论文部分内容阅读
求二元函数、多元函数的取值范围是高考、高中数学竞赛常考的内容之一,本文介绍求解此类问题的五种方法.
一、 判别式“Δ”法
利用数式变形,将问题转化为一元二次方程有实数解的问题,再利用判别式解之.
例1 x、y∈R,且4x2-5xy+y2=5,记S=x2+y2,求S的最值.
解:∵4x2-5xy+4y2=5•x2+y2s
∴(4s-5)2-5sxy+4(4s-5)x2=0 ★
(1) 当x=0时,由题设有y2=54,故S=x2+y2=54
(2) 当x≠0时,★式变为(4s-5)yx2-5syx+(4s-5)=0
∴Δ=(5s)2-4(4s-5)2≥0,∴1013≤s≤103,
当且仅当x=-y=±6513时或x=y=±153时成立.
二、 三角换元法
对某些涉及“☆2+★2”的二元函数求取值范围的问题,可考虑用三角换元法.
例2 已知点P(x,y)在曲线(x-2)2+2y2=1上移动,
则式子2x+2y2的最大值为.
本题考查求函数极值的运算能力.
提示:解法一、设x=2+cosθ,y=22sinθ,代入得
原式=-cos2θ+2cosθ+1+22,
用二次函数可得最大值为32+22.
练习:已知:x≥0,x2+(y-2)2=1,
试求y=3x2+23xy+5y2x2+y2的取值范围.
解法一、三角换元法.
解法二、2y2=1-(x-2)2(1≤x≤3),代入得
原式=-x2+(4+2)x-3,用二次函数可得最大值为32+22.
三、 利用基本不等式法
例3 已知实数x、a1、a2、y成等差数列,x、b1、b2、y成等比数列,则(a1+a2)2b1b2的取值范围是.
本题考查等差、等比数列的性质以及分类讨论的能力
提示:(a1+a2)2b1b2=(x+y)2xy=xy+yx+2,
(1) 当xy>0时,上式≥4;
(2) 当xy<0时,上式≤0.
四、 消元法
例4 已知logxy=-2,则x+y的最大值为.
本题考查用“消元法”把问题转化为二次函数以及利用基本不等式求极值问题的能力.
提示:由logxy=-2,得y=x-2(x>0且x≠1,y>0),
∴M=x+y=x+x-2=x+1x2=x2+x2+1x2≥33x2•x2•1x2=3•322.
本题考查等差、等比数列的知识运算能力.
提示:设a、b、c成等比数列的公比为q,
z=ax+cy=2aa+b+2cb+c=21+q+2q1+q=2.
五、 数形结合法
例5 如果ax+by=2与圆x2+y2=4相切,那么u=a+b的最大值为.
本题考查直线与圆的位置关系,及求条件最值的数形结合、基本不等式应用的能力.
提示:∵2a2+b2=2,∴a2+b2=1,∴u=a+b≤2(a2+b2)=2.
练习:若a、b∈R+且a2+b2=a+b,那么t=a+b的最大值为.
解:可用a+b=a2+b2≥(a+b)22来解,也可
转换成线性规划来解a-122+b-122=12
当然限制条件下函数取值范围的求解方法较多,此处提供几种,仅供参考.
(责任编辑:张军)
一、 判别式“Δ”法
利用数式变形,将问题转化为一元二次方程有实数解的问题,再利用判别式解之.
例1 x、y∈R,且4x2-5xy+y2=5,记S=x2+y2,求S的最值.
解:∵4x2-5xy+4y2=5•x2+y2s
∴(4s-5)2-5sxy+4(4s-5)x2=0 ★
(1) 当x=0时,由题设有y2=54,故S=x2+y2=54
(2) 当x≠0时,★式变为(4s-5)yx2-5syx+(4s-5)=0
∴Δ=(5s)2-4(4s-5)2≥0,∴1013≤s≤103,
当且仅当x=-y=±6513时或x=y=±153时成立.
二、 三角换元法
对某些涉及“☆2+★2”的二元函数求取值范围的问题,可考虑用三角换元法.
例2 已知点P(x,y)在曲线(x-2)2+2y2=1上移动,
则式子2x+2y2的最大值为.
本题考查求函数极值的运算能力.
提示:解法一、设x=2+cosθ,y=22sinθ,代入得
原式=-cos2θ+2cosθ+1+22,
用二次函数可得最大值为32+22.
练习:已知:x≥0,x2+(y-2)2=1,
试求y=3x2+23xy+5y2x2+y2的取值范围.
解法一、三角换元法.
解法二、2y2=1-(x-2)2(1≤x≤3),代入得
原式=-x2+(4+2)x-3,用二次函数可得最大值为32+22.
三、 利用基本不等式法
例3 已知实数x、a1、a2、y成等差数列,x、b1、b2、y成等比数列,则(a1+a2)2b1b2的取值范围是.
本题考查等差、等比数列的性质以及分类讨论的能力
提示:(a1+a2)2b1b2=(x+y)2xy=xy+yx+2,
(1) 当xy>0时,上式≥4;
(2) 当xy<0时,上式≤0.
四、 消元法
例4 已知logxy=-2,则x+y的最大值为.
本题考查用“消元法”把问题转化为二次函数以及利用基本不等式求极值问题的能力.
提示:由logxy=-2,得y=x-2(x>0且x≠1,y>0),
∴M=x+y=x+x-2=x+1x2=x2+x2+1x2≥33x2•x2•1x2=3•322.
本题考查等差、等比数列的知识运算能力.
提示:设a、b、c成等比数列的公比为q,
z=ax+cy=2aa+b+2cb+c=21+q+2q1+q=2.
五、 数形结合法
例5 如果ax+by=2与圆x2+y2=4相切,那么u=a+b的最大值为.
本题考查直线与圆的位置关系,及求条件最值的数形结合、基本不等式应用的能力.
提示:∵2a2+b2=2,∴a2+b2=1,∴u=a+b≤2(a2+b2)=2.
练习:若a、b∈R+且a2+b2=a+b,那么t=a+b的最大值为.
解:可用a+b=a2+b2≥(a+b)22来解,也可
转换成线性规划来解a-122+b-122=12
当然限制条件下函数取值范围的求解方法较多,此处提供几种,仅供参考.
(责任编辑:张军)