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摘 要:多项式的因式分解是数学学习中一项基本的技能。在分式运算、解方程和各种恒等变换中都常用到因式分解。但多项式因式分解的方法灵活多变,在分解时需要各种技巧。本文对一元多项式的因式分解进行了初步探索,阐述了一元多项式分解的两种方法。
关键词:一元多项式;因式分解;分组分解;待定系数
在实际学习的过程中,总会遇到多项式因式分解的问题,但由于多项式的因式分解没有刻板的程序可以依循,往往使人感觉难度较大,不好掌握。本文主要是给出因式分解的两种比较容易和实用的方法。
1分组分解法
分组分解法是因式分解中常用的一种方法,运用此类方法分解的多项式各项之间的联系比较明显,有些项之间存在公因式,因此可以进行提取公因式等步骤。而此类解法常与拆项添项法合并使用,通过拆项或添项建立起各项之间的联系。
第一步:观察多项式的结构,可以适当利用拆项或添项的方法将多项式分成若干组;第二步:将分组情况进行适当的调整,使每組中各项可以提取公因式,且各组之间也有公因式存在;第三步:通过多次提取公因式,将多项式表示为几个部分的乘积,完成分解。
例题1:在有理数集内分解[x3+6x2+11x+6]的因式。
解:首先我们可以通过拆项将多项式分为有公因式的两组:
原式[=x3+6x2+11x+6=x3+6x2+9x+(2x+6)]
[=xx2+6x+9+2x+3=x(x+3)2+2(x+3)]
[=(x+3)xx+3+2] (1)
式有两项构成,但是方括号内的部分显然没有分解完成,而且项与项之间不含公因式,也不能直接利用公式和分组分解,故需打开括号重新组合。为了方便说明我们将中括号中的多项式单独提出来进行分解。
[xx+3+2=x2+3x+2=x2+x+2x+2=xx+1+2x+1=(x+1)(x+2)]
故[x3+6x2+11x+6=(x+1)(x+2)(x+3)]。
例题2:在有理数集内分解[x5+x-1]。
解:首先通过观察,我们发现,本题中[x5]与[x]的次数相差较大,我们可以考虑通过添加一些中间项,使它们产生联系。需要注意的是为了保持原式的不变,添加的项最后一定要减去。
原式[=x5+x+1=x5+x2-x2+x+1]
[=x2x3+1-(x2-x+1)]
[=x2x+1(x2-x+1)-(x2-x+1)]
[=(x2-x+1)(x3+x2-1)]。
2待定系数法
待定系数法相对于其他因式分解的方法更易掌握且适用范围较广,但其中利用到了综合除法的知识且最后需要求出各系数的值,计算较为繁杂。
第一步:利用综合除法试除常数项的因式,判定原式分解后所成的因式的乘积形式。
第二步:列出方程组,确定待定系数的值。
第三步:将各个待定系数的值代入相应的位置,完成分解。
例题3:在有理数集上分解因式[x4-x3+6x2-x+15]。
解:先用综合除法。可能的试除数是±1,±3,±5,±15,试除结果都被排除,因此原式在Q上没有一次因式。假定原式含有x的二次因式,设:
[x4-x3+6x2-x+15=x2+mx+kx2+nx+l]
[=x4+m+nx3+k+mn+lx2+ml+nkx+kl]
比较等式两端的系数,得[m+n=-1 (1)k+mn+l=6(2)ml+nk=-1 (3)kl=15 (4)]
(4)式中的k,l同是常数项15的因数,因此k和l的值可能是:
[k=3l=5k=5l=3k=-3l=-5k=-5l=-3]
将[k=3l=5]代入(3)得5m+3n=-1 (5)
将(1)(5)联立得[m=1n=-2]且k=3,l=5,m=1,n=-2满足(2)式。
因此m=1,n=-2,k=3,l=5是方程组的解。
所以[x4-x3+6x2-x+15=x2+x+3x2-2x+5]。
3利用因式定理和综合除法
此方法主要是利用因式定理(f(x)有因式x-a的充分必要条件是f(a)=0)来寻找整系数多项式f(x)的一次因式。当a是有理数时,可用综合除法来确定,这种方法的理论性较强,其主要依据是:若整系数多项式f(x)=[anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0]有因式x[-pq](p,q互质且均为整数),则p,q一定分别是[an]和[a0]的约数。
第一步:写出f(x)的首项系数[an]和常数项[a0]的所有因数;第二步:以[an]的因数为分母,[a0]的因数为分子,写出所有可能的既约分数,作为试除数;第三步:利用综合除法试除,确定f(x)的根;第四步:写出f(x)的标准分解式。
例题4:分解整系数多项式f(x)[=3x3-2x2+9x-6]的因式。
解:可能的试除数是±1,±2,±3,±6,±1/3,±2/3。
因为f(x)的奇次项系数都是正数,偶次项系数都是负数,故只选正的试除数即可,即:1,2,3,6,1/3,2/3。
f(1)=3-2+9-6≠0,则1排除,用2试除:
f(2)=28≠0,则2排除,同样3,6,1/3都排除,用2/3试除:
所以f(x)[=(x-23)3x2+9=(3x-2)(x2+3)]。
参考文献:
[1]牛继武.因式分解及其应用[M].天津科学出版社,1988,1.
