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一、研究目的
对我国两大手机通信公司——中国移动与中国联通而言，为了吸引消费者，都出台了各种各样的优惠套餐，但是，引发的问题也接踵而至：通讯费用已成为人们的日常开销费用，面对通讯服务商的多种通讯套餐，消费者在选择时总有一些困扰，如何在满足自身需求的前提下，选择最优的通讯套餐，已成为人们关注的热点问题之一。
二、问题提出
奶奶今年78岁了，身体硬朗，天天出去散步。去年，妈妈给奶奶买了手机，以方便及时联系。这样一来，我们全家4口人，实现了人手一部手机。但是，怎么合理地使用套餐，降低手机通讯费用，已成了一个新的问题。本文将基于此问题构建家庭通讯话费套餐最优选择模型。
三、采样与假设
通讯公司都是以赢利为目的，但是作为一个普通的消费者，我们应该根据自身的实际情况理性选择通讯套餐，以使通讯费用最小化，既节省开支，又节能环保。由中国通信公司的资费方案分析可知，由于消费者每月打电话的分钟数不定，即是否超出套餐部分本地主叫资费不定，所以话费与通话时间可以用函数表示为分段函数。
（一）采样
（二）套餐假设
假设一：全家全部用移动号，家庭入组；
假设二：全家全部用联通号，家庭入组；
假设三：全家每人每天的平均通话分钟数相等，家庭入组。
四、建模及模型分析
（一）移动套餐最优选择模型
假设全家全部用移动号，家庭入组，y表示总的话费（单位：元），x表示总的通话时间（单位：分），移动通话套餐的数学模型可表示如下：
（1）58元套餐：
y1=58（0≤x≤50），58+0.19×（x-50）（x>50）。
（2）88元套餐：
y2=88（0≤x≤200），88+0.19×（x-200）（x>200）。
（3）128元套餐：
y3=128（0≤x≤420），128+0.19×（x-420）（x>420）。
根据上面的移动套餐的分段函数模型，应用matlab软件进行画图，如图1所示。由于套餐中还包含有数据流量，所以在同样的通话时长的情形下，优先考虑数据流量较多的套餐，由图1分析可得：
当0≤x≤200，使用移动58元套餐最优，此套餐适合月平均通话在200分钟以内的消费者。
当200≤x≤420，使用移动88元套餐最优，此套餐适合月平均通话在200～420分钟左右的消费者。
当x≥420，使用移动128元套餐最优，此套餐适合月平均通话在420分钟以上的消费者。
（二）联通套餐最优选择模型
假设全家全部用联通号，家庭入组，y表示总的话费（单位：元），x表示总的通话时间（单位：分），联通公司通话套餐的数学模型可表示为：
（1）56元套餐：
y1=56（0≤x≤100），56+0.15×（x-100）（x>100）。
（2）76元套餐：
y2=76（0≤x≤200），76+0.15×（x-200）（x>200）。
（3）106元套餐：
y3=106（0≤x≤300），106+0.15×（x-300）（x>300）。
根据上面的移动套餐的分段函数模型，应用matlab软件进行画图，如图2所示。由于套餐中还包含有数据流量，所以在同样的通话时长的情形下，优先考虑数据流量较多的套餐，由图2分析可得：
当0≤x≤200，使用联通56元套餐最优，此套餐适合月平均通话在200分钟以内的消费者。
当200≤x≤300时，由56+0.15×（x-100）=76，得到x≈233，即当200≤x≤233时，使用联通56元套餐最优，此套餐适合月平均通话在200～233分钟左右的消费者。
由233≤x≤300，使用联通76元套餐最优，此套餐适合月平均通话在233～300分钟左右的消费者。
当x≥300时，由76+0.15×（x-200）=106，得到x=400，即当300≤x≤400时，使用联通76元套餐最优，此套餐适合月平均通话在300～400分钟左右的消费者。
由x≥400，使用联通106元套餐最优，此套餐适合月平均通话在400分钟以上的消费者。
（三）移动和联通套餐最优选择模型
假设全家每人每月的平均通话分钟数相等，家庭入组，y表示总的话费（单位：元），x表示总的通话时间（单位：分），则根据上述分析可得：
