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一、 从一个故事说起
历史上曾经有一个著名的例子，抛掷两枚均匀硬币，观察正面和反面出现的情况. 法国数学家达朗贝尔（D’Alembert，Jean Le Rond，1717-1783）认为总共有3种可能情形，即（正，正），（反，反），（一正一反）. 由此，他得出结论，P（一正一反），而有人就提出反对意见，认为一正一反包含先正后反和先反后正，P（一正一反）. 聪明的小读者一定想知道，谁的结论正确呢？问题的关键在于对等可能性的正确理解！请读者慢慢往下看.
二、 你理解等可能性吗？
说到等可能性，同学们一定觉得没有什么新奇，很平常，似乎现在课本出现的习题都理应属于“等可能性”类型，甚至认为“等可能性”自然成立.
等可能性：一个试验所有可能的结果有限个（无限个），每次只出现其中的某个结果，而且每个结果出现的机会都一样，那么称这个试验的结果具有等可能性. 等可能性包含两层含义：（1） 所发生的结果为有限个（无限个），每次试验有且只有其中一个结果出现；（2） 每个结果出现的机会均等. 下面举例说明.
【举例1】抛硬币（质地均匀）出现正面朝上和反面朝上的机会均等，是等可能事件. 一般在重大比赛中（如世界杯足球赛），主裁会通过抛硬币的方式让双方队长选择攻方、守方场地，简单公平.
【举例2】摸彩球（质地均匀）各种颜色的彩球出现的机会均等，是等可能的. 在中国体彩摇奖的时候，各种数字的彩球出现的机会是一样的，这样开奖的形式是公平的.
亲爱的小读者，不要以为我们遇到的事件都是等可能的，生活和学习中，有好多结果是不具有等可能性的.
【举例A】在一定条件下，种植一粒油菜籽观察它是否发芽，这个试验有两结果：A=“发芽”；B=“不发芽”，由于发芽的因素比较复杂，A和B的发生机会一般不均等，所以它们是不具有等可能性的.
【举例B】抛掷一个图钉，这个试验有两结果：C=“钉尖着地”，D=“钉帽着地”，由于图钉质量分布不均匀，出现这两个事件往往也不是等可能的. 小读者可以自己试验一下.
【举例C】在一个不透明的袋子中放1个红球和2个白球，从中任意摸出一个球，E=“摸出的是红球”，F=“摸出的是白球”，则E和F发生的可能性是不相等的，显然摸出白球的可能性要大.
【思考】同学们，在上述摸球游戏中，把三个球标号为红1号，白2号，白3号，则事件G=“摸到1号”，H=“摸到2号”，I=“摸到3号”，这三个事件的发生却又是等可能的！不等可能性在一定条件下可转化为等可能性.
现在再来解决本文开始的问题. 抛两枚硬币确实只有三种情形，即正正、反反、一正一反，但这给出的3种情形不是等可能的. 第3种结果（一正一反）是由两种结果产生的，即可以是第一次抛出正面、第二次抛出反面，或是第一次抛出反面、第二次抛出正面，实际是4种情形：（正，正），（反，反），（正，反），（反，正），而这4种情形是等可能的. 故P（一正一反）.
三、 等可能条件下的概率含义及计算
同学们，初中阶段我们遇到的概率题基本上是等可能条件下的，这种类型也叫古典概型（古典概型的最主要的特征之一是事件结果出现的等可能性）. 如果一个试验有n个等可能的结果，当其中的m个结果之一出现，事件A发生，那么事件A发生的概率为，其中，m表示A事件发生可能出现的结果数，n表示一次实验所有等可能出现的结果数.
问题1 （2013·江苏常州）一只不透明的箱子里共有3个球，其中2个白球，1个红球，它们除颜色外均相同.
（1） 从箱子中随机摸出一个球是白球的概率是多少？
（2） 从箱子中随机摸出一个球，记录下颜色后不将它放回箱子，搅匀后再摸出一个球，求两次摸出的球都是白球的概率，并画出树状图.
