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摘要： 为研究齿面摩擦力对正交面齿轮传动系统动态特性的影响，基于集中参数理论，建立了考虑齿面摩擦、齿侧间隙、传动误差、时变啮合刚度、啮合阻尼、支撑刚度和阻尼等参数的正交面齿轮多自由度耦合振动模型，采用龙格库塔数值积分法对系统的动力学方程求解，得到随摩擦系统变换的系统动态响应分岔特性。结果表明，随齿面摩擦系数的变化，面齿轮传动系统的动力学特性有周期响应和混沌响应，动态特性比较复杂。关键词： 面齿轮； 非线性振动； 摩擦系数； 动态特性
中图分类号： TH132.4； O322文献标识码： A文章编号： 10044523（2014）04058306
引言
齿轮的摩擦学机制异常复杂，是目前机械工程研究的热点，其中摩擦力对齿轮传动过程中的振动特性影响较大，加剧了系统的振动和噪声，齿面摩擦除引起齿轮沿垂直啮合线方向平移振动，还会形成摩擦力矩制约扭转振动，当齿面润滑不良或齿面出现微损伤时，摩擦力激励成为重要的振动源。因而，有必要深入分析齿面摩擦动力学激励机理，特别是齿面微观变化时对系统动力学特征的影响。
目前，国内外对渐开线圆柱齿轮和锥齿轮传动的摩擦力研究较多，亦有摩擦力对齿轮传动动力学的影响分析研究[1～6]，国内的靳广虎、杨振等建立了含传动误差、齿侧间隙等参数的正交面齿轮传动系统的非线性振动模型，分析了传动误差、支撑刚度与阻尼、啮合刚度与阻尼、齿侧间隙等参数对正交面齿轮传动系统动态特性的影响[7～11]，但关于面齿轮传动的摩擦动力学研究较少[6]。
面齿轮传动主要是应用于航空动力传动，航空动力传动的特点是高速、重载[3，4]。为提高面齿轮传动的效率，减少面齿轮传动的振动和噪声，使面齿轮传动满足航空动力传动的要求，本文对面齿轮传动中的摩擦力开展研究，着重分析了齿面摩擦系数对面齿轮传动系统振动特性的影响。
1系统的非线性动力学模型
正交面齿轮传动系统的非线性动力学模型如图1所示。动力学模型中的坐标系z轴与面齿轮的回转轴线方向一致，y轴沿面齿轮的径向方向，根据y轴和z轴的坐标方向应用右手法则确定坐标系的x轴。模型中考虑轮齿的弯曲振动与扭转振动，将两齿轮处理为具有转动惯量的集中质量块，而轴承、支座等效处理为弹性支撑，采用无质量的弹簧和阻尼器模拟。
根据正交面齿轮与圆柱齿轮啮合传动原理，模型中轮齿的啮合力Fn在圆柱齿轮1上可分解为径向力F1z和圆周力F1x，在面齿轮2上可分解为轴向力F2z和圆周力F2x，圆柱齿轮1不受轴向的分力，使系统的支撑结构简单，振动自由度减少。根据正交面齿轮传动系统的受力分析，系统中共有6个自由度，分别为圆柱齿轮1沿OX1和OZ1方向的弯曲振动x1和z1，面齿轮2沿OX2和OZ2方向的弯曲振动x2和z2，两齿轮分别绕轴线的扭转振动θ1和θ2。
第4期李晓贞，等： 齿面摩擦对面齿轮传动系统振动特性的影响分析振 动 工 程 学 报第27卷图1正交面齿轮传动系统非线性动力学模型
Fig.1Nonlinear dynamic model of facegear transmission system
2面齿轮传动系统的齿面啮合分析
根据Buckingham在其著作“Analytical Mechanics of Gear”中的介绍，面齿轮传动系统可视为变齿距和变压力角的齿条与渐开线圆柱齿轮啮合传动。根据面齿轮啮合传动分析，在点接触面齿轮传动系统中，在圆柱齿轮的节点P点处只有滚动没有相对滑动，因此在节点P处没有滑动摩擦力（模型中不考虑滚动摩擦），而在其他接触位置既有滚动又有滑动，故存在滑动摩擦力[2～4]。
在节点P处，主动圆柱齿轮与从动面齿轮的齿面相对速度为0，且相对滑动的方向发生转换，因此在节点P的位置滑动摩擦力为0，并在过节点P时，滑动摩擦力的方向发生改变。在啮合传动中，摩擦力的方向与两啮合齿面相切，即与啮合线的方向垂直，如图2所示。
结论
1）建立了包含摩擦系数的正交面齿轮动力学模型，并分析了正交面齿轮传动系统中齿面摩擦力的大小和方向。
2）应用自适应步长的龙格库塔法求解包含摩擦力的面齿轮动力学方程，分析了面齿轮传动系统随摩擦系数变换的分岔特性。
3）分析结果表明，摩擦系数对面齿轮传动系统的动态特性影响较大，且随摩擦系数的增大，面齿轮传动系统的动态响应包括：简谐振动、倍周期响应、4周期响应和混沌响应。
4）可通过改变面齿轮传动系统的润滑状态，从而改变面齿轮传动系统的齿面摩擦力，改善系统的动态特性，以减小振动和噪声。
参考文献：
[1]Litvin F L， Zhang Y， Wang J C， et al. Design an geometry of facegear drives[J]. Transactions of ASME， Journal of Mechanical Design 1992，114：642—647.
