论文部分内容阅读
摘 要：在初中数学教学中，通过数形结合思想引导教学，可提高学生的学习效率，并使其对数学知识的掌握和应用更加准确和灵活，帮助学生将数学知识化繁为简、化抽象为具体。因此，教师应充分利用数形结合的思想引导学生掌握其学习方法，并逐渐树立学生这种数形结合的思维模式，使其建立正确的数学观念，从而推动数学高效高质的教学发展。
关键词：初中数学；数形结合；思想；教学研究；案例分析
初中数学数形结合思想已成为当前应用非常普遍且十分有效的一种数学理念，逐渐凸显出这种数形结合思想的重要作用。数形结合思想实际上即是将一些抽象、理解难度大的数学知识转化为图形的特征，变抽象为具体，降低学生数学学习的理解和掌握难度。所以，初中数学教师应引导学生掌握这种数形结合的思想，使其形成科学而有效的思维方式，并逐步借助这种数学学习思想来提升学生的数学学习水平及能力。
一、 有关初中数学数形结合思想教学的研究
（一） 初中数学数形结合的内容简述
数形结合，具体即是通过多媒体教具的辅助以及结合教师在黑板上的必要板书的方式，将教材中的很多数学知识利用具体而形象的图形呈现出来，引导学生把这些知识在图形结构的转化过程中，再输入至大脑，使其有一个更加直观、具体的感受和消化。数字和图形进行结合起来，即是达到把数学中的抽象通过图形化为具体，使其产生关联性，从而深化学生对知识的理解和掌握，提高数学教学的效率和质量，并不断优化学生的学习方法。
（二） 初中数学数形结合思想的重要作用分析
1. 通过函数图像获得函数性质来解答数学问题
在初中数学知识的学习过程中，其中贯穿整个学习过程的必然是函数知识的学习。如，在七年级需要学到反比函数，八、九年级学的一次函数、二次函数，都有数形结合思想一直贯穿于学习过程中，而且初中数学知识的图像到性质，再从性质延伸到各种数学习题，都与数形结合有着不可分割的关联性。通常情况下，在数学的应试题目中，最后一道题一般即是考查学生对二次函数的掌握情况。在二次函数的图像中可判断出a、b、c，并求出其定点坐标，且随着抛物线的平移也可明确看到对称轴、顶点坐标的变化过程。因此，若初中数学学习中，只要对a、b、c的图像应用情况掌握良好，即可达到对二次函数的活学活用。所以，教师应根据教学内容及教学目标引导学生把数、形有机结合起来，更加高效高质地解决数学问题，提高学生的数学解题能力。
2. 可提升学生对数学解题验算的应用能力
通过把数学知识图形化来解决数学问题，这是数形结合思想的核心和关键，学生利用这种数形结合思想把抽象、繁琐或太难的数学知识转化为简单、具体、形象的数学学习模式，经过学生利用数形结合思想来对数形模型的内在联系进行观察、分析和思考，从而提高学生对习题的理解能力，化繁为简、化难为易，找到解题的突破口，促进学生对数学解题验算的应用能力。
3. 通过数形结合使得应用题简单容易化
初中数学教学的过程中，其中占据相当大比例的要数应用题了，而且初中数学应用题要比小学应用题的难度更大，这就导致一些学生在做题的过程中遇到的障碍很多，无法快速准确地解答出答案。在引导学生学习一元一次方程的过程中，教师应让学生养成认真自主阅读数学习题的好习惯，从给出的条件中获取重要信息，并综合分析各个信息之间的关联性。而且，在面对有些应用题时，若通过坐标系的做题方式，先画出函数图形，从中来分析问题，可以提高解题效率及质量，并不断调动学生解题的信心和积极性，逐步提升应用题的解题能力。
二、 当前初中学生数学学习的基本现状
当前，大部分学生之所以努力学习数学，其根本出发点即是为了最终的中考，所以他们在日常学习中，更加注重考试的题型以及如何找到最为简便准确的解题方法，并没有意识到数学思想的重要作用。因而大部分学生的学习仅仅只是为追求分数的提升，而在数学思维上却在很大程度上受到一定的限制和束缚，学生在面对一些现实场景的题目时，往往无从下手、束手无策。尤其是数学题，大部分题型都需要首先理清题意，在此基础上才能掌握其解题思路。再加上数学知识有一定的抽象性，部分学生无法将这些死板或理论性的知识转化为灵活可运用的知识，长此以往也就加大了学生学习数学的难度，无法达到有效的学习效果，甚至会产生厌学或抵触情绪，对自己的学习能力失去信心。
三、 初中数学教学中数形结合思想的案例分析
