论文部分内容阅读
一、知识解读
1. 相似图形 形状相同、大小不一定相同的图形，叫做相似图形.
2. 相似多边形 对应角相等、对应边成比例的两个多边形，叫做相似多边形.
相似多边形的定义也是判定两个多边形相似的重要依据.
3. 成比例线段 对于四条线段a，b，c，d，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即 ＝ （或a∶b＝c∶d），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.
4. 相似三角形的定义 对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形.相似三角形对应边的比叫相似比，也叫相似系数，通常用字母k表示.全等三角形是相似比为1的特殊的相似三角形.
5. 相似三角形的判定方法 三角形相似的判定方法和三角形全等的判定方法类似，角相等不变，只是将“对应边相等”改为“对应边成比例”.
二、考点例析
◆◆考点1：相似形的性质◆◆
例1 （2008年诸暨市）已知A，B，C，D各点的坐标如图1所示，E是DE和AC延线的交点，若△ABC和△ADE相似，则E点的坐标是 .
解析： 将点的坐标转化为三角形的边长，利用相似三角形的性质，容易求得E（4，－3）.
例2 （2008年重庆市）若△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为2∶3，则S△ABC ∶ S△DEF为（）.
A. 2∶3 B. 4∶9 C.∶D. 3∶2
解析： 直接考查相似三角形最基本的性质，面积比等于相似比的平方.选B.
◆◆考点2：相似形的识别◆◆
例3 （2008年安徽省）如图2，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，R为DE的中点，BR分别交AC，CD于点P，Q.
（1） 请写出图中各对相似三角形（相似比为1的除外）.
（2） 求BP ∶ PQ ∶ QR.
解析： （1） △BCP∽△BER，△PCQ∽△PAB，△PCQ∽△RDQ，△PAB∽△RDQ.
（2） ∵四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，
∴BC=AD=CE，AC∥DE，所以 = = .
由△PCQ∽△RDQ，DR=RE，可得 = = = .
所以QR=2PQ.BP=PR=PQ＋QR=3PQ.
∴BP ∶ PQ ∶ QR=3∶1∶2.
◆◆考点3：相似形的实际应用◆◆
例4 （2008年陕西省）阳光明媚的一天，数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度（这棵树底部可以到达，顶部不易到达）.他们带了以下测量工具：皮尺、标杆、一副三角尺、小平面镜.请你在他们提供的测量工具中选出所需工具，设计一种测量方案.
（1） 所需的测量工具是： .
（2） 请在图3中画出测量示意图.
（3） 设树AB的高度为x m，请用所测数据（用小写英文字母表示）求出x.
解析： （1） 皮尺、标杆.
（2） 测量示意图如图4.
（3） 如图4，测得标杆DE ＝ a m，树的影长AC ＝ b m，标杆的影长EF ＝ c m.
由△DEF∽△BAC，可得 = .
即 = .解得x= （m）.
◆◆考点4：图形的放大与缩小◆◆
例5 （2008年宁德市）如图5，在每个小正方形的边长都为1的网格中，有形如帆船的图案①和半径为2的⊙P．
（1） 将图案①平移，使A点平移到点E，画出平移后的图案.
（2） 以点M为位似中心，在网格中将图案①放大2倍，画出放大后的图案，并在放大后的图案中标出线段AB的对应线段CD.
（3） 在（2）所画的图案中，线段CD被⊙P所截得的弦长为 ．（结果可保留根号）
解析： （1） 平移变换是全等变换，只改变位置，不改变大小和形状.平移后的图案如图6.
（2） 位似变换只改变图形的大小，不改变图形的形状.放大后的图案如图6所示.
（3） 线段CD被⊙P所截得的弦长为2 .
◆◆考点5：相似形的综合应用◆◆
例6 （2008年苏州市）如图7，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC＝5，AD＝6，BC＝12，动点P从D点出发沿DC以每秒1个单位的速度向终点C运动，动点Q从C点出发沿CB以每秒2个单位的速度向B点运动．两点同时出发，当P点到达C点时，Q点随之停止运动．
（1） 梯形ABCD的面积等于 .
（2） 当PQ∥AB时，P点离开D点的时间等于 .
（3） 当P，Q，C三点构成直角三角形时，求P点离开D点的时间.
解析： （1） 36. （2） s.
（3） 当P，Q，C三点构成直角三角形时，有两种情况.
① 如图8，当PQ⊥BC时，设P点离开D点x s．
作DE⊥BC于E，则PQ∥DE．
∴ = ， = .解得x= （s）.
② 如图9，当QP⊥CD时，设P点离开D点x s．
显然△QPC∽△DEC．
∴ = ， = .解得x= （s）.
综上所述，当P，Q，C三点构成直角三角形时，点P离开D点s或s．
（2008年肇庆市）如图10，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D是AC的中点，⊙O经过A，B，D三点，CB的延长线交⊙O于点E.
（1） 求证AE=CE.
（2） EF与⊙O相切于点E，交AC的延长线于点F，若CD=CF=2 cm，求⊙O的直径.
（3） 若 =n（n>0），求sin∠CAB.
答案或提示：（1） 连接DE，证明DE是AC的垂直平分线． （2） AE=2cm． （3） sin∠CAB= .
