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摘 要：数学公式是一类用纯数学符号表达概念之间数量关系且在一定范围内恒成立的数学命题. 公式是高中数学知识的重要组成部分. 本文从一节课例出发，尝试探寻公式教学过程中各个环节的策略，为公式教学提供一些建议.
关键词：课堂实录；数学公式；教学策略
笔者近期听取了一节名为《三角函数诱导公式》的录像课，现以本节课为例，谈谈公式教学的策略问题. 本课由南京师范大学附属中学刘洪璐老师执教，所用教材为普通高中课程标准实验教科书（江苏教育出版社2008年出版，以下简称教材）必修4.
课堂实录分析
1. 问题情境，引入课题
片断一：
T：同学们，在前面的学习当中，咱们已经将角的概念由锐角扩充到任意角了，而且也已经知道了任意角三角函数的定义.那么任意角三角函数值怎么去求呢？先来看问题1：求出390°的正弦值、余弦值（PPT给出），请同学们思考.
T：那么和30°角终边相同的角的同名三角函数值都相等吗？？摇？摇
S2：相等. 终边相同的角计算三角函数值时都可以取终边与单位圆的交点，结果相同.
分析：进行公式教学时，应首先关注公式的来龙去脉. 所谓“来龙”不仅指对公式的推导. 笔者认为，公式存在的必要性也是“来龙”的一部分. 因此，公式的引入就显得非常重要. 本课以390°的正弦值、余弦值这个看似简单的问题激发学生对于任意角与常用角的同名三角函数值之间关系的探讨，使诱导公式的出现自然、不突兀.
2. 公式推导，方法总结
片断二：
T：非常好，这两个角的数量间有什么关系，它们角的终边间有什么关系？
S4：30°+150°= 180°，它们的终边关于y轴对称.
T：那就有sin（180°-30°）=sin30°. 同学们思考，式子中的30°用α替换是否成立？
S5：任作一个角的终边与单位圆交于P，作终边关于y轴的对称线与单位圆的交点P′，P与P′纵坐标相同（如图2），这两个终边表示的角的正弦值相同. （教师几何画板展示）
T：很好，总结一下，刚才我们怎么得到公式的？
S8：先作单位圆，找到α与180°-α的终边与单位圆交点，它们关于y轴对称，那么横坐标互为相反数，纵坐标相同，就有了正弦值、余弦值的关系，正切可由余弦与正弦得到.
T：非常好，我们得到如下的关系转化图.
（板书）？摇 角的关系→对称关系→坐标关系→三角函数值间的关系
下面同学们沿着这个思路，找找还有哪些角的终边与α在坐标系中有特殊的对称关系？它们的同名三角函数值有没有特殊的对应关系？
S9：（板演，作答）我研究的关于x轴对称，如果α在第一象限，关于x轴对称的角就在第四象限，可以用-α来表示，这时P′点横坐标与P点相同，纵坐标互为相反数（如图3），就可得到sin（-α）= -sinα，cos（-α）=cosα，tan（-α）=-tanα.
分析：三角函数的诱导公式是具有相关并列关系的公式群，相互之间结构类似，若通过死记硬背，往往容易产生混淆.
本例中通过师生合作找到了研究的共同出发点——图形中终边的对称关系. 从单位圆这一公共图形中开辟了一条相同的研究方法.学生通过自主探究，经历从数量关系到图形关系再到数量关系之间的相互转化，从而生成新的公式. 同时在公式记忆时，学生可将公式的代数映象转换为视觉映象，使抽象的数学知识形象化. 整个学习过程中，学生能主动用所掌握的知识进行师生、生生间的交流，由此学生数学学习能力与学习自信心得到增强.
