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美国著名数学家、教育家乔治·波利亚说过:掌握数学就是意味着善于解题.确实,数学教师在日常的教学中都离不开解题,解题是数学教师进行数学活动的基本形式和主要内容,也是数学教师的一个兴奋中心.但是在现实中,有很多教师对于解题没有一个有价值的程序,在解出问题后也不会进一步地深入思考,为了解题而解题,这样犹如“进入宝山而空手而归”,虽然解了很多题目,但自己的解题能力水平还是不高,导致在日常的解题教学中不能做到“会当凌绝顶,一览众山小”的效果,让学生也停留在就题论题、反复做题的不良循环中,让学生看不到问题后面的本质.
其实,波利亚在《怎样解题》中提出了一张解题表,该解题表有四个步骤,具体如下:
步骤具体操作
第一步:弄清问题
你必须弄清问题.未知数是什么?已知数据是什么?条件是什么?满足条件是否可能?或者它是否不充分?或者是多余的?或者是矛盾的?
画张图,引入适当的符号.把条件的各个部分分开,你能否把它们写下来?
第二步:拟定计划
你以前见过它吗?你是否见过相同的问题而形式稍有不同?你是否知道与此有关的问题?你是否知道一个可能用得上的定理?
看着未知数,试想出一个具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题.
这里有一个与你现在的问题有关,且早已解决的问题.
你能不能利用它?你能利用它的結果吗?你能利用它的方法吗?为了能利用它,你是否应该引入某些辅助元素?
你能不能重新叙述这个问题?你能不能用同样的方法重新叙述它?回到定义去.
如果你不能解决所提出的问题,可先解决一个与此有关的问题.你能不能想出一个更容易着手的有关问题?一个更普遍的问题?一个更特殊的问题?一个类比的问题?你能否解决这个问题的一部分?仅仅保持条件的一部分而舍去其余部分,这样对未知数能确定到什么程度?它会怎样变化?你能不能从已知数据导出某些有用的东西?你能不能想出适于确定未知数的其他数据?如果需要的话,你能不能改变未知数或数据,或者两者都改变,以使新未知数和新数据彼此更接近?
你是否利用了所有的已知数据?你是否利用了整个条件?你是否考虑了包含在问题中的所有必要的概念?
第三步:实现计划实现你的求解计划,检验每一步骤.
你能否清楚地看出这一步骤是正确的?你能否证明这一步骤是正确的?
第四步:回顾
你能否检验这个论证?你能否用别的方法导出这个结果?你能不能一下子看出来?
你能不能把这结果或方法用于其他的问题?
波利亚说:“只要应用得当,如果你向自己提出表中的这些问题与建议,他们可以帮助解决你的问题;而如果你向你的学生提出同样的问题与建议,你就可以帮助解决他们的问题.”在此,可以达到两个相关的目的:第一,帮助学生解决手头问题;第二,培养学生将来能够独立解题的能力,从而发展学生数学建模的素养.
其实,波利亚在《怎样解题》中提出了一张解题表,该解题表有四个步骤,具体如下:
步骤具体操作
第一步:弄清问题
你必须弄清问题.未知数是什么?已知数据是什么?条件是什么?满足条件是否可能?或者它是否不充分?或者是多余的?或者是矛盾的?
画张图,引入适当的符号.把条件的各个部分分开,你能否把它们写下来?
第二步:拟定计划
你以前见过它吗?你是否见过相同的问题而形式稍有不同?你是否知道与此有关的问题?你是否知道一个可能用得上的定理?
看着未知数,试想出一个具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题.
这里有一个与你现在的问题有关,且早已解决的问题.
你能不能利用它?你能利用它的結果吗?你能利用它的方法吗?为了能利用它,你是否应该引入某些辅助元素?
你能不能重新叙述这个问题?你能不能用同样的方法重新叙述它?回到定义去.
如果你不能解决所提出的问题,可先解决一个与此有关的问题.你能不能想出一个更容易着手的有关问题?一个更普遍的问题?一个更特殊的问题?一个类比的问题?你能否解决这个问题的一部分?仅仅保持条件的一部分而舍去其余部分,这样对未知数能确定到什么程度?它会怎样变化?你能不能从已知数据导出某些有用的东西?你能不能想出适于确定未知数的其他数据?如果需要的话,你能不能改变未知数或数据,或者两者都改变,以使新未知数和新数据彼此更接近?
你是否利用了所有的已知数据?你是否利用了整个条件?你是否考虑了包含在问题中的所有必要的概念?
第三步:实现计划实现你的求解计划,检验每一步骤.
你能否清楚地看出这一步骤是正确的?你能否证明这一步骤是正确的?
第四步:回顾
你能否检验这个论证?你能否用别的方法导出这个结果?你能不能一下子看出来?
你能不能把这结果或方法用于其他的问题?
波利亚说:“只要应用得当,如果你向自己提出表中的这些问题与建议,他们可以帮助解决你的问题;而如果你向你的学生提出同样的问题与建议,你就可以帮助解决他们的问题.”在此,可以达到两个相关的目的:第一,帮助学生解决手头问题;第二,培养学生将来能够独立解题的能力,从而发展学生数学建模的素养.