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”。
1. 相似图形 形状相同、大小不一定相同的图形，叫做相似图形.
2. 相似多边形 对应角相等、对应边成比例的两个多边形，叫做相似多边形.
相似多边形的定义也是判定两个多边形相似的重要依据.
3. 成比例线段 对于四条线段a，b，c，d，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即 ＝ （或a∶b＝c∶d），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.
4. 相似三角形的定义 对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形.相似三角形对应边的比叫相似比，也叫相似系数，通常用字母k表示.全等三角形是相似比为1的特殊的相似三角形.
5. 相似三角形的判定方法 三角形相似的判定方法和三角形全等的判定方法类似，角相等不变，只是将“对应边相等”改为“对应边成比例”.
二、考点例析
◆◆考点1：相似形的性质◆◆
例1 （2008年诸暨市）已知A，B，C，D各点的坐标如图1所示，E是DE和AC延线的交点，若△ABC和△ADE相似，则E点的坐标是 .
解析： 将点的坐标转化为三角形的边长，利用相似三角形的性质，容易求得E（4，－3）.
例2 （2008年重庆市）若△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为2∶3，则S△ABC ∶ S△DEF为（）.
A. 2∶3 B. 4∶9 C.∶D. 3∶2
解析： 直接考查相似三角形最基本的性质，面积比等于相似比的平方.选B.
◆◆考点2：相似形的识别◆◆
例3 （2008年安徽省）如图2，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，R为DE的中点，BR分别交AC，CD于点P，Q.
（1） 请写出图中各对相似三角形（相似比为1的除外）.
（2） 求BP ∶ PQ ∶ QR.
解析： （1） △BCP∽△BER，△PCQ∽△PAB，△PCQ∽△RDQ，△PAB∽△RDQ.
（2） ∵四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，
∴BC=AD=CE，AC∥DE，所以 = = .
由△PCQ∽△RDQ，DR=RE，可得 = = = .
所以QR=2PQ.BP=PR=PQ＋QR=3PQ.
∴BP ∶ PQ ∶ QR=3∶1∶2.
◆◆考点3：相似形的实际应用◆◆
例4 （2008年陕西省）阳光明媚的一天，数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度（这棵树底部可以到达，顶部不易到达）.他们带了以下测量工具：皮尺、标杆、一副三角尺、小平面镜.请你在他们提供的测量工具中选出所需工具，设计一种测量方案.
（1） 所需的测量工具是： .
（2） 请在图3中画出测量示意图.
（3） 设树AB的高度为x m，请用所测数据（用小写英文字母表示）求出x.
解析： （1） 皮尺、标杆.
（2） 测量示意图如图4.
（3） 如图4，测得标杆DE ＝ a m，树的影长AC ＝ b m，标杆的影长EF ＝ c m.
由△DEF∽△BAC，可得 = .
即 = .解得x= （m）.
◆◆考点4：图形的放大与缩小◆◆
例5 （2008年宁德市）如图5，在每个小正方形的边长都为1的网格中，有形如帆船的图案①和半径为2的⊙P．
（1） 将图案①平移，使A点平移到点E，画出平移后的图案.
（2） 以点M为位似中心，在网格中将图案①放大2倍，画出放大后的图案，并在放大后的图案中标出线段AB的对应线段CD.
（3） 在（2）所画的图案中，线段CD被⊙P所截得的弦长为 ．（结果可保留根号）
解析： （1） 平移变换是全等变换，只改变位置，不改变大小和形状.平移后的图案如图6.
（2） 位似变换只改变图形的大小，不改变图形的形状.放大后的图案如图6所示.
（3） 线段CD被⊙P所截得的弦长为2 .
◆◆考点5：相似形的综合应用◆◆
例6 （2008年苏州市）如图7，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC＝5，AD＝6，BC＝12，动点P从D点出发沿DC以每秒1个单位的速度向终点C运动，动点Q从C点出发沿CB以每秒2个单位的速度向B点运动．两点同时出发，当P点到达C点时，Q点随之停止运动．
（1） 梯形ABCD的面积等于 .
（2） 当PQ∥AB时，P点离开D点的时间等于 .
（3） 当P，Q，C三点构成直角三角形时，求P点离开D点的时间.
解析： （1） 36. （2） s.
（3） 当P，Q，C三点构成直角三角形时，有两种情况.
① 如图8，当PQ⊥BC时，设P点离开D点x s．
作DE⊥BC于E，则PQ∥DE．
∴ = ， = .解得x= （s）.
② 如图9，当QP⊥CD时，设P点离开D点x s．
显然△QPC∽△DEC．
∴ = ， = .解得x= （s）.
综上所述，当P，Q，C三点构成直角三角形时，点P离开D点s或s．
（2008年肇庆市）如图10，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D是AC的中点，⊙O经过A，B，D三点，CB的延长线交⊙O于点E.
（1） 求证AE=CE.
（2） EF与⊙O相切于点E，交AC的延长线于点F，若CD=CF=2 cm，求⊙O的直径.
（3） 若 =n（n>0），求sin∠CAB.
答案或提示：（1） 连接DE，证明DE是AC的垂直平分线． （2） AE=2cm． （3） sin∠CAB= .
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”。