3. 公式运用，深化理解
T：请同学们完成下列练习：
例1 求下列三角函数值
（2）cos（-60°）；
（3）tan（-855°）
（学生板演） ……
分析：本课练习只安排了例1.题目设置与本课的问题引入“求出390°的正弦值、余弦值”保持了呼应，使得整节课有问有答，前后呼应. 同时三个小题涉及不同情况下角的转化，对诱导公式进行了基本运用，且教师引导学生探寻不同的转化途径，题与题之间保证了统一性.
数学公式的教学策略
1. 公式引入的策略
在新公式的引入阶段，为了激发学生的意义学习，加深对所学公式的感知和理解，教师应尽力创设有利于学生集中注意、激发学习动机的情境，并以此情境为契机，促进学生调动原有知识结构与经验基础积极同化新公式.
（1）创设数学问题情境
在新公式学习之前，教师可以从与原有知识类似但原有知识无法解决的问题出发，激发学生学习的热情，促进学生温故知新. 学生若能以新旧知识的联系为桥梁，以新旧知识的区别为突破口，对新知识产生探究的渴望，那么这一情境的创设就是成功的. 如由“390°的正弦值、余弦值”引入诱导公式；再如由两角和与差的正余弦公式引入二倍角公式.
（2）创设生活实际情境
数学公式往往很多最初都来源于生活世界，但是当它们在教材中呈现时，这些生活面貌大多已经隐去了. 如果教师能在公式展示之前赋予这些公式生活的背景，那么学生就能从被动转为主动. 此时数学公式的外表往往也能更加亲和、容易接近，从而降低学生对于新知识的畏惧程度，消除他们对新知识的抵抗心理. 如教材必修5第39页等差数列前n项和的引入“某仓库堆放的一堆钢管，最上面的一层有4根钢管，下面的每一层都比上一层多一根，最下面的一层有9根，怎样计算这堆钢管的总数？”
（3）创设实验操作情境
公式引入也可以以一些简单的、可操作的数学实验来呈现.数学知识的发现并不一定要以严密的逻辑推理或证明形式呈现. 教师可以设计与教学内容有关的、便于课堂实施的实验，以此为索引，引导学生操作、归纳、猜想新知识，再通过逻辑论证得到数学公式. 如空间几何体的表面积公式的引入，可以在学生制作纸质的常见几何体，将几何体剪开得到侧面展开图的操作过程中引导学生找到表面积公式. （4）创设数学史情境
古今中外典籍里有很多问题的解决都与教育形态的数学知识相关，它们在历史长河中闪烁着智慧的光辉，教师有必要将这些无价之宝呈现给学生. 这一情境的创设过程可以是数学家发现新知识的契机，可以是知识发现过程中数学家所付出的努力，也可以是新知识在数学发展过程中的作用. 如等差数列求和公式的引入可以用一个学生熟知的高斯求1+2+3+…+100的和的故事，在学生给出答案后给出求1+4+7+…+67与求等差数列前n项和两个问题引导学生逐步深入.
2. 公式推导过程的策略
当学生通过各种情境对公式有初步朦胧认识的时候，数学公式的教学就要转向公式的推导，让学生在教师的带领下感受知识的产生、发展，主动参与新知识的构建.
（1）公式推导过程中的思维展现
教材中公式的面貌往往都是以最简洁的语言、最完善的符号来表达，而公式来源过程中那些真实存在过的观察、发现、猜想、探索、证明，以及种种尝试、种种失败都隐藏在完美结果的背后. 因此，教师在教学过程中必须要让学生感受到人的思维活动的存在，否则公式就只能是文字、符号，没有温度的堆砌.
公式教学过程中可以展现学生思考的思维活动. 每当学生展现一次思维过程，教师可通过问题系列的设计将学生带入更深层次的思考. 公式教学过程中可以展现的还有数学家的思维过程或数学教师的思维过程. 对于一些条件隐藏得较深、推导目标又所知甚少的问题，教师不妨还原教师或数学家推导公式的历程，让学生看到真实的思维过程是怎样的. 如教材选修2-2推理案例赏析中的“棱台体积的推导. 这一过程并不一定要直接指向正确的解答，而是要让学生看到教师或前人如何发现成果或如何从困境中寻找新的思路.