（一） 以数化形的方法应用
初中数学知识的学习过程中，有些数学关系有着一定的抽象性特点，很多学生在学习和理解的过程中有一定的难度，把握不好就可能影响学生的知识运用效果。而此时教师通过数形结合思想，實现直观、形象的数学图形的教学引导，可化抽象为具体，提高数学教学质量。那么在初中教学中，把数量问题转化为图形问题主要有两种方法，几何知识的和平面几何知识的解析。这种以数化形的学习方法最大的优势主要包括以下几个方面：首先可使得抽象、理解难度大的代数语言转化成更加直观、具体的几何，这样就简化了学生推理或计算的复杂性，提高了学习效率；同时，可引导学生把一些抽象复杂的代数关系利用最为形象直接的图形来阐述和理解，从而提高学生的数学解题能力。例如，在引导教学平方差公式的过程中，可充分利用数形结合的思想。通过利用多项式×多项式的法则来计算出以下多项式：（2x 1）（2x-1），（m 2）（m-2）。当学生计算完之后，可比较这些计算结果，并探索总结出其中的规律。接着，再利用这个法则计算（a b）（a-b），最后表示出平方差公式的内容，并再次与几何图形相结合的方式说明这个平方差公式，探索出平方差公式所具有的几何意义，这样即可非常具体、容易且形象地掌握和理解平方差公式（如图1）。又如，如教学“一元一次不等式”的教学过程中，“判断76、73、79、80、60、90这些数中，哪一个数是不等式x>55的解，以及此不等式的解有多少个呢？”，此时教师可引导学生通过数形结合思想的应用，把代数问题变为图形问题来解决，然后即可直观的通过图形找到答案。 （二） 图形助数字的方法应用
数形结合思想的教学应用中，使用最为广泛的一种即是图形助数字这种教学方法。例如，在教学“幂的乘除”“因式分解”的过程中，教师可让学生利用长方形的面积推导出平方差公式。如这样一个例题：利用求图形面积的方法，证明两个数和的完全平方公式。大正方形的面积为（a b）（a b）即是（a b）2，把大正方形的面积分为多个小正方形的面积，此时的和分别为a2，2ab和b2，进而得到（a b）2=a2 2ab b2。初中的数学知识的教学引导过程中，数形结合的思想起到了至关重要的作用，通过把数字解图形和以图形助数字这两种方法进行融合贯穿起来加以运用，可以引导学生对知识的理解更加具体、容易和简便，尤其是若教师能把握好运用数形结合思想的时机和方法，即可使得这种数形结合的思想在学生的数学学习中充分发挥促进和提升作用。
（三） 以形变数的方法应用
图形虽然有着非常形象、直观的优势特点，引导学生的抽象思维可形象具体化，但这就需要借助计算代数来实现其定量，特别是如果学生只是观察一些比较复杂的图形，那么在很大程度上是无法快速找到规律或得到结论，于此，就需要对“形”的相对应形式“数”加以合理利用，这样才能有效挖掘图形中所隐含的条件，通过利用数量来解决图形问题，并结合逻辑思维的推理方法和分析计算之后，即可有效解决图形问题。例如，在教学对角的平分线的性质时，教材中介绍了有关平分角的仪器，并引导学生探究学习了平分角仪器的原理，在此过程中即可让学生利用尺规作出其中已知角的平分线，接着，再让学生自主动手实践来进行折纸，折叠一个∠AOB，最后一步则是折出一个直角三角形，此时教师可引导学生观察学生所折叠出来的图形中的折痕长度及数量，并最终总结得出角的平分线的性质定理，并提供非常严格的推理过程。
（四） 数学解题中数形相结合的方法应用
在这样的一道例题中：0>b>a，比较a，-a，b，-b的大小。那么，在引导学生分析这个问题的过程中，最简便的方法即是把这四个点通过数轴表示出来，以此能提高比较的准确性，能让学生从数轴上一目了然地看到正确答案，也即是-a>-b>b>a（如图2）。为了让学生对数学解题有一个更加全局性的思路和方法，教材中相反数的概念非常简单，学生理解起来没有难度，学完大部分学生能得出一个数的相反数，实际上即是改变一个数的符号即可得出这个数的相反数，通过数轴的表示方式，可非常清晰明了地呈现出相反数的概念，并非常直观地演示给学生，使其自主看数轴总结出相反数的“对称性”。
（五） 数形互变的方法应用
