第一类：如果5在两端，则1、2有三个位置可选，排法为2×A22A22=24种.第二类：如果5不在两端，则1、2只有两个位置可选，3×A22=12种.由分类加法计数原理有：12 24=36种.
点评：本题从特殊元素5出发，将符合条件的五位数分成两类，避免了分类讨论中的重复与遗漏.分析题意，找出分类讨论标准是分类讨论思想的关键.
三、函数与方程思想
例3已知（3x4 7x3 4x2-7x-5）5（3x4-7x2 4x2 7x-5）5=a0 a1x a2x2 … a40x40，试求a0 a2 a4 … a40的值.
解析：设f（x）=（3x4 7x3 4x2-7x-5）5（3x4-7x3 4x2 7x-5）5，则f（-x）=f（x），所以f（x）为偶函数，故a1=a3=a5=…=a39=0.又f（1）=（3 7 4-7-5）5（3-7 4 7-5）5=25·25=a0 a2 … a40，则a0 a2 a4 … a40=25·25=1024.
点评：本题通过对已知式子结构的观察，构造函数.两例题通过挖掘题目中的条件，构造函数与方程，巧妙运用函数与方程思想使问题轻松得解.
四、数形结合思想
例4如图，A、B、C、D为海上的四个小岛，要建三座桥，将这四个小岛连接起来，则不同的建桥方案共有（）.
A.8种B.12种C.16种D.20种
解析：根据题给条件构建三棱锥A-BCD，四个顶点表示小岛，六条棱表示连接任意两岛的桥梁.由题意知，只需求出从六条棱中任取三条不共面的棱的不同取法：从六条棱中任取三条棱的不同取法为C36种，任取三条共面棱的不同取法为4种，所以从六条棱中任取不共面的棱的不同取法为C36-4=16种.答案为C.
点评：运用数形结合思想，将问题与直观图形结合起来，使复杂问题简单化，达到事半功倍的效果.这种解法，在解选择题、填空题中更显其优越.
总之，在解决数学问题的过程中，学生要注意发现函数思想、转化思想、数形结合思想以及分类讨论思想等数学思想的应用.只有这样，才能培养学生思维的灵活性和深刻性，提高学生的综合解题能力.
一、化归与转化思想
例1某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为45、35、25，且各轮问题能否正确回答互不影响.（1）求该选手被淘汰的概率；（2）该选手在选拔中回答问题的个数记为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望.
解析：（1）记“该选手能正确回答第轮的问题”的事件为Ai（i=1，2，3），则P（A1）=45，P（A2）=35，P（A3）=25.该选手被淘汰的概率P=1-P（A1A2A3）=1-P（A1）P（A2）P（A3）=1-45×35×25=101125.（2）ξ的可能值为1，2，3，P（ξ=1）=P（A1）=15，P（ξ=2）=P（A1A2）=P（A1）P（A2）=45×25=825，P（ξ=3）=1-P（ξ=1）-P（ξ=2）=1225.ξ的分布如下表.∴Eξ=1×15 2×825 3×1225=5725.
ξ123P158251225点评：本题通过正与反的转化，考虑其对立事件，实现问题求解，简化求解过程.两例题通过变换使之转化，从而使问题得到解决.这种解题策略就是化归与转化.
二、分类讨论思想
例2由1、2、3、4、5组成没有重复数字且1、2都不与5相邻的五位数的个数是（）.
A.36B.32C.28D.24
解析：根据5所在的位置，可将问题分成两类：第一类：如果5在两端，则1、2有三个位置可选，排法为2×A22A22=24种.第二类：如果5不在两端，则1、2只有两个位置可选，3×A22=12种.由分类加法计数原理有：12 24=36种.
点评：本题从特殊元素5出发，将符合条件的五位数分成两类，避免了分类讨论中的重复与遗漏.分析题意，找出分类讨论标准是分类讨论思想的关键.
三、函数与方程思想
例3已知（3x4 7x3 4x2-7x-5）5（3x4-7x2 4x2 7x-5）5=a0 a1x a2x2 … a40x40，试求a0 a2 a4 … a40的值.
解析：设f（x）=（3x4 7x3 4x2-7x-5）5（3x4-7x3 4x2 7x-5）5，则f（-x）=f（x），所以f（x）为偶函数，故a1=a3=a5=…=a39=0.又f（1）=（3 7 4-7-5）5（3-7 4 7-5）5=25·25=a0 a2 … a40，则a0 a2 a4 … a40=25·25=1024.
点评：本题通过对已知式子结构的观察，构造函数.两例题通过挖掘题目中的条件，构造函数与方程，巧妙运用函数与方程思想使问题轻松得解.
四、数形结合思想
例4如图，A、B、C、D为海上的四个小岛，要建三座桥，将这四个小岛连接起来，则不同的建桥方案共有（）.
A.8种B.12种C.16种D.20种
解析：根据题给条件构建三棱锥A-BCD，四个顶点表示小岛，六条棱表示连接任意两岛的桥梁.由题意知，只需求出从六条棱中任取三条不共面的棱的不同取法：从六条棱中任取三条棱的不同取法为C36种，任取三条共面棱的不同取法为4种，所以从六条棱中任取不共面的棱的不同取法为C36-4=16种.答案为C.
点评：运用数形结合思想，将问题与直观图形结合起来，使复杂问题简单化，达到事半功倍的效果.这种解法，在解选择题、填空题中更显其优越.
总之，在解决数学问题的过程中，学生要注意发现函数思想、转化思想、数形结合思想以及分类讨论思想等数学思想的应用.只有这样，才能培养学生思维的灵活性和深刻性，提高学生的综合解题能力.