（2）公式推导过程中的思想方法总结
数学学习过程中蕴涵着众多的数学思想与数学方法，如数学方法中有给人们如何思考、探索、发现的逻辑思维方法，包括一般化、归纳、类比等；有较为固定的操作步骤的操作程序方法，如待定系数法；也有解法奇妙的技巧性方法、非常规方法. 数学思想中有以相关数学概念为内容背景的概念型数学思想，如函数思想、方程思想、公理化思想等.
在公式的教学过程中，教师要努力让公式课成为以知识为明线，以思想为暗线的发展过程. 随着多节课在不同公式、不同知识点中反复分析、提炼、概括、反思，学生数学思想方法的习得将不再是难事，公式的教学价值也将得以充分发挥.
3. 数学公式运用的教学策略
学生在掌握了公式的来龙去脉后将进入公式运用阶段. 这一阶段教师要给学生创设由简单到复杂、由单一到多重、从抽象到实际的问题背景，促进学生对公式的理解.
（1）公式运用中呈现载体的选择
根据数学背景的不同可分为纯数学题与应用题. 公式运用的呈现载体可以是在数学知识系统内部，也可以是在实际中. 例如，“已知直角梯形ABCD，AB∥CD，AB=9 m，CD=15 m，∠CAD=45°，求直角梯形的一条腰BD的长”，这是一条纯数学题，给它赋予不同的实际背景便得到教材必修4第103页的数学应用题例5：“如图4，两座建筑物AB，CD的高度分别是9 m和15 m，从建筑物AB的顶部A看建筑物CD的张角∠CAD=45°，求建筑物AB和CD的底部之间的距离BD”.
（2）公式运用中的认知层次
可变形为a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC，也可变形为a=ksinA，b=ksinB，c=ksinC.
公式教学应是公式自然出现、公式探索推导、公式灵活运用三位一体的过程. 每个环节都需要教师精心设计，学生充分参与，长此反复，公式教学才能成为学生数学学习的知识动力、情感源泉.
关键词：课堂实录；数学公式；教学策略
笔者近期听取了一节名为《三角函数诱导公式》的录像课，现以本节课为例，谈谈公式教学的策略问题. 本课由南京师范大学附属中学刘洪璐老师执教，所用教材为普通高中课程标准实验教科书（江苏教育出版社2008年出版，以下简称教材）必修4.
课堂实录分析
1. 问题情境，引入课题
片断一：
T：同学们，在前面的学习当中，咱们已经将角的概念由锐角扩充到任意角了，而且也已经知道了任意角三角函数的定义.那么任意角三角函数值怎么去求呢？先来看问题1：求出390°的正弦值、余弦值（PPT给出），请同学们思考.
T：那么和30°角终边相同的角的同名三角函数值都相等吗？？摇？摇
S2：相等. 终边相同的角计算三角函数值时都可以取终边与单位圆的交点，结果相同.
分析：进行公式教学时，应首先关注公式的来龙去脉. 所谓“来龙”不仅指对公式的推导. 笔者认为，公式存在的必要性也是“来龙”的一部分. 因此，公式的引入就显得非常重要. 本课以390°的正弦值、余弦值这个看似简单的问题激发学生对于任意角与常用角的同名三角函数值之间关系的探讨，使诱导公式的出现自然、不突兀.
2. 公式推导，方法总结
片断二：
T：非常好，这两个角的数量间有什么关系，它们角的终边间有什么关系？
S4：30°+150°= 180°，它们的终边关于y轴对称.
T：那就有sin（180°-30°）=sin30°. 同学们思考，式子中的30°用α替换是否成立？
S5：任作一个角的终边与单位圆交于P，作终边关于y轴的对称线与单位圆的交点P′，P与P′纵坐标相同（如图2），这两个终边表示的角的正弦值相同. （教师几何画板展示）
T：很好，总结一下，刚才我们怎么得到公式的？
S8：先作单位圆，找到α与180°-α的终边与单位圆交点，它们关于y轴对称，那么横坐标互为相反数，纵坐标相同，就有了正弦值、余弦值的关系，正切可由余弦与正弦得到.
