论文部分内容阅读
摘 要：调研试题作为高考前的学业水平测试，一定程度上反映着当年高考的趋势，其难度往往也不亚于当年的高考题，一道程度相当高的调研试题，往往不是凭借个人的能力就能完整解决的，正因解题中重重的困难才能使教师群体的讨论彰显意义.通过群体的讨论来弥合个人思维的不完整性，从而达到解题的严密性. 通过一道调研试题解题过程的反思，往往能够体现其背后的意义——促进教师专业发展.
关键词：调研试题；解题过程；回顾；反思
个人的能力是有限的，特别是当遇到复杂程度较高的题目时，个人思维的不完整性往往会暴露得一览无余.而群体的讨论，会产生思维的碰撞，擦出智慧的火花，能够弥合个人思维的不完整性，从而促进教师个人的专业. 本文基于一道考题解题过程的反思，反映教师交流对于教师专业发展的促进作用.
例：平面直角坐标系xOy中，椭圆C： =1（a>b>0）的离心率为，右焦点F（1，0），点P在椭圆C上，且在第一象限内，直线PQ与圆O：x2 y2=b2相切于点M.（1）求椭圆方程；（2）求PM·PF的取值范围；（3）若OP⊥OQ，求点Q的纵坐标t.
问题（1）和（2）略，椭圆方程为 =1
独自摸索：缺陷的过程，暴露思维的不完整性
分析：由过P点与圆的切线存在两种可能性，即斜率存在，也可能不存在，因此对于本题应当将其分类讨论.
①当斜率不存在时，即PM⊥x轴，则P点的坐标为
，
，Q（，t）.
因为OP⊥OQ，所以·=3 t=0，解得t=-2.
②当斜率存在时，设P点坐标为（x0，y0），则PQ的直线方程为y-y0=k（x-x0），则Q点坐标为Q
，t
. 又因为OP⊥OQ，所以·=x0 ty0=0，解得t=，所以t2==.
PQ与圆相切，=?（kx0-y0）2=3k2 3?2kx0y0=k2x y-3k2-3，
t2=. P在椭圆上所以y=3-x，代入上式可得：
t2==12，解得t=-2或2（舍）. 综合①和②得t=-2.
团体讨论：激荡的思维，展现群体的卓越智慧
1. 和风细雨，一语点醒梦中人
然而，与参考答案比较时产生了差异，差异的关键在于t=2能否取？当发现参考答案取了2时，笔者怀疑参考答案的正确性. 由于P点在第一象限，当PM⊥x轴时，同时保证OP⊥OQ，因此Q点只能出现在第四象限内，所以Q点的纵坐标不可能为正.
在笔者讲述的同时将草图画给了同事，同事看着图下意识地点了点头表示赞同，并阐述到“的确，同时保证两个条件成立时，无法在x轴上方找到Q点.”在确认参考答案无误的情况下，大家继续讨论着什么地方产生了问题呢？讨论激励地进行着……
此时，一位同事轻声地叹了一句“咱们都受题目所给出图的影响，思维定式，忘记了最基本的一个知识点，过圆外一点作圆的切线应该有两条.” 这一句话点醒了梦中人，分类讨论是对的，但讨论的对象错了，由于P在圆外，所以过P的切线应当有两条，因此讨论的对象应当是两条切线的分布状况. 由于P在第一象限，所以过P点的两条切线存在两种分布：其一，两条切线的斜率均存在，即都不垂直于x轴；其二，两条切线中其中有一条垂直于x轴，另一条不垂直. 因此可以将上述分类讨论①的过程调整如下：
①当过P点的切线有一条垂直于x轴时，则P点的坐标为
，
，Q点坐标为（，t）或（-，t）.
因为OP⊥OQ，所以当Q（，t）时，·=3 t=0，解得t= -2；当Q（-，t）时·=-3 t=0，解得t=2.
2. 群体讨论，思维的再次突破
“我们发现受题目所给图的影响，解题时容易产生思维定式，因此对于这种分类讨论的做法虽然思路易得，但解题时有一定的缺陷. 那么有没有一种方法，可以避免这种错误呢？”有位同事如是说.
“反思我们的解题过程，可以发现，我们的思路是利用切线方程求解Q点坐标，以OP⊥OQ为桥梁，建立·等于0这样的等量关系，然而利用切线方程就涉及斜率是否存在的问题，因此按此思路讨论无可避免.”
“向量数量积等于0确立了讨论必要性，那么在OP⊥OQ的前提下，还可以利用初中平面几何中所学的射影定理建立面积相等的等量关系，即OP·OQ=OM·PQ.” 具体解法如下：
设P点坐标为（x0，y0），则直线OQ的方程为y=-x，因此，Q点坐标为
-t，t
.
