【摘要】 本文通过几道例子,阐述了高考中常见的几种数学思想方法,包括:函数与方程,数形结合,分类讨论等。
　　【关键词】 高考数学 思想 方法
　　【中图分类号】 G642 【文獻标识码】 A 【文章编号】 1006-5962(2012)06(a)-0002-02
　　高考数学考查的实质为对数学思想方法结合数学知识的考查,注重通解通法的掌握。数学思想一般认为分为如下几类:函数与方程、数形结合、分类讨论、化归与转化这几种。下面我们结合例题对这几类数学思想进行阐述。
　　1 函数与方程思想
　　函数思想的实质是用联系和变化的观点提出数学对象,抽象其数学特征,建立各变量之间固有的函数关系,通过函数形式,利用函数的有关性质去解决问题。方程思想的实质就是将所求的量设成未知数,用它表示问题中的其他各量,根据题中隐含的等量关系,列方程(组),通过解方程(组)或对方程(组)进行研究去解决问题。在高考的考查中,一般是把两者结合起来考查,函数重在对动态问题研究,方程则重在对静态问题的解决。
　　例1、设函数y＝与的图象交点为(,),则所在的区间是(　　)
　　A．(0,1) B．(1,2)
　　C．(2,3) D．(3,4)
　　解析:根据函数与方程关系,两函数的交点即转化为求函数f(x)＝－的零点所在的区间．由于f(1)＝1－2<0,f(2)＝8－1>0,所以x0∈(1,2)．答案:B
　　点评:由于函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的根,所以在研究方程的有关问题时,如比较方程根的大小,确定方程根的分布,证明根的存在,借助函数零点,结合函数图象加以解决．
　　2 数形结合思想
　　数学结合是根据数与形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想,包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面。数学结合思想可以使某些抽象的数学问题直观化、形象化,能够变抽象思维为形象思维,有助于把握数学问题的本质,发现解题思路,而且能避免复杂的计算与推理,大大简化了解题过程;数形结合的重点是研究“以形助数”,这在解选择题、填空题中更显其优越,要注意培养这种思想意识,做到心中有图,见数想图,以开拓自己的思维视野．
　　例2、已知集合,,若,求实数的取值范围.
　　分析:,欲求参数的取值范围,需建立关于的不等式,由可得端点之间的不等关系,进而求的范围
　　解析:.在数轴上表示集合A,B,如图所示.
　　由知,或,即或.
　　,或.
　　故所求的取值范围是.
　　3 分类讨论思想
　　在研究和解决数学问题时,当问题所给对象不能进行统一研究,我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点,将对象区分为不同种类,然后逐类进行研究和解决,从而达到解决整个问题的目的,这一思想方法,我们称它为“分类讨论的思想”．分类讨论本质上是“化整为零,各个击破”的解题策略．引起分类讨论原因,通常有以下几种:①由数学概念引起的讨论:主要是指有的概念本身是分类的,如绝对值、直线的斜率、指数函数、对数函数等;②由性质、定理、公式引起的分类讨论:有的数学定理、公式、性质是分类给出的,在不同的条件下结论不一致,如等比数列前n项和公式、均值不等式、函数的单调性等;③由图形引起的分类讨论:有的图形的类型、位置也要分类,如角的终边所在的象限,点、线、面的位置关系、圆锥曲线等;④由实际意义引起的讨论:此类问题在实际应用问题中常见;⑤由参数变化引起的讨论:某些用参数表达的式子由于参数取值不同,会导致不同的结果的需要讨论．当然,分类讨论时,我们要求讨论既不重复,也不遗漏。
　　例3、设函数f(x)＝ax－2x＋2,对于满足10,求实数a的取值范围。
　　【解析】当a>0时,f(x)＝a(x－)＋2－
　　∴或或
　　∴ a≥1或;
　　当a<0时,,解得φ;
　　当a＝0时,f(x)＝－2x＋2,f(1)＝0,f(4)＝－6,∴不合题意
　　注:题目中含有参数的问题(含参数型),主要包括:(1)含有参数的不等式的求解;(2)含有参数的方程的求解;(3)对于解析式系数是参数的函数,求最值与单调性问题;(4)二元二次方程表示曲线类型的判定等．求解这类问题的一般思路是:结合参数的意义及对结果的影响而进行分类讨论．讨论时,应全面分析参数变化引起结论的变化情况,参数有几何意义时还要考虑适当地运用数形结合思想．
　　4 化归与转化
　　化归与转换的思想,就是在研究和解决数学问题时采用某种方式,借助某种函数性质、图象、公式或已知条件将问题通过变换加以转化,进而达到解决问题的思想 等价转化总是将抽象转化为具体,复杂转化为简单、未知转化为已知,通过变换迅速而合理的寻找和选择问题解决的途径和方法