【分析】（1） 袋子中共有3个球，抓到每个球是等可能的. A=“出现白色”，A发生的可能结果有2种（共2个白球），一次实验所有可能的结果是3种，故P（摸出一个球是白色）；（2） 第一次摸球，虽然颜色只有2种（非红即白），但抓到红球和抓到白球不是等可能的，在这种情况下，要画出树状图，一般做法是把白球标号为白1和白2，这样三个球地位对等，也就是说，抓到红球、抓到白1、抓到白2，这三个事件是等可能的.
解：（1） ∵共有3个球，其中2个白球，
∴随机摸出一个球是白球的概率为；
（2） 画树状图如下（图1）：
B=“两次出现白球”，B出现的可能结果2种（即白1、白2；白2、白1），一次实验总共可能的结果有6种，故P（两次摸出的球都是白球）.
【拓展延伸】解答完上述问题，爱动脑的小聪和小明一致认为，课堂上老师讲的树状图，从一个结点出发的“树枝”所对应的事件是等可能的，当然很好理解. 但小聪想每次出现的球非红即白，如果画出如图2的树状图来，显然与等可能性相违背. 主要原因是出现红、白的结果不是等可能的，但若画出粗细不均的“树枝”，以体现红、白的可能性大小，不就是等可能的了吗？（小聪画出了图3）小聪并解释第一次摸，“出现白球的可能性”和“出现红球的可能性”，这两个事件是等可能的. 同理第二次摸，也是如此. 小明沉思了好久，认为小聪言之有理，并很快列出算式：P（两次摸出的球都是白球）. 聪明的小读者，你能理解小聪的想法吗？
问题2 一只蚂蚁在如图4所示的树上觅食，假如蚂蚁在每个岔口都会随机选择一条路径，它获得食物的概率是多少？
【错解回放】多数同学画出如图5的树状图，蚂蚁共有7种不同的路径，其中C4，B6两种走法能获得食物，故P（蚂蚁获得食物）.
读到这里，同学们知道，这一结论是错误的！
【分析】显然，蚂蚁到达各树梢末端的可能性不等！如图4，从第二层D、C、B开始向下，事件发生的结果数依次是，D下有3种，C下有2种，B下有2种，数目不等，故这些事件不是等可能的. 对概率的计算，同学们往往忽视“一次实验中，各种结果发生的可能性相等”这一重要条件.
【解决办法】请小读者思考下面问题：①蚂蚁爬到树枝AD上，它能得到食物吗？②若增减D的树枝数，蚂蚁得到食物的概率是否相等？③你能把蚂蚁到达各树梢末端的可能性化为相同吗？由于蚂蚁爬到树枝AD上，无论D点有几个分支，都得不到食物，所以增减D点树枝数，蚂蚁得到食物的概率相等. 现在有办法了，只要删减D树一根，变成两枝（图6），这样蚂蚁到各树梢的可能性就相等了. C4，B6两种得到食物，一次实验共有6种结果，故P（蚂蚁获得食物）. 读到这里，小聪又想到了上面特殊的树状图（图7）（粗细不均的树枝），列出下列算式，P（蚂蚁得到食物）.
等可能性是一种理想状态，是一种假设. 目前同学们接触到的概率题大多数是等可能事件的概率题，随着进一步的学习，同学们会在学习和生活中遇到很多非等可能性事件的概率问题. 望同学们善待“等可能性”这一特殊的朋友.
请小读者用心做下面的练习.
1. 下列说法正确吗？为什么？
（1） 某篮球运动员投篮一次，因为只有两种可能的结果，不是“投中”就是“未投中”，故P（投中）=P（未投中）=.
（2） 袋子中装有黄豆、绿豆、豌豆3种豆子，随手拿出一颗恰好是豌豆的概率是.