数形互变这种方法，并非只是用于把代数问题转化为几何的解题方法，或者是把几何问题转化为代数的解题思路，而是在数学计算的过程中，转化代数、几何之间的关系，从而解答各种数学问题。如，在引导学生学习“勾股定理”的知识内容时，主要经历这样的学习过程：发现问题—分析探究问题—猜想问题—验证问题—总结问题，教师可通过情境教学的创设，把学生带入毕达哥拉斯的数学图形问题中，“三种颜色不相同的正方形，每一个正方形的边长是等腰三角形的三边，可把每一个小正方形的个数计算出来，由此来判断三个正方形的面积，然后对图形中等腰三角形的数学性质进行判断。”此时，学生對数学图像进行观察，对直角三角形每一条边之间所具有的数量关系进行判断，然后把蓝色正方形的面积计算出来，并结合小正方形的数量以及正方形的面积可判断出三角形和正方形之间的关系，这个过程即是从代数问题转化到图像问题，并进而转化为数学问题，学生经过观察、思考、猜想、探讨，并最终总结得到“勾股定理”。
四、 结束语
综上所述，在初中数学教学过程中，教师应意识到数形结合思想方法在数学知识引导中的重要作用，并将这种思想根据教学内容有针对性地应用于教材的实践教学中去，使得数形结合思想的教学方法充分发挥作用，引导学生逐渐树立这种数学观，并在解答数学题的过程中，掌握准确的解题思路，化繁为简、化难为易，提升学生的数学逻辑思维能力，逐渐才能使得学生的数学学习能力不断增强，促进我国初中数学教学整体水平的发展。
参考文献：
[1]周红英.初中数学数形结合思想教学研究[J].中国校外教育（上旬刊），2015（4）：71.
[2]石丽娟.谈新课标下的初中数学“数形结合”思想[J].试题与研究（教学论坛），2013，27（34）：40.
[3]李雪松.初中数学数形结合思想的研究和应用[J].速读（上旬），2018，16（2）：136.
[4]郑勋.初中数学数形结合思想教学研究与案例分析[J].课程教育研究，2017，25（15）：274，180.
[5]冉瑞文，周庆文.初中数学数形结合思想教学研究[J].中学教学参考，2017，27（14）：15-16.
[6]候海朋.初中数学数形结合思想教学研究与案例探析[J].都市家教（下半月），2016，15（2）：102-103.
[7]李红雪.春的播种，秋的收获——谈初中数学数形结合思想的有效渗透[J].新课程·中学，2014，23（6）：189.
作者简介：
王旭浩，浙江省临安市，临安市天目初级中学。
关键词：初中数学；数形结合；思想；教学研究；案例分析
初中数学数形结合思想已成为当前应用非常普遍且十分有效的一种数学理念，逐渐凸显出这种数形结合思想的重要作用。数形结合思想实际上即是将一些抽象、理解难度大的数学知识转化为图形的特征，变抽象为具体，降低学生数学学习的理解和掌握难度。所以，初中数学教师应引导学生掌握这种数形结合的思想，使其形成科学而有效的思维方式，并逐步借助这种数学学习思想来提升学生的数学学习水平及能力。
一、 有关初中数学数形结合思想教学的研究
（一） 初中数学数形结合的内容简述
数形结合，具体即是通过多媒体教具的辅助以及结合教师在黑板上的必要板书的方式，将教材中的很多数学知识利用具体而形象的图形呈现出来，引导学生把这些知识在图形结构的转化过程中，再输入至大脑，使其有一个更加直观、具体的感受和消化。数字和图形进行结合起来，即是达到把数学中的抽象通过图形化为具体，使其产生关联性，从而深化学生对知识的理解和掌握，提高数学教学的效率和质量，并不断优化学生的学习方法。
（二） 初中数学数形结合思想的重要作用分析
1. 通过函数图像获得函数性质来解答数学问题
在初中数学知识的学习过程中，其中贯穿整个学习过程的必然是函数知识的学习。如，在七年级需要学到反比函数，八、九年级学的一次函数、二次函数，都有数形结合思想一直贯穿于学习过程中，而且初中数学知识的图像到性质，再从性质延伸到各种数学习题，都与数形结合有着不可分割的关联性。通常情况下，在数学的应试题目中，最后一道题一般即是考查学生对二次函数的掌握情况。在二次函数的图像中可判断出a、b、c，并求出其定点坐标，且随着抛物线的平移也可明确看到对称轴、顶点坐标的变化过程。因此，若初中数学学习中，只要对a、b、c的图像应用情况掌握良好，即可达到对二次函数的活学活用。所以，教师应根据教学内容及教学目标引导学生把数、形有机结合起来，更加高效高质地解决数学问题，提高学生的数学解题能力。