T：非常好，我们得到如下的关系转化图.
（板书）？摇 角的关系→对称关系→坐标关系→三角函数值间的关系
下面同学们沿着这个思路，找找还有哪些角的终边与α在坐标系中有特殊的对称关系？它们的同名三角函数值有没有特殊的对应关系？
S9：（板演，作答）我研究的关于x轴对称，如果α在第一象限，关于x轴对称的角就在第四象限，可以用-α来表示，这时P′点横坐标与P点相同，纵坐标互为相反数（如图3），就可得到sin（-α）= -sinα，cos（-α）=cosα，tan（-α）=-tanα.
分析：三角函数的诱导公式是具有相关并列关系的公式群，相互之间结构类似，若通过死记硬背，往往容易产生混淆.
本例中通过师生合作找到了研究的共同出发点——图形中终边的对称关系. 从单位圆这一公共图形中开辟了一条相同的研究方法.学生通过自主探究，经历从数量关系到图形关系再到数量关系之间的相互转化，从而生成新的公式. 同时在公式记忆时，学生可将公式的代数映象转换为视觉映象，使抽象的数学知识形象化. 整个学习过程中，学生能主动用所掌握的知识进行师生、生生间的交流，由此学生数学学习能力与学习自信心得到增强.
3. 公式运用，深化理解
T：请同学们完成下列练习：
例1 求下列三角函数值
（2）cos（-60°）；
（3）tan（-855°）
（学生板演） ……
分析：本课练习只安排了例1.题目设置与本课的问题引入“求出390°的正弦值、余弦值”保持了呼应，使得整节课有问有答，前后呼应. 同时三个小题涉及不同情况下角的转化，对诱导公式进行了基本运用，且教师引导学生探寻不同的转化途径，题与题之间保证了统一性.
数学公式的教学策略
1. 公式引入的策略
在新公式的引入阶段，为了激发学生的意义学习，加深对所学公式的感知和理解，教师应尽力创设有利于学生集中注意、激发学习动机的情境，并以此情境为契机，促进学生调动原有知识结构与经验基础积极同化新公式.
（1）创设数学问题情境
在新公式学习之前，教师可以从与原有知识类似但原有知识无法解决的问题出发，激发学生学习的热情，促进学生温故知新. 学生若能以新旧知识的联系为桥梁，以新旧知识的区别为突破口，对新知识产生探究的渴望，那么这一情境的创设就是成功的. 如由“390°的正弦值、余弦值”引入诱导公式；再如由两角和与差的正余弦公式引入二倍角公式.
（2）创设生活实际情境
数学公式往往很多最初都来源于生活世界，但是当它们在教材中呈现时，这些生活面貌大多已经隐去了. 如果教师能在公式展示之前赋予这些公式生活的背景，那么学生就能从被动转为主动. 此时数学公式的外表往往也能更加亲和、容易接近，从而降低学生对于新知识的畏惧程度，消除他们对新知识的抵抗心理. 如教材必修5第39页等差数列前n项和的引入“某仓库堆放的一堆钢管，最上面的一层有4根钢管，下面的每一层都比上一层多一根，最下面的一层有9根，怎样计算这堆钢管的总数？”
（3）创设实验操作情境
公式引入也可以以一些简单的、可操作的数学实验来呈现.数学知识的发现并不一定要以严密的逻辑推理或证明形式呈现. 教师可以设计与教学内容有关的、便于课堂实施的实验，以此为索引，引导学生操作、归纳、猜想新知识，再通过逻辑论证得到数学公式. 如空间几何体的表面积公式的引入，可以在学生制作纸质的常见几何体，将几何体剪开得到侧面展开图的操作过程中引导学生找到表面积公式. （4）创设数学史情境
古今中外典籍里有很多问题的解决都与教育形态的数学知识相关，它们在历史长河中闪烁着智慧的光辉，教师有必要将这些无价之宝呈现给学生. 这一情境的创设过程可以是数学家发现新知识的契机，可以是知识发现过程中数学家所付出的努力，也可以是新知识在数学发展过程中的作用. 如等差数列求和公式的引入可以用一个学生熟知的高斯求1+2+3+…+100的和的故事，在学生给出答案后给出求1+4+7+…+67与求等差数列前n项和两个问题引导学生逐步深入.