2. 抛两枚普通的正六面体骰子，A=“点数之积为偶数”，B=“点数之积为奇数”，则点数之积为偶数的概率大还是点数之积为奇数的概率大？
历史上曾经有一个著名的例子，抛掷两枚均匀硬币，观察正面和反面出现的情况. 法国数学家达朗贝尔（D’Alembert，Jean Le Rond，1717-1783）认为总共有3种可能情形，即（正，正），（反，反），（一正一反）. 由此，他得出结论，P（一正一反），而有人就提出反对意见，认为一正一反包含先正后反和先反后正，P（一正一反）. 聪明的小读者一定想知道，谁的结论正确呢？问题的关键在于对等可能性的正确理解！请读者慢慢往下看.
二、 你理解等可能性吗？
说到等可能性，同学们一定觉得没有什么新奇，很平常，似乎现在课本出现的习题都理应属于“等可能性”类型，甚至认为“等可能性”自然成立.
等可能性：一个试验所有可能的结果有限个（无限个），每次只出现其中的某个结果，而且每个结果出现的机会都一样，那么称这个试验的结果具有等可能性. 等可能性包含两层含义：（1） 所发生的结果为有限个（无限个），每次试验有且只有其中一个结果出现；（2） 每个结果出现的机会均等. 下面举例说明.
【举例1】抛硬币（质地均匀）出现正面朝上和反面朝上的机会均等，是等可能事件. 一般在重大比赛中（如世界杯足球赛），主裁会通过抛硬币的方式让双方队长选择攻方、守方场地，简单公平.
【举例2】摸彩球（质地均匀）各种颜色的彩球出现的机会均等，是等可能的. 在中国体彩摇奖的时候，各种数字的彩球出现的机会是一样的，这样开奖的形式是公平的.
亲爱的小读者，不要以为我们遇到的事件都是等可能的，生活和学习中，有好多结果是不具有等可能性的.
【举例A】在一定条件下，种植一粒油菜籽观察它是否发芽，这个试验有两结果：A=“发芽”；B=“不发芽”，由于发芽的因素比较复杂，A和B的发生机会一般不均等，所以它们是不具有等可能性的.
【举例B】抛掷一个图钉，这个试验有两结果：C=“钉尖着地”，D=“钉帽着地”，由于图钉质量分布不均匀，出现这两个事件往往也不是等可能的. 小读者可以自己试验一下.
【举例C】在一个不透明的袋子中放1个红球和2个白球，从中任意摸出一个球，E=“摸出的是红球”，F=“摸出的是白球”，则E和F发生的可能性是不相等的，显然摸出白球的可能性要大.
【思考】同学们，在上述摸球游戏中，把三个球标号为红1号，白2号，白3号，则事件G=“摸到1号”，H=“摸到2号”，I=“摸到3号”，这三个事件的发生却又是等可能的！不等可能性在一定条件下可转化为等可能性.
现在再来解决本文开始的问题. 抛两枚硬币确实只有三种情形，即正正、反反、一正一反，但这给出的3种情形不是等可能的. 第3种结果（一正一反）是由两种结果产生的，即可以是第一次抛出正面、第二次抛出反面，或是第一次抛出反面、第二次抛出正面，实际是4种情形：（正，正），（反，反），（正，反），（反，正），而这4种情形是等可能的. 故P（一正一反）.
三、 等可能条件下的概率含义及计算
同学们，初中阶段我们遇到的概率题基本上是等可能条件下的，这种类型也叫古典概型（古典概型的最主要的特征之一是事件结果出现的等可能性）. 如果一个试验有n个等可能的结果，当其中的m个结果之一出现，事件A发生，那么事件A发生的概率为，其中，m表示A事件发生可能出现的结果数，n表示一次实验所有等可能出现的结果数.
问题1 （2013·江苏常州）一只不透明的箱子里共有3个球，其中2个白球，1个红球，它们除颜色外均相同.
（1） 从箱子中随机摸出一个球是白球的概率是多少？
（2） 从箱子中随机摸出一个球，记录下颜色后不将它放回箱子，搅匀后再摸出一个球，求两次摸出的球都是白球的概率，并画出树状图.