2. 可提升学生对数学解题验算的应用能力
通过把数学知识图形化来解决数学问题，这是数形结合思想的核心和关键，学生利用这种数形结合思想把抽象、繁琐或太难的数学知识转化为简单、具体、形象的数学学习模式，经过学生利用数形结合思想来对数形模型的内在联系进行观察、分析和思考，从而提高学生对习题的理解能力，化繁为简、化难为易，找到解题的突破口，促进学生对数学解题验算的应用能力。
3. 通过数形结合使得应用题简单容易化
初中数学教学的过程中，其中占据相当大比例的要数应用题了，而且初中数学应用题要比小学应用题的难度更大，这就导致一些学生在做题的过程中遇到的障碍很多，无法快速准确地解答出答案。在引导学生学习一元一次方程的过程中，教师应让学生养成认真自主阅读数学习题的好习惯，从给出的条件中获取重要信息，并综合分析各个信息之间的关联性。而且，在面对有些应用题时，若通过坐标系的做题方式，先画出函数图形，从中来分析问题，可以提高解题效率及质量，并不断调动学生解题的信心和积极性，逐步提升应用题的解题能力。
二、 当前初中学生数学学习的基本现状
当前，大部分学生之所以努力学习数学，其根本出发点即是为了最终的中考，所以他们在日常学习中，更加注重考试的题型以及如何找到最为简便准确的解题方法，并没有意识到数学思想的重要作用。因而大部分学生的学习仅仅只是为追求分数的提升，而在数学思维上却在很大程度上受到一定的限制和束缚，学生在面对一些现实场景的题目时，往往无从下手、束手无策。尤其是数学题，大部分题型都需要首先理清题意，在此基础上才能掌握其解题思路。再加上数学知识有一定的抽象性，部分学生无法将这些死板或理论性的知识转化为灵活可运用的知识，长此以往也就加大了学生学习数学的难度，无法达到有效的学习效果，甚至会产生厌学或抵触情绪，对自己的学习能力失去信心。
三、 初中数学教学中数形结合思想的案例分析
（一） 以数化形的方法应用
初中数学知识的学习过程中，有些数学关系有着一定的抽象性特点，很多学生在学习和理解的过程中有一定的难度，把握不好就可能影响学生的知识运用效果。而此时教师通过数形结合思想，實现直观、形象的数学图形的教学引导，可化抽象为具体，提高数学教学质量。那么在初中教学中，把数量问题转化为图形问题主要有两种方法，几何知识的和平面几何知识的解析。这种以数化形的学习方法最大的优势主要包括以下几个方面：首先可使得抽象、理解难度大的代数语言转化成更加直观、具体的几何，这样就简化了学生推理或计算的复杂性，提高了学习效率；同时，可引导学生把一些抽象复杂的代数关系利用最为形象直接的图形来阐述和理解，从而提高学生的数学解题能力。例如，在引导教学平方差公式的过程中，可充分利用数形结合的思想。通过利用多项式×多项式的法则来计算出以下多项式：（2x 1）（2x-1），（m 2）（m-2）。当学生计算完之后，可比较这些计算结果，并探索总结出其中的规律。接着，再利用这个法则计算（a b）（a-b），最后表示出平方差公式的内容，并再次与几何图形相结合的方式说明这个平方差公式，探索出平方差公式所具有的几何意义，这样即可非常具体、容易且形象地掌握和理解平方差公式（如图1）。又如，如教学“一元一次不等式”的教学过程中，“判断76、73、79、80、60、90这些数中，哪一个数是不等式x>55的解，以及此不等式的解有多少个呢？”，此时教师可引导学生通过数形结合思想的应用，把代数问题变为图形问题来解决，然后即可直观的通过图形找到答案。 （二） 图形助数字的方法应用
数形结合思想的教学应用中，使用最为广泛的一种即是图形助数字这种教学方法。例如，在教学“幂的乘除”“因式分解”的过程中，教师可让学生利用长方形的面积推导出平方差公式。如这样一个例题：利用求图形面积的方法，证明两个数和的完全平方公式。大正方形的面积为（a b）（a b）即是（a b）2，把大正方形的面积分为多个小正方形的面积，此时的和分别为a2，2ab和b2，进而得到（a b）2=a2 2ab b2。初中的数学知识的教学引导过程中，数形结合的思想起到了至关重要的作用，通过把数字解图形和以图形助数字这两种方法进行融合贯穿起来加以运用，可以引导学生对知识的理解更加具体、容易和简便，尤其是若教师能把握好运用数形结合思想的时机和方法，即可使得这种数形结合的思想在学生的数学学习中充分发挥促进和提升作用。