当每人每月的平均通话分钟数小于100时，选择联通56元套餐最优。
当通话分钟数大于100时，由
58+0.19×（x-50）=56+0.15×（x-100），
得x=150，即当每人每月的平均通话分钟数为150分钟时，使用移动58元套餐与联通56元套餐的资费相同。因此，当通话时间大于100小于150时，选择移动58元套餐最优；大于150小于200时，选择联通56元套餐最优。
当每人每月的平均通话分钟数大于200时，对移动套餐与联通套餐进行对比得：
88+0.19×（x-200）≥76+0.15×（x-200），200≤x<300；
88+0.19×（x-200）≥106+0.15×（x-300），300≤x<420；
128+0.19×（x-420）≥106+0.15×（x-300），x≥420。
故只要每人每月的平均通话分钟数为大于200的任何数，则移动套餐所需的资费都大于联通套餐，因此当全家每人每月的平均通话分钟数相等时，通讯套餐最优选择模型可表示为：
y=56（0≤x≤100），（联通通讯）58+0.19×（x-100）（100≤x≤150），（移动通讯）56+0.15×（x-100）（150≤x≤200），（联通通讯）88+0.19×（x-200）≥76+0.15×（x-200）（200≤x<300），（联通通讯）88+0.19×（x-200）≥106+0.15×（x-300）（300≤x<420），（联通通讯）128+0.19×（x-420）≥106+0.15×（x-300）（x≥420）。（联通通讯）
该模型为综合考虑移动和联通套餐，通过该模型可以为不同的消费者提供个性化的通信套餐选择方案，并且由模型可知，联通通信套餐占据大部分通信时间段，因此，每月通信资费波动较大的顾客，應选择联通通信套餐。
五、结论及意义
本文构建的模型基于最优化理论和实际假设建立，具有很高的科学性、操作性，依据这个模型可以提供多种不同的通信套餐选择方案，为消费者的抉择提供一定的参考。
作者单位：山西省芮城县芮城中学
对我国两大手机通信公司——中国移动与中国联通而言，为了吸引消费者，都出台了各种各样的优惠套餐，但是，引发的问题也接踵而至：通讯费用已成为人们的日常开销费用，面对通讯服务商的多种通讯套餐，消费者在选择时总有一些困扰，如何在满足自身需求的前提下，选择最优的通讯套餐，已成为人们关注的热点问题之一。
二、问题提出
奶奶今年78岁了，身体硬朗，天天出去散步。去年，妈妈给奶奶买了手机，以方便及时联系。这样一来，我们全家4口人，实现了人手一部手机。但是，怎么合理地使用套餐，降低手机通讯费用，已成了一个新的问题。本文将基于此问题构建家庭通讯话费套餐最优选择模型。
三、采样与假设
通讯公司都是以赢利为目的，但是作为一个普通的消费者，我们应该根据自身的实际情况理性选择通讯套餐，以使通讯费用最小化，既节省开支，又节能环保。由中国通信公司的资费方案分析可知，由于消费者每月打电话的分钟数不定，即是否超出套餐部分本地主叫资费不定，所以话费与通话时间可以用函数表示为分段函数。
（一）采样
（二）套餐假设
假设一：全家全部用移动号，家庭入组；
假设二：全家全部用联通号，家庭入组；
假设三：全家每人每天的平均通话分钟数相等，家庭入组。
四、建模及模型分析
（一）移动套餐最优选择模型
假设全家全部用移动号，家庭入组，y表示总的话费（单位：元），x表示总的通话时间（单位：分），移动通话套餐的数学模型可表示如下：
（1）58元套餐：
y1=58（0≤x≤50），58+0.19×（x-50）（x>50）。
（2）88元套餐：
y2=88（0≤x≤200），88+0.19×（x-200）（x>200）。
（3）128元套餐：
y3=128（0≤x≤420），128+0.19×（x-420）（x>420）。
根据上面的移动套餐的分段函数模型，应用matlab软件进行画图，如图1所示。由于套餐中还包含有数据流量，所以在同样的通话时长的情形下，优先考虑数据流量较多的套餐，由图1分析可得：
