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摘 要：表面等离子体激元是局限在金属表面的一种由自由电子和光子相互作用形成的激发态，其场分布在相邻的金属和介质中均成指数形式的衰减，在金属中的分布深度比入射光波长要小2个数量级。这就为实现在亚波长尺度的金属结构中形成光场的局域化和导波提供了可能，并作为突破衍射极限的限制以及将光场通路和器件的小型化重要考量因子。文中重点研究了基于表面等离子激元光学谐振环的滤波特性，得出了通过调节控制谐振环的直径可以吸收不同频率的波长，从而实现滤波的目的。
关键词：表面等离子体激元；谐振环；时域有限差分法
表面等离子激元（surface plasmon polaritons）简称SPPs，表面等离子体激元是局限在金属表面的一种由自由电子和光子相互作用形成的激发态，它们本质上是光子和导体中的自由电子相互作用而被表面俘获的光波，或者说是自由电子和光波电磁场由于共振频率相同而形成的一种集体振荡态。
SPPs沿着导体—电解质分界面处传播，传播距离大约是几百纳米到几微米，其场分布在相邻的金属和介质中均成指数形式的衰减。SPPs在金属中的分布深度比入射光波长要小2个数量级，这就为实现在亚波长尺度的金属结构中形成光场的局域化和导波提供了可能。对由表面等离子波引起的光学特性的研究，将为光学器件的小型化设计提供理论基础，具有十分现实的意义。本文将对SPPs波导的色散特性进行简要的推导，并利用数值分析工具，对建立的波导-谐振环模型进行仿真研究，研究波导-谐振环相应的滤波特性。
1理论基础
表面等离子体激元是在金属和电介质界面间产生的，金属的自由电子与入射光电磁场产生耦合，引起集体振荡，激发出SPPs。其电场的波动方程如下
E=E0exp[i(kxx±kzz-ωt)](1)
对与理想的半无限大金属和电介质界面图，设定：x方向为光波的传播方向，z>0为真空，z<0是金属介质。其中εd是真空介电常数，εm是金属介电常数，k1是真空中的波矢量，km是金属中的波矢量。
当z>0时
它们决定电磁场随着远离界面呈指数衰减。
电磁场切向分量连续，要求在z=0界面
可以解出TM偏振光波下频率ω和波失k的色散关系
式(9)即为SPPs在某一特定频率下的波失，它在εm(ω)为复数时仍然成立，展开后ksp的实部和虚部可以表示
从以上两公式可以看出k′虚部k″sp与εi成正比，随着|εr|的增大，k′sp在逼近极限值″sp在减小，这就是SPPs的色散性质。SPPs的色散关系描述SPPs的光特性，是进行研究SPPs的基本理论基础。
2 仿真模型及数值分析
目前，电磁场常见的数值计算方法有：时域有限差分法(FDTD)、矩量法(MoM)、有限元法 (FEM)，以及边界元法(REM)等。本文将采用应用最广泛的时域有限差分法(FDTD)对图1所示的波导-谐振环模型进行仿真分析。
在图1的结构中光由入射端进入长直波导，通过共振环在出射端出射。出射强度是由直波导中的导模和环状波导中的导模相互干射决定，由于环形波导中的导模位相呈周期性变化，出射端的光场强度也将呈现一定的周期性变化。假设光在波导内的传播以及光的耦合是没有损耗的，而且在波导内只有单一模式传播，理论上透射率是
T=(12)
在上式中，θ是导模在环中每圈的相位的增加，α代表了导模在环中的损耗，包括了传播损耗和环的弯曲损耗，t=|t|exp(jφ)是复系数，表征的是没有被耦合进环形波导内的长直中的那部分导模。
图1的结构参数为：长直波导和谐振环的波导材料为空气，宽度W=300nm，谐振环的初始半径R=2.7μm，谐振环于长直波导间的距离g=100nm。光波从左至右输入，在长直波导右侧设立观察点，分析光波信息。
对图1的模型进行仿真分析。因为，只有TM模式才能激发SPPs波，因此光源采用平面波TM模，边界条件选取完全匹配层吸收边界条件PML。图2即为波导-谐振环模型仿真光强效果图。从图中我们看以清晰的看到，光波在长直波导的行进过程中有部分的能力耦合到谐振环中，这就证明了通过通过SPPs波确实能够实现光波能量的传递。
图3（a）标示在谐振环和长直波导间距g分别为100nm、150nm、200nm，谐振环R=2.9μm时的仿真效果图，从图中我们可以看出，在通信的常用波段1.3~1.6μm之间，谐振环存在着周期性的滤波特性。对比g=200nm和g=100nm，可以看到随着g的增大滤波效果明显减弱。从仿真图像中我们还可以看到对于不同的g，谐振环的滤波波长基本保持不变。
图3（b）标示了在改变谐振环半径R分别为2.5μm、2.7μm、2.9μm，g=100nm时的仿真效果图，从图中我们亦可以看出在1.3~1.6μm之间，谐振环周期性的滤波特性。更重要的是，随着谐振环半径的改变，谐振环的滤波波长发生搬移，这也就说明通过改变谐振环的半径，我们可以实现对不同波长的滤波效果，这在实际应用的很有现实意义。我们还可以看到随着半径的增大，环内的损耗相应增加，谐振环对光波的吸收效果更加明显，这与公式（12）相符合。
3结束语