（三） 以形变数的方法应用
图形虽然有着非常形象、直观的优势特点，引导学生的抽象思维可形象具体化，但这就需要借助计算代数来实现其定量，特别是如果学生只是观察一些比较复杂的图形，那么在很大程度上是无法快速找到规律或得到结论，于此，就需要对“形”的相对应形式“数”加以合理利用，这样才能有效挖掘图形中所隐含的条件，通过利用数量来解决图形问题，并结合逻辑思维的推理方法和分析计算之后，即可有效解决图形问题。例如，在教学对角的平分线的性质时，教材中介绍了有关平分角的仪器，并引导学生探究学习了平分角仪器的原理，在此过程中即可让学生利用尺规作出其中已知角的平分线，接着，再让学生自主动手实践来进行折纸，折叠一个∠AOB，最后一步则是折出一个直角三角形，此时教师可引导学生观察学生所折叠出来的图形中的折痕长度及数量，并最终总结得出角的平分线的性质定理，并提供非常严格的推理过程。
（四） 数学解题中数形相结合的方法应用
在这样的一道例题中：0>b>a，比较a，-a，b，-b的大小。那么，在引导学生分析这个问题的过程中，最简便的方法即是把这四个点通过数轴表示出来，以此能提高比较的准确性，能让学生从数轴上一目了然地看到正确答案，也即是-a>-b>b>a（如图2）。为了让学生对数学解题有一个更加全局性的思路和方法，教材中相反数的概念非常简单，学生理解起来没有难度，学完大部分学生能得出一个数的相反数，实际上即是改变一个数的符号即可得出这个数的相反数，通过数轴的表示方式，可非常清晰明了地呈现出相反数的概念，并非常直观地演示给学生，使其自主看数轴总结出相反数的“对称性”。
（五） 数形互变的方法应用
数形互变这种方法，并非只是用于把代数问题转化为几何的解题方法，或者是把几何问题转化为代数的解题思路，而是在数学计算的过程中，转化代数、几何之间的关系，从而解答各种数学问题。如，在引导学生学习“勾股定理”的知识内容时，主要经历这样的学习过程：发现问题—分析探究问题—猜想问题—验证问题—总结问题，教师可通过情境教学的创设，把学生带入毕达哥拉斯的数学图形问题中，“三种颜色不相同的正方形，每一个正方形的边长是等腰三角形的三边，可把每一个小正方形的个数计算出来，由此来判断三个正方形的面积，然后对图形中等腰三角形的数学性质进行判断。”此时，学生對数学图像进行观察，对直角三角形每一条边之间所具有的数量关系进行判断，然后把蓝色正方形的面积计算出来，并结合小正方形的数量以及正方形的面积可判断出三角形和正方形之间的关系，这个过程即是从代数问题转化到图像问题，并进而转化为数学问题，学生经过观察、思考、猜想、探讨，并最终总结得到“勾股定理”。
四、 结束语
综上所述，在初中数学教学过程中，教师应意识到数形结合思想方法在数学知识引导中的重要作用，并将这种思想根据教学内容有针对性地应用于教材的实践教学中去，使得数形结合思想的教学方法充分发挥作用，引导学生逐渐树立这种数学观，并在解答数学题的过程中，掌握准确的解题思路，化繁为简、化难为易，提升学生的数学逻辑思维能力，逐渐才能使得学生的数学学习能力不断增强，促进我国初中数学教学整体水平的发展。
参考文献：
[1]周红英.初中数学数形结合思想教学研究[J].中国校外教育（上旬刊），2015（4）：71.
[2]石丽娟.谈新课标下的初中数学“数形结合”思想[J].试题与研究（教学论坛），2013，27（34）：40.
[3]李雪松.初中数学数形结合思想的研究和应用[J].速读（上旬），2018，16（2）：136.
[4]郑勋.初中数学数形结合思想教学研究与案例分析[J].课程教育研究，2017，25（15）：274，180.
[5]冉瑞文，周庆文.初中数学数形结合思想教学研究[J].中学教学参考，2017，27（14）：15-16.
[6]候海朋.初中数学数形结合思想教学研究与案例探析[J].都市家教（下半月），2016，15（2）：102-103.
[7]李红雪.春的播种，秋的收获——谈初中数学数形结合思想的有效渗透[J].新课程·中学，2014，23（6）：189.
作者简介：
王旭浩，浙江省临安市，临安市天目初级中学。