OP=，OQ=，OM=，PQ=，OP⊥OQ?OP·OQ=OM·PQ?·=·.
·=·=·?（x y）t2=3（x t2）?t2=.
P点在椭圆上，所以 =1?y=3-?t2==12?t=±2.
回顾反思：个人的进步，得益于群体坦诚交流
反思整个过程，不难发现，个人的独自摸索过程充分反映了个人思维的不完整性，这个问题从本质上源于教师个人的专业素养高度. 通过教师之间的坦诚交流，最直接的结果是完善了解题的过程，得到了解题的结果. 而深层次的则包含了促进教师专业发展的机制：教师个人的专业发展，得益于教师之间坦诚的交流；教师群体的专业成长，得益于教师之间倾心的交流.
首先，从个人专业素养的提升看，通过教师之间的相互讨论，加深教师对个别知识点的印象，以本题为例，讨论让老师们再次回顾过圆外一点切线的相关知识，从而加固并完善了教师的知识结构体系，最终促进教师在专业知识方面的素养成长. 通过教师之间的相互讨论还可以借助众人的智慧补足个人思维的缺陷，以本题为例，通过老师之间的讨论让每个人都认识到对圆外一点切线的斜率进行讨论时，不能以单一的切线斜率存在于否作为对象，而应将两条切线作为一个整体进行分类. 通过这样的讨论弥合了个人思维存在的不完整性，完善了思路的整体性，从而在交流中锻炼思维，从思维的层面提升了教师的专业素养. 通过教师之间的相互讨论，还可以帮助教师从多个角度来审视问题，即以不同的理论作为解题的桥梁. 例如本例中，通常个人的思维是对切线进行分类讨论，利用向量关系来建立等量关系，而经过讨论后老师们提出了更高的要求，避免分类讨论的情况，从而催生了利用射影定理建立等量关系，扩大了教师们解题的视野. 因此，讨论还可以从视野层面提升教师的专业素养.
其次，从教师群体的专业成长看，通过教师个别之间的讨论，活跃了办公室的气氛，制造了一种讨论的氛围，从而吸引教师参与，易于发动群体的大讨论，从而由促进个人专业素养的提升转化为促进教师群体专业素养发展；通过教师之间的大讨论，易在办公室建立一种学习的氛围，让教师把注意力更集中于自己的专业领域，从而促进教师由阶段性学习向终身性学习的转变.
总而言之，教师交流是促进教师专业成长的桥梁.
关键词：调研试题；解题过程；回顾；反思
个人的能力是有限的，特别是当遇到复杂程度较高的题目时，个人思维的不完整性往往会暴露得一览无余.而群体的讨论，会产生思维的碰撞，擦出智慧的火花，能够弥合个人思维的不完整性，从而促进教师个人的专业. 本文基于一道考题解题过程的反思，反映教师交流对于教师专业发展的促进作用.
例：平面直角坐标系xOy中，椭圆C： =1（a>b>0）的离心率为，右焦点F（1，0），点P在椭圆C上，且在第一象限内，直线PQ与圆O：x2 y2=b2相切于点M.（1）求椭圆方程；（2）求PM·PF的取值范围；（3）若OP⊥OQ，求点Q的纵坐标t.
问题（1）和（2）略，椭圆方程为 =1
独自摸索：缺陷的过程，暴露思维的不完整性
分析：由过P点与圆的切线存在两种可能性，即斜率存在，也可能不存在，因此对于本题应当将其分类讨论.
①当斜率不存在时，即PM⊥x轴，则P点的坐标为
，
，Q（，t）.
因为OP⊥OQ，所以·=3 t=0，解得t=-2.
②当斜率存在时，设P点坐标为（x0，y0），则PQ的直线方程为y-y0=k（x-x0），则Q点坐标为Q
，t
. 又因为OP⊥OQ，所以·=x0 ty0=0，解得t=，所以t2==.
PQ与圆相切，=?（kx0-y0）2=3k2 3?2kx0y0=k2x y-3k2-3，
t2=. P在椭圆上所以y=3-x，代入上式可得：
t2==12，解得t=-2或2（舍）. 综合①和②得t=-2.
团体讨论：激荡的思维，展现群体的卓越智慧
1. 和风细雨，一语点醒梦中人
然而，与参考答案比较时产生了差异，差异的关键在于t=2能否取？当发现参考答案取了2时，笔者怀疑参考答案的正确性. 由于P点在第一象限，当PM⊥x轴时，同时保证OP⊥OQ，因此Q点只能出现在第四象限内，所以Q点的纵坐标不可能为正.