[2]Faydor L Litvin， Ignacio GonzalezPerez， Alfonso Fuentes， et al. Design， generation and stress analysis of facegear drive with helical pinion[J]. Computer Methods in Applied Mechanics Engineering， 2005，194：3 870—3 901.
[3]Claudio Zanzi， Jose I Pedrero. Application of geometry of face gear drive[J]. Computer Methods in Applied Mechanics Engineering， 2005，194：3 047—3 066. [4]朱如鹏，潘生材，高德平.面齿轮传动的研究现状与发展[J].南京航空航天大学学报，1997，29（3）：357—362.
Zhu Rupeng， Pan Shengcai， Gao Deping. Current state and development of rearch on face gear[J]. Journal of NanJing University of Aeronautics and Astronautics. 1997，29（3）：357—362.
[5]伍奎，李润方.不平衡转子系统弯扭耦合振动的特征信息提取与应用[J]. 振动与冲击，2006，25（1）：73—76.
WU Kui， LI Runfang. Extraction of characteristic information from coupled bendingtorsion vibration signal of unbalanced rotor system and its application [J]. Journal of Vibration and Shock， 2006，25（1）：73—76.
[6]张靖，陈兵奎，康传章，等.齿面摩擦的直齿轮动力学分析[J].振动与冲击，2012，31（21）：126—132.
Zhang Jing， Chen Bingkui， Kang Chuanzhang， et al. Dynamic analysis for spur gears considering friction effect[J]. Journal of Vibration and Shock. 2012，31（21）：126—132.
[7]辛洪兵，赵罘，秦宇辉.谐波齿轮传动系统非线性扭转振动分析[J].机械科学与技术，2004，40（4）：21—25.
XIN Hongbing， ZHAO Fu， QIN Yuhui. Nonlinear analysis of harmonic drive torsinal vibration[J]. Mechanical of Science and Technology， 2004，40（4）：21—25.
[8]靳广虎，朱如鹏，鲍和云.正交面齿轮传动系统的非线性振动特性[J]. 中南大学学报（自然科学版），2010，41（5）：1 807—1 813.
JIN Guanghu， ZHU Rupeng， BAO Heyun. Nonlinear dynamical characteristics of face gear transmission system[J]. Journal of Central South University（Science and Technology）， 2010，41（5）：1 807—1 813.
[9]杨振，王三民，范叶森，等.正交面齿轮传动系统非线性振动特性研究[J].振动与冲击，2010，29（9）：218—221.
YANG Zhen， WANG Sanmin， FAN Yeseng， et al. Nonlinear dynamics of facegear transmission system[J]. Journal of Vibration and Shock， 2010，29（9）：218—221.
[10]唐进元，刘艳平.直齿面齿轮加载啮合有限元仿真分析[J].机械工程学报，2012，48（5）：124—131.
TANG Jinyuan， LIU Yangping. Loaded meshing simulation of facegear drive with spur involute pinion based on finite element analysis[J]. Chinese Journal of Mechanical Engineering. 2012，48（5）：124—131.
[11]王三民，沈允文，董海军，等.含间隙和时变啮合刚度的弧齿锥齿轮传动系统非线性振动特性研究[J].机械工程学报，2003，39（2）：28—32.
WANG Sanmin， SHEN Yunwen， Dong Haijun， et al. Nonlinear dynamical characteristics of a spiral bevel gear system with backlash and timevarying stiffness[J]. China Mechanical Engineering， 2003，39（2）：28—32.