通过在普通谐振环滤波器件涂覆金属材料，利用光波和金属表面自由电子相互激发形成表面等离子波可以达到滤除特定频率的光波的效果。通过对影响滤波效果的两个参数的研究，我们得出：谐振环与长直波导的间距不会对滤波波长产生重大影响，但随着间距的增大，谐振环的滤波能力明显减弱；谐振环的半径是影响模型滤波频率的重要因子，通过改变谐振环的半径，模型的滤波频率将发生变化；由于环形波导中的导模位相呈周期性变化，出射端的光场强度也呈现一定的周期性变化，这就为WDM波分复用技术提供了可能。?笮
参考文献
[1] H. Raether: Surface plasmons on smooth and rough surfaces and on gratings，Springer-Verlag，1988.
[2] W.L.BARNES，A.DEREUX and T.W.EBBESEN. “Surface Plasmon subwavelength optics”. Nature，424(6950):824-830，2003
[3] ODYSSEAS C.TSILIPAKOS“Theoretical Analysis of Microring Resonator Filters Made of Plasmonic Waveguides” 978-1-4244-4826-5/09/IEEE2009-9-22
[4] RAETHER H.“Surface Plasmons on Smooth and Rough Surfaces and on Greatings” SPringer，1988:p.1-p.27
[5] T. Holmgaard，S.I. Bozhevolnyi: Theoretical analysis of dielectric-loaded surface plasmon-polariton waveguides，Phys. Rev. B，vol. 75，245405，June 2006.
[6] R. Charbonneau，C. Scales，I. Breukelaar，S. Fafard，N. Lahoud，G. Mattiussi，and P. Berini，“Passive integrated optics elements based on long-range surface plasmon polaritons，” J. Lightw. Technol.，no. 24，pp. 477–494，2006.
[7] Heinz Raether Surface Plasmons on Smooth and Rough Surfaces and on Grarings[M] New York 1998
作者简介
赵光跃（1986-），男，硕士，研究方向为光通信和光信息处理。
关键词：表面等离子体激元；谐振环；时域有限差分法
表面等离子激元（surface plasmon polaritons）简称SPPs，表面等离子体激元是局限在金属表面的一种由自由电子和光子相互作用形成的激发态，它们本质上是光子和导体中的自由电子相互作用而被表面俘获的光波，或者说是自由电子和光波电磁场由于共振频率相同而形成的一种集体振荡态。
SPPs沿着导体—电解质分界面处传播，传播距离大约是几百纳米到几微米，其场分布在相邻的金属和介质中均成指数形式的衰减。SPPs在金属中的分布深度比入射光波长要小2个数量级，这就为实现在亚波长尺度的金属结构中形成光场的局域化和导波提供了可能。对由表面等离子波引起的光学特性的研究，将为光学器件的小型化设计提供理论基础，具有十分现实的意义。本文将对SPPs波导的色散特性进行简要的推导，并利用数值分析工具，对建立的波导-谐振环模型进行仿真研究，研究波导-谐振环相应的滤波特性。
1理论基础
表面等离子体激元是在金属和电介质界面间产生的，金属的自由电子与入射光电磁场产生耦合，引起集体振荡，激发出SPPs。其电场的波动方程如下
E=E0exp[i(kxx±kzz-ωt)](1)
对与理想的半无限大金属和电介质界面图，设定：x方向为光波的传播方向，z>0为真空，z<0是金属介质。其中εd是真空介电常数，εm是金属介电常数，k1是真空中的波矢量，km是金属中的波矢量。
当z>0时
它们决定电磁场随着远离界面呈指数衰减。
电磁场切向分量连续，要求在z=0界面
可以解出TM偏振光波下频率ω和波失k的色散关系
式(9)即为SPPs在某一特定频率下的波失，它在εm(ω)为复数时仍然成立，展开后ksp的实部和虚部可以表示
从以上两公式可以看出k′虚部k″sp与εi成正比，随着|εr|的增大，k′sp在逼近极限值″sp在减小，这就是SPPs的色散性质。SPPs的色散关系描述SPPs的光特性，是进行研究SPPs的基本理论基础。
2 仿真模型及数值分析
目前，电磁场常见的数值计算方法有：时域有限差分法(FDTD)、矩量法(MoM)、有限元法 (FEM)，以及边界元法(REM)等。本文将采用应用最广泛的时域有限差分法(FDTD)对图1所示的波导-谐振环模型进行仿真分析。