在笔者讲述的同时将草图画给了同事，同事看着图下意识地点了点头表示赞同，并阐述到“的确，同时保证两个条件成立时，无法在x轴上方找到Q点.”在确认参考答案无误的情况下，大家继续讨论着什么地方产生了问题呢？讨论激励地进行着……
此时，一位同事轻声地叹了一句“咱们都受题目所给出图的影响，思维定式，忘记了最基本的一个知识点，过圆外一点作圆的切线应该有两条.” 这一句话点醒了梦中人，分类讨论是对的，但讨论的对象错了，由于P在圆外，所以过P的切线应当有两条，因此讨论的对象应当是两条切线的分布状况. 由于P在第一象限，所以过P点的两条切线存在两种分布：其一，两条切线的斜率均存在，即都不垂直于x轴；其二，两条切线中其中有一条垂直于x轴，另一条不垂直. 因此可以将上述分类讨论①的过程调整如下：
①当过P点的切线有一条垂直于x轴时，则P点的坐标为
，
，Q点坐标为（，t）或（-，t）.
因为OP⊥OQ，所以当Q（，t）时，·=3 t=0，解得t= -2；当Q（-，t）时·=-3 t=0，解得t=2.
2. 群体讨论，思维的再次突破
“我们发现受题目所给图的影响，解题时容易产生思维定式，因此对于这种分类讨论的做法虽然思路易得，但解题时有一定的缺陷. 那么有没有一种方法，可以避免这种错误呢？”有位同事如是说.
“反思我们的解题过程，可以发现，我们的思路是利用切线方程求解Q点坐标，以OP⊥OQ为桥梁，建立·等于0这样的等量关系，然而利用切线方程就涉及斜率是否存在的问题，因此按此思路讨论无可避免.”
“向量数量积等于0确立了讨论必要性，那么在OP⊥OQ的前提下，还可以利用初中平面几何中所学的射影定理建立面积相等的等量关系，即OP·OQ=OM·PQ.” 具体解法如下：
设P点坐标为（x0，y0），则直线OQ的方程为y=-x，因此，Q点坐标为
-t，t
.
OP=，OQ=，OM=，PQ=，OP⊥OQ?OP·OQ=OM·PQ?·=·.
·=·=·?（x y）t2=3（x t2）?t2=.
P点在椭圆上，所以 =1?y=3-?t2==12?t=±2.
回顾反思：个人的进步，得益于群体坦诚交流
反思整个过程，不难发现，个人的独自摸索过程充分反映了个人思维的不完整性，这个问题从本质上源于教师个人的专业素养高度. 通过教师之间的坦诚交流，最直接的结果是完善了解题的过程，得到了解题的结果. 而深层次的则包含了促进教师专业发展的机制：教师个人的专业发展，得益于教师之间坦诚的交流；教师群体的专业成长，得益于教师之间倾心的交流.
首先，从个人专业素养的提升看，通过教师之间的相互讨论，加深教师对个别知识点的印象，以本题为例，讨论让老师们再次回顾过圆外一点切线的相关知识，从而加固并完善了教师的知识结构体系，最终促进教师在专业知识方面的素养成长. 通过教师之间的相互讨论还可以借助众人的智慧补足个人思维的缺陷，以本题为例，通过老师之间的讨论让每个人都认识到对圆外一点切线的斜率进行讨论时，不能以单一的切线斜率存在于否作为对象，而应将两条切线作为一个整体进行分类. 通过这样的讨论弥合了个人思维存在的不完整性，完善了思路的整体性，从而在交流中锻炼思维，从思维的层面提升了教师的专业素养. 通过教师之间的相互讨论，还可以帮助教师从多个角度来审视问题，即以不同的理论作为解题的桥梁. 例如本例中，通常个人的思维是对切线进行分类讨论，利用向量关系来建立等量关系，而经过讨论后老师们提出了更高的要求，避免分类讨论的情况，从而催生了利用射影定理建立等量关系，扩大了教师们解题的视野. 因此，讨论还可以从视野层面提升教师的专业素养.
其次，从教师群体的专业成长看，通过教师个别之间的讨论，活跃了办公室的气氛，制造了一种讨论的氛围，从而吸引教师参与，易于发动群体的大讨论，从而由促进个人专业素养的提升转化为促进教师群体专业素养发展；通过教师之间的大讨论，易在办公室建立一种学习的氛围，让教师把注意力更集中于自己的专业领域，从而促进教师由阶段性学习向终身性学习的转变.
总而言之，教师交流是促进教师专业成长的桥梁.