【分析】（1） 袋子中共有3个球，抓到每个球是等可能的. A=“出现白色”，A发生的可能结果有2种（共2个白球），一次实验所有可能的结果是3种，故P（摸出一个球是白色）；（2） 第一次摸球，虽然颜色只有2种（非红即白），但抓到红球和抓到白球不是等可能的，在这种情况下，要画出树状图，一般做法是把白球标号为白1和白2，这样三个球地位对等，也就是说，抓到红球、抓到白1、抓到白2，这三个事件是等可能的.
解：（1） ∵共有3个球，其中2个白球，
∴随机摸出一个球是白球的概率为；
（2） 画树状图如下（图1）：
B=“两次出现白球”，B出现的可能结果2种（即白1、白2；白2、白1），一次实验总共可能的结果有6种，故P（两次摸出的球都是白球）.
【拓展延伸】解答完上述问题，爱动脑的小聪和小明一致认为，课堂上老师讲的树状图，从一个结点出发的“树枝”所对应的事件是等可能的，当然很好理解. 但小聪想每次出现的球非红即白，如果画出如图2的树状图来，显然与等可能性相违背. 主要原因是出现红、白的结果不是等可能的，但若画出粗细不均的“树枝”，以体现红、白的可能性大小，不就是等可能的了吗？（小聪画出了图3）小聪并解释第一次摸，“出现白球的可能性”和“出现红球的可能性”，这两个事件是等可能的. 同理第二次摸，也是如此. 小明沉思了好久，认为小聪言之有理，并很快列出算式：P（两次摸出的球都是白球）. 聪明的小读者，你能理解小聪的想法吗？
问题2 一只蚂蚁在如图4所示的树上觅食，假如蚂蚁在每个岔口都会随机选择一条路径，它获得食物的概率是多少？
【错解回放】多数同学画出如图5的树状图，蚂蚁共有7种不同的路径，其中C4，B6两种走法能获得食物，故P（蚂蚁获得食物）.
读到这里，同学们知道，这一结论是错误的！
【分析】显然，蚂蚁到达各树梢末端的可能性不等！如图4，从第二层D、C、B开始向下，事件发生的结果数依次是，D下有3种，C下有2种，B下有2种，数目不等，故这些事件不是等可能的. 对概率的计算，同学们往往忽视“一次实验中，各种结果发生的可能性相等”这一重要条件.
【解决办法】请小读者思考下面问题：①蚂蚁爬到树枝AD上，它能得到食物吗？②若增减D的树枝数，蚂蚁得到食物的概率是否相等？③你能把蚂蚁到达各树梢末端的可能性化为相同吗？由于蚂蚁爬到树枝AD上，无论D点有几个分支，都得不到食物，所以增减D点树枝数，蚂蚁得到食物的概率相等. 现在有办法了，只要删减D树一根，变成两枝（图6），这样蚂蚁到各树梢的可能性就相等了. C4，B6两种得到食物，一次实验共有6种结果，故P（蚂蚁获得食物）. 读到这里，小聪又想到了上面特殊的树状图（图7）（粗细不均的树枝），列出下列算式，P（蚂蚁得到食物）.
等可能性是一种理想状态，是一种假设. 目前同学们接触到的概率题大多数是等可能事件的概率题，随着进一步的学习，同学们会在学习和生活中遇到很多非等可能性事件的概率问题. 望同学们善待“等可能性”这一特殊的朋友.
请小读者用心做下面的练习.
1. 下列说法正确吗？为什么？
（1） 某篮球运动员投篮一次，因为只有两种可能的结果，不是“投中”就是“未投中”，故P（投中）=P（未投中）=.
（2） 袋子中装有黄豆、绿豆、豌豆3种豆子，随手拿出一颗恰好是豌豆的概率是.
2. 抛两枚普通的正六面体骰子，A=“点数之积为偶数”，B=“点数之积为奇数”，则点数之积为偶数的概率大还是点数之积为奇数的概率大？