在图1的结构中光由入射端进入长直波导，通过共振环在出射端出射。出射强度是由直波导中的导模和环状波导中的导模相互干射决定，由于环形波导中的导模位相呈周期性变化，出射端的光场强度也将呈现一定的周期性变化。假设光在波导内的传播以及光的耦合是没有损耗的，而且在波导内只有单一模式传播，理论上透射率是
T=(12)
在上式中，θ是导模在环中每圈的相位的增加，α代表了导模在环中的损耗，包括了传播损耗和环的弯曲损耗，t=|t|exp(jφ)是复系数，表征的是没有被耦合进环形波导内的长直中的那部分导模。
图1的结构参数为：长直波导和谐振环的波导材料为空气，宽度W=300nm，谐振环的初始半径R=2.7μm，谐振环于长直波导间的距离g=100nm。光波从左至右输入，在长直波导右侧设立观察点，分析光波信息。
对图1的模型进行仿真分析。因为，只有TM模式才能激发SPPs波，因此光源采用平面波TM模，边界条件选取完全匹配层吸收边界条件PML。图2即为波导-谐振环模型仿真光强效果图。从图中我们看以清晰的看到，光波在长直波导的行进过程中有部分的能力耦合到谐振环中，这就证明了通过通过SPPs波确实能够实现光波能量的传递。
图3（a）标示在谐振环和长直波导间距g分别为100nm、150nm、200nm，谐振环R=2.9μm时的仿真效果图，从图中我们可以看出，在通信的常用波段1.3~1.6μm之间，谐振环存在着周期性的滤波特性。对比g=200nm和g=100nm，可以看到随着g的增大滤波效果明显减弱。从仿真图像中我们还可以看到对于不同的g，谐振环的滤波波长基本保持不变。
图3（b）标示了在改变谐振环半径R分别为2.5μm、2.7μm、2.9μm，g=100nm时的仿真效果图，从图中我们亦可以看出在1.3~1.6μm之间，谐振环周期性的滤波特性。更重要的是，随着谐振环半径的改变，谐振环的滤波波长发生搬移，这也就说明通过改变谐振环的半径，我们可以实现对不同波长的滤波效果，这在实际应用的很有现实意义。我们还可以看到随着半径的增大，环内的损耗相应增加，谐振环对光波的吸收效果更加明显，这与公式（12）相符合。
3结束语
通过在普通谐振环滤波器件涂覆金属材料，利用光波和金属表面自由电子相互激发形成表面等离子波可以达到滤除特定频率的光波的效果。通过对影响滤波效果的两个参数的研究，我们得出：谐振环与长直波导的间距不会对滤波波长产生重大影响，但随着间距的增大，谐振环的滤波能力明显减弱；谐振环的半径是影响模型滤波频率的重要因子，通过改变谐振环的半径，模型的滤波频率将发生变化；由于环形波导中的导模位相呈周期性变化，出射端的光场强度也呈现一定的周期性变化，这就为WDM波分复用技术提供了可能。?笮
参考文献
[1] H. Raether: Surface plasmons on smooth and rough surfaces and on gratings，Springer-Verlag，1988.
[2] W.L.BARNES，A.DEREUX and T.W.EBBESEN. “Surface Plasmon subwavelength optics”. Nature，424(6950):824-830，2003
[3] ODYSSEAS C.TSILIPAKOS“Theoretical Analysis of Microring Resonator Filters Made of Plasmonic Waveguides” 978-1-4244-4826-5/09/IEEE2009-9-22
[4] RAETHER H.“Surface Plasmons on Smooth and Rough Surfaces and on Greatings” SPringer，1988:p.1-p.27
[5] T. Holmgaard，S.I. Bozhevolnyi: Theoretical analysis of dielectric-loaded surface plasmon-polariton waveguides，Phys. Rev. B，vol. 75，245405，June 2006.
[6] R. Charbonneau，C. Scales，I. Breukelaar，S. Fafard，N. Lahoud，G. Mattiussi，and P. Berini，“Passive integrated optics elements based on long-range surface plasmon polaritons，” J. Lightw. Technol.，no. 24，pp. 477–494，2006.
[7] Heinz Raether Surface Plasmons on Smooth and Rough Surfaces and on Grarings[M] New York 1998
作者简介
赵光跃（1986-），男，硕士，研究方向为光通信和光信息处理。