2. 公式推导过程的策略
当学生通过各种情境对公式有初步朦胧认识的时候，数学公式的教学就要转向公式的推导，让学生在教师的带领下感受知识的产生、发展，主动参与新知识的构建.
（1）公式推导过程中的思维展现
教材中公式的面貌往往都是以最简洁的语言、最完善的符号来表达，而公式来源过程中那些真实存在过的观察、发现、猜想、探索、证明，以及种种尝试、种种失败都隐藏在完美结果的背后. 因此，教师在教学过程中必须要让学生感受到人的思维活动的存在，否则公式就只能是文字、符号，没有温度的堆砌.
公式教学过程中可以展现学生思考的思维活动. 每当学生展现一次思维过程，教师可通过问题系列的设计将学生带入更深层次的思考. 公式教学过程中可以展现的还有数学家的思维过程或数学教师的思维过程. 对于一些条件隐藏得较深、推导目标又所知甚少的问题，教师不妨还原教师或数学家推导公式的历程，让学生看到真实的思维过程是怎样的. 如教材选修2-2推理案例赏析中的“棱台体积的推导. 这一过程并不一定要直接指向正确的解答，而是要让学生看到教师或前人如何发现成果或如何从困境中寻找新的思路.
（2）公式推导过程中的思想方法总结
数学学习过程中蕴涵着众多的数学思想与数学方法，如数学方法中有给人们如何思考、探索、发现的逻辑思维方法，包括一般化、归纳、类比等；有较为固定的操作步骤的操作程序方法，如待定系数法；也有解法奇妙的技巧性方法、非常规方法. 数学思想中有以相关数学概念为内容背景的概念型数学思想，如函数思想、方程思想、公理化思想等.
在公式的教学过程中，教师要努力让公式课成为以知识为明线，以思想为暗线的发展过程. 随着多节课在不同公式、不同知识点中反复分析、提炼、概括、反思，学生数学思想方法的习得将不再是难事，公式的教学价值也将得以充分发挥.
3. 数学公式运用的教学策略
学生在掌握了公式的来龙去脉后将进入公式运用阶段. 这一阶段教师要给学生创设由简单到复杂、由单一到多重、从抽象到实际的问题背景，促进学生对公式的理解.
（1）公式运用中呈现载体的选择
根据数学背景的不同可分为纯数学题与应用题. 公式运用的呈现载体可以是在数学知识系统内部，也可以是在实际中. 例如，“已知直角梯形ABCD，AB∥CD，AB=9 m，CD=15 m，∠CAD=45°，求直角梯形的一条腰BD的长”，这是一条纯数学题，给它赋予不同的实际背景便得到教材必修4第103页的数学应用题例5：“如图4，两座建筑物AB，CD的高度分别是9 m和15 m，从建筑物AB的顶部A看建筑物CD的张角∠CAD=45°，求建筑物AB和CD的底部之间的距离BD”.
（2）公式运用中的认知层次
可变形为a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC，也可变形为a=ksinA，b=ksinB，c=ksinC.
公式教学应是公式自然出现、公式探索推导、公式灵活运用三位一体的过程. 每个环节都需要教师精心设计，学生充分参与，长此反复，公式教学才能成为学生数学学习的知识动力、情感源泉.