[2]李长明,周焕山.初等数学研究[M].高等教育出版社,2016,12.
[3]张霞.多项式因式分解的方法[J].黑龙江科技信息,2012.
关键词:一元多项式;因式分解;分组分解;待定系数
在实际学习的过程中,总会遇到多项式因式分解的问题,但由于多项式的因式分解没有刻板的程序可以依循,往往使人感觉难度较大,不好掌握。本文主要是给出因式分解的两种比较容易和实用的方法。
1分组分解法
分组分解法是因式分解中常用的一种方法,运用此类方法分解的多项式各项之间的联系比较明显,有些项之间存在公因式,因此可以进行提取公因式等步骤。而此类解法常与拆项添项法合并使用,通过拆项或添项建立起各项之间的联系。
第一步:观察多项式的结构,可以适当利用拆项或添项的方法将多项式分成若干组;第二步:将分组情况进行适当的调整,使每組中各项可以提取公因式,且各组之间也有公因式存在;第三步:通过多次提取公因式,将多项式表示为几个部分的乘积,完成分解。
例题1:在有理数集内分解[x3+6x2+11x+6]的因式。
解:首先我们可以通过拆项将多项式分为有公因式的两组:
原式[=x3+6x2+11x+6=x3+6x2+9x+(2x+6)]
[=xx2+6x+9+2x+3=x(x+3)2+2(x+3)]
[=(x+3)xx+3+2] (1)
式有两项构成,但是方括号内的部分显然没有分解完成,而且项与项之间不含公因式,也不能直接利用公式和分组分解,故需打开括号重新组合。为了方便说明我们将中括号中的多项式单独提出来进行分解。
[xx+3+2=x2+3x+2=x2+x+2x+2=xx+1+2x+1=(x+1)(x+2)]
故[x3+6x2+11x+6=(x+1)(x+2)(x+3)]。
例题2:在有理数集内分解[x5+x-1]。
解:首先通过观察,我们发现,本题中[x5]与[x]的次数相差较大,我们可以考虑通过添加一些中间项,使它们产生联系。需要注意的是为了保持原式的不变,添加的项最后一定要减去。
原式[=x5+x+1=x5+x2-x2+x+1]
[=x2x3+1-(x2-x+1)]
[=x2x+1(x2-x+1)-(x2-x+1)]
[=(x2-x+1)(x3+x2-1)]。
2待定系数法
待定系数法相对于其他因式分解的方法更易掌握且适用范围较广,但其中利用到了综合除法的知识且最后需要求出各系数的值,计算较为繁杂。
第一步:利用综合除法试除常数项的因式,判定原式分解后所成的因式的乘积形式。
第二步:列出方程组,确定待定系数的值。
第三步:将各个待定系数的值代入相应的位置,完成分解。
例题3:在有理数集上分解因式[x4-x3+6x2-x+15]。
解:先用综合除法。可能的试除数是±1,±3,±5,±15,试除结果都被排除,因此原式在Q上没有一次因式。假定原式含有x的二次因式,设:
[x4-x3+6x2-x+15=x2+mx+kx2+nx+l]
[=x4+m+nx3+k+mn+lx2+ml+nkx+kl]
比较等式两端的系数,得[m+n=-1 (1)k+mn+l=6(2)ml+nk=-1 (3)kl=15 (4)]
(4)式中的k,l同是常数项15的因数,因此k和l的值可能是:
[k=3l=5k=5l=3k=-3l=-5k=-5l=-3]
将[k=3l=5]代入(3)得5m+3n=-1 (5)
将(1)(5)联立得[m=1n=-2]且k=3,l=5,m=1,n=-2满足(2)式。
因此m=1,n=-2,k=3,l=5是方程组的解。
所以[x4-x3+6x2-x+15=x2+x+3x2-2x+5]。
3利用因式定理和综合除法
此方法主要是利用因式定理(f(x)有因式x-a的充分必要条件是f(a)=0)来寻找整系数多项式f(x)的一次因式。当a是有理数时,可用综合除法来确定,这种方法的理论性较强,其主要依据是:若整系数多项式f(x)=[anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0]有因式x[-pq](p,q互质且均为整数),则p,q一定分别是[an]和[a0]的约数。
第一步:写出f(x)的首项系数[an]和常数项[a0]的所有因数;第二步:以[an]的因数为分母,[a0]的因数为分子,写出所有可能的既约分数,作为试除数;第三步:利用综合除法试除,确定f(x)的根;第四步:写出f(x)的标准分解式。
例题4:分解整系数多项式f(x)[=3x3-2x2+9x-6]的因式。
解:可能的试除数是±1,±2,±3,±6,±1/3,±2/3。
因为f(x)的奇次项系数都是正数,偶次项系数都是负数,故只选正的试除数即可,即:1,2,3,6,1/3,2/3。
f(1)=3-2+9-6≠0,则1排除,用2试除:
f(2)=28≠0,则2排除,同样3,6,1/3都排除,用2/3试除:
所以f(x)[=(x-23)3x2+9=(3x-2)(x2+3)]。
参考文献:
[1]牛继武.因式分解及其应用[M].天津科学出版社,1988,1.
[2]李长明,周焕山.初等数学研究[M].高等教育出版社,2016,12.
[3]张霞.多项式因式分解的方法[J].黑龙江科技信息,2012.