〔关键词〕 平面几何;定值问题;不变量
　　〔中图分类号〕 G633.63〔文献标识码〕 A
　　〔文章编号〕 1004—0463(2010)11(A)—0047—01
　　
　　平面几何中的定值问题实质就是研究运动图形中不变量的问题,由于图形在运动,所以给问题的解决带来了较大的困难.下面通过一个具体题目给出探究平面几何中定值问题的常用方法.
　　【题目】等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离和为定值.
　　已知:如图1所示,在△ABC中,AB=AC,P是BC上任意一点,PR⊥AB,PQ⊥AC,BD⊥AC,垂足分别为R、Q、D.
　　求证:PQ+PR为定值.
　　分析:因为P是BC上任意一点(即P是动点),所以当P运动到B的位置时,R和Q也随之分别运动到B和D的位置,此时PR=0,PQ=BD,由此猜想BD就是所要求的定值.
　　下面我们证明这个猜想是正确的.
　　解法一截长、补短法
　　证明1:如图2所示,在BD上截取HD=PQ,连接PH.
　　∵PQ⊥AC,BD⊥AC,∴ PQ∥BD,即PQ∥HD.
　　∴四边形HPQD是平行四边形.
　　∵∠BDQ=90°,即∠HDQ=90°,∴平行四边形HPQD是矩形.∴ ∠PHB=90°.
　　∴ HP∥AC,∴∠HPB=∠C.
　　但由AB=AC知∠C=∠ABC, ∴∠HPB=∠ABC,
　　即∠HPB=∠RBP.
　　∵ BP=PB,∴ Rt△BHP≌Rt△PRB(AAS).
　　∴ BH=PR, ∴ PQ+PR=HD+BH=BD.
　　证明2:如图3所示,延长QP到S,使PS=PR,连接BS.
　　∵ AB=AC,∴ ∠BPR=90°-∠ABC=90°-∠C.①
　　同理,由PQ⊥AC可得,∠CPQ=90°-∠C.②
　　而∠CPQ=∠BPS.③
　　综合①、②、③得∠BPR=∠BPS.
　　∵ BP=BP,∴ △BPR≌△BPS(SAS).
　　∴ ∠BRP=∠BSP=90°.
　　又∵ PQ⊥AC、BD⊥AC,∴ ∠1=∠2=90°.
　　∴四边形BSQD是矩形.
　　∴ SQ=BD,即SP+SQ=BD,亦即PR+PQ=BD.
　　解法二 三角形面积法
　　证明3:如图4所示,连接AP,则S△ABC=S△ABP+
　　S△ACP=AB•PR+AC•PQ.
　　∵ AB=AC,∴ S△ABC= AC(PR+PQ).①
　　而△ABC的面积还可被表示成
　　S△ABC= AC•BD.②
　　比较①、②可得PR+PQ=BD.
　　解法三 三角函数法
　　证明4:如图5所示,设∠C=α,BC=a,PC=x(0≤x≤a),则PB=a-x.
　　∵PR⊥AB、PQ⊥AC、BD⊥AC,∴△BPR、△CPQ和△CBD皆为Rt△.
　　由AB=AC知∠C=∠ABC=α,∴∠RBP=α.
　　在Rt△CPQ中,由sinC=知PQ=PC•sinC=x•sinα.
　　同理,在Rt△BPR中,PR=PB•sin∠RBP=(a-x)•sinα;在Rt△CBD中,BD=BC• sinC=a•sinα.
　　∴ PQ+PR=x•sinα+(a-x)•sinα=BD.
　　从上述探究过程可得出:几何中的定值问题,在定值没有明确地被给出时,可通过取特殊位置先猜想出定值,然后不失一般性地证明猜想的正确性即可.这是解决平面几何中定值问题的常用方法之一.