当0≤x≤200，使用移动58元套餐最优，此套餐适合月平均通话在200分钟以内的消费者。
当200≤x≤420，使用移动88元套餐最优，此套餐适合月平均通话在200～420分钟左右的消费者。
当x≥420，使用移动128元套餐最优，此套餐适合月平均通话在420分钟以上的消费者。
（二）联通套餐最优选择模型
假设全家全部用联通号，家庭入组，y表示总的话费（单位：元），x表示总的通话时间（单位：分），联通公司通话套餐的数学模型可表示为：
（1）56元套餐：
y1=56（0≤x≤100），56+0.15×（x-100）（x>100）。
（2）76元套餐：
y2=76（0≤x≤200），76+0.15×（x-200）（x>200）。
（3）106元套餐：
y3=106（0≤x≤300），106+0.15×（x-300）（x>300）。
根据上面的移动套餐的分段函数模型，应用matlab软件进行画图，如图2所示。由于套餐中还包含有数据流量，所以在同样的通话时长的情形下，优先考虑数据流量较多的套餐，由图2分析可得：
当0≤x≤200，使用联通56元套餐最优，此套餐适合月平均通话在200分钟以内的消费者。
当200≤x≤300时，由56+0.15×（x-100）=76，得到x≈233，即当200≤x≤233时，使用联通56元套餐最优，此套餐适合月平均通话在200～233分钟左右的消费者。
由233≤x≤300，使用联通76元套餐最优，此套餐适合月平均通话在233～300分钟左右的消费者。
当x≥300时，由76+0.15×（x-200）=106，得到x=400，即当300≤x≤400时，使用联通76元套餐最优，此套餐适合月平均通话在300～400分钟左右的消费者。
由x≥400，使用联通106元套餐最优，此套餐适合月平均通话在400分钟以上的消费者。
（三）移动和联通套餐最优选择模型
假设全家每人每月的平均通话分钟数相等，家庭入组，y表示总的话费（单位：元），x表示总的通话时间（单位：分），则根据上述分析可得：
当每人每月的平均通话分钟数小于100时，选择联通56元套餐最优。
当通话分钟数大于100时，由
58+0.19×（x-50）=56+0.15×（x-100），
得x=150，即当每人每月的平均通话分钟数为150分钟时，使用移动58元套餐与联通56元套餐的资费相同。因此，当通话时间大于100小于150时，选择移动58元套餐最优；大于150小于200时，选择联通56元套餐最优。
当每人每月的平均通话分钟数大于200时，对移动套餐与联通套餐进行对比得：
88+0.19×（x-200）≥76+0.15×（x-200），200≤x<300；
88+0.19×（x-200）≥106+0.15×（x-300），300≤x<420；
128+0.19×（x-420）≥106+0.15×（x-300），x≥420。
故只要每人每月的平均通话分钟数为大于200的任何数，则移动套餐所需的资费都大于联通套餐，因此当全家每人每月的平均通话分钟数相等时，通讯套餐最优选择模型可表示为：
y=56（0≤x≤100），（联通通讯）58+0.19×（x-100）（100≤x≤150），（移动通讯）56+0.15×（x-100）（150≤x≤200），（联通通讯）88+0.19×（x-200）≥76+0.15×（x-200）（200≤x<300），（联通通讯）88+0.19×（x-200）≥106+0.15×（x-300）（300≤x<420），（联通通讯）128+0.19×（x-420）≥106+0.15×（x-300）（x≥420）。（联通通讯）
该模型为综合考虑移动和联通套餐，通过该模型可以为不同的消费者提供个性化的通信套餐选择方案，并且由模型可知，联通通信套餐占据大部分通信时间段，因此，每月通信资费波动较大的顾客，應选择联通通信套餐。
五、结论及意义
本文构建的模型基于最优化理论和实际假设建立，具有很高的科学性、操作性，依据这个模型可以提供多种不同的通信套餐选择方案，为消费者的抉择提供一定的参考。
作者单位：山西省芮城县芮城中学