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二项式定理是组合数学中的重要内容,也是高考的考点之一。在高考中对二项式定理的考查主要是以小题为主,难度不算很大,但其解法有一定的灵活性,下面就来对二项式定理在解题中的应用进行探究。
1.二项式定理:
(a+b)n=C0nan+C1nan-1b+…+Crnan-rbr+…+Cnnbn(n∈N*)
2.二项式展开式中的通项:
Tr+1=Crnan-rbr(0≤r≤n,r∈N)
例1 求(1+x)3+(1+x)4+…+(1+x)n+2展开式中的x2项的系数。
解:(1+x)3+(1+x)4+…+(1+x)n+2
=(1+x)3[1-(1+x)n]1-(1+x)
=(1+x)n+3-(1+x)3x。
而分子(1+x)n+3-(1+x)3中含x3项的系数为C3n+3-1=n3+6n2+11n6。
所以(1+x)3+(1+x)4+…+(1+x)n+2展开式中的x2项的系数为n3+6n2+11n6。
點评:本题的解法立足于整体,先从等比数列求和入手,再处理x2项系数的问题,转化中达到快捷。
例2 已知x12-2x2n的二项式系数比各项系数的和大255,求:
(1)二项式系数最大的项;
(2)展开式中系数绝对值最大的项是第几项?
(3)展开式中系数最大项和最小项。
分析:明确与理解各“系数”的含义。
解:因为二项式系数的和为C0n+C1n+…+Cnn=2n,
令x=1得各项系数和为(1-2)n=(-1)n,
依题意有2n=(-1)n+255。
若n为奇数时,2n=254,n∈N*,无解;
若n为偶数时,2n=256,n∈N*,解得n=8。
(1)因为n=8,所以展开式共9项,则第5项的二项式系数最大,所以二项式系数最大的项为T5=1120x-6。
(2)设第r+1项的系数绝对值最大,则Cr8·2r≥Cr-18·2r-1,Cr8·2r≥Cr+18·2r+1。
即2r≥19-r,18-r≥2r+1,
解得5≤r≤6。
所以系数绝对值最大的项是第6项与第7项。
(3)由(2)知第6项与第7项系数的绝对值最大。
T6=C58x123-2x25=-1792xx9,
T7=C68x122-2x26=1792x11。
所以系数的最大项为T7=1792x11,系数最小项为T6=-1792xx9。
点评:本题主要考查的是二项展开式中,系数、二项式系数与各项系数和,要解此题,必须先弄清这些“系数”的含义,这也是解本题的关键。
作者单位:山东省济宁市第二中学
1.二项式定理:
(a+b)n=C0nan+C1nan-1b+…+Crnan-rbr+…+Cnnbn(n∈N*)
2.二项式展开式中的通项:
Tr+1=Crnan-rbr(0≤r≤n,r∈N)
例1 求(1+x)3+(1+x)4+…+(1+x)n+2展开式中的x2项的系数。
解:(1+x)3+(1+x)4+…+(1+x)n+2
=(1+x)3[1-(1+x)n]1-(1+x)
=(1+x)n+3-(1+x)3x。
而分子(1+x)n+3-(1+x)3中含x3项的系数为C3n+3-1=n3+6n2+11n6。
所以(1+x)3+(1+x)4+…+(1+x)n+2展开式中的x2项的系数为n3+6n2+11n6。
點评:本题的解法立足于整体,先从等比数列求和入手,再处理x2项系数的问题,转化中达到快捷。
例2 已知x12-2x2n的二项式系数比各项系数的和大255,求:
(1)二项式系数最大的项;
(2)展开式中系数绝对值最大的项是第几项?
(3)展开式中系数最大项和最小项。
分析:明确与理解各“系数”的含义。
解:因为二项式系数的和为C0n+C1n+…+Cnn=2n,
令x=1得各项系数和为(1-2)n=(-1)n,
依题意有2n=(-1)n+255。
若n为奇数时,2n=254,n∈N*,无解;
若n为偶数时,2n=256,n∈N*,解得n=8。
(1)因为n=8,所以展开式共9项,则第5项的二项式系数最大,所以二项式系数最大的项为T5=1120x-6。
(2)设第r+1项的系数绝对值最大,则Cr8·2r≥Cr-18·2r-1,Cr8·2r≥Cr+18·2r+1。
即2r≥19-r,18-r≥2r+1,
解得5≤r≤6。
所以系数绝对值最大的项是第6项与第7项。
(3)由(2)知第6项与第7项系数的绝对值最大。
T6=C58x123-2x25=-1792xx9,
T7=C68x122-2x26=1792x11。
所以系数的最大项为T7=1792x11,系数最小项为T6=-1792xx9。
点评:本题主要考查的是二项展开式中,系数、二项式系数与各项系数和,要解此题,必须先弄清这些“系数”的含义,这也是解本题的关键。
作者单位:山东省济宁市第二中学