Influences of frictional coefficient on vibration characteristic
of facegear transmission system
LI Xiaozhen， ZHU Rupeng， LI Zhengminqing， JIN Guanghu
（Jiangsu Key Laboratory of Precision and MicroManufacturing Technology， College of Mechanical and Electrical
Engineering， Nanjing University of Aeronautics and Astronautics， Nanjing 210016， China）
Abstract： In order to study the influences of frictional coefficient on nonlinear dynamics of facegear transmission system， a nonlinear dynamic model with multiple degrees of freedom is presented by the method of concentrated parameters. The model includes frictional， gear clearances， general transmission error， timevarying meshing stiffness， meshing damping， brace stiffness， support damping， exciting frequency， and external load， etc. The RungeKutta numerical integral method used to solve the dynamic differential equations. And the bifurcation characteristics were obtained under different rotation speeds and external loads. The calculation results show that the nonlinear dynamics characteristics of facegear transmission system contain periodic response and chaotic response， and the amplitude is increased with the frictional coefficient increasing.Key words： facegear； nonlinear vibration； frictional coefficient； vibration characteristic作者简介： 李晓贞（1983—），男，博士生。Email：lxz1006@aliyun.com
通信作者： 朱如鹏（1959-），男，教授，博士生导师。 电话：（025）84892500； Email： rpzhu@nuaal.edu.cn
中图分类号： TH132.4； O322文献标识码： A文章编号： 10044523（2014）04058306
引言
齿轮的摩擦学机制异常复杂，是目前机械工程研究的热点，其中摩擦力对齿轮传动过程中的振动特性影响较大，加剧了系统的振动和噪声，齿面摩擦除引起齿轮沿垂直啮合线方向平移振动，还会形成摩擦力矩制约扭转振动，当齿面润滑不良或齿面出现微损伤时，摩擦力激励成为重要的振动源。因而，有必要深入分析齿面摩擦动力学激励机理，特别是齿面微观变化时对系统动力学特征的影响。
目前，国内外对渐开线圆柱齿轮和锥齿轮传动的摩擦力研究较多，亦有摩擦力对齿轮传动动力学的影响分析研究[1～6]，国内的靳广虎、杨振等建立了含传动误差、齿侧间隙等参数的正交面齿轮传动系统的非线性振动模型，分析了传动误差、支撑刚度与阻尼、啮合刚度与阻尼、齿侧间隙等参数对正交面齿轮传动系统动态特性的影响[7～11]，但关于面齿轮传动的摩擦动力学研究较少[6]。
面齿轮传动主要是应用于航空动力传动，航空动力传动的特点是高速、重载[3，4]。为提高面齿轮传动的效率，减少面齿轮传动的振动和噪声，使面齿轮传动满足航空动力传动的要求，本文对面齿轮传动中的摩擦力开展研究，着重分析了齿面摩擦系数对面齿轮传动系统振动特性的影响。
1系统的非线性动力学模型
正交面齿轮传动系统的非线性动力学模型如图1所示。动力学模型中的坐标系z轴与面齿轮的回转轴线方向一致，y轴沿面齿轮的径向方向，根据y轴和z轴的坐标方向应用右手法则确定坐标系的x轴。模型中考虑轮齿的弯曲振动与扭转振动，将两齿轮处理为具有转动惯量的集中质量块，而轴承、支座等效处理为弹性支撑，采用无质量的弹簧和阻尼器模拟。
根据正交面齿轮与圆柱齿轮啮合传动原理，模型中轮齿的啮合力Fn在圆柱齿轮1上可分解为径向力F1z和圆周力F1x，在面齿轮2上可分解为轴向力F2z和圆周力F2x，圆柱齿轮1不受轴向的分力，使系统的支撑结构简单，振动自由度减少。根据正交面齿轮传动系统的受力分析，系统中共有6个自由度，分别为圆柱齿轮1沿OX1和OZ1方向的弯曲振动x1和z1，面齿轮2沿OX2和OZ2方向的弯曲振动x2和z2，两齿轮分别绕轴线的扭转振动θ1和θ2。
第4期李晓贞，等： 齿面摩擦对面齿轮传动系统振动特性的影响分析振 动 工 程 学 报第27卷图1正交面齿轮传动系统非线性动力学模型
Fig.1Nonlinear dynamic model of facegear transmission system
2面齿轮传动系统的齿面啮合分析
根据Buckingham在其著作“Analytical Mechanics of Gear”中的介绍，面齿轮传动系统可视为变齿距和变压力角的齿条与渐开线圆柱齿轮啮合传动。根据面齿轮啮合传动分析，在点接触面齿轮传动系统中，在圆柱齿轮的节点P点处只有滚动没有相对滑动，因此在节点P处没有滑动摩擦力（模型中不考虑滚动摩擦），而在其他接触位置既有滚动又有滑动，故存在滑动摩擦力[2～4]。
在节点P处，主动圆柱齿轮与从动面齿轮的齿面相对速度为0，且相对滑动的方向发生转换，因此在节点P的位置滑动摩擦力为0，并在过节点P时，滑动摩擦力的方向发生改变。在啮合传动中，摩擦力的方向与两啮合齿面相切，即与啮合线的方向垂直，如图2所示。
结论
1）建立了包含摩擦系数的正交面齿轮动力学模型，并分析了正交面齿轮传动系统中齿面摩擦力的大小和方向。
2）应用自适应步长的龙格库塔法求解包含摩擦力的面齿轮动力学方程，分析了面齿轮传动系统随摩擦系数变换的分岔特性。
3）分析结果表明，摩擦系数对面齿轮传动系统的动态特性影响较大，且随摩擦系数的增大，面齿轮传动系统的动态响应包括：简谐振动、倍周期响应、4周期响应和混沌响应。
4）可通过改变面齿轮传动系统的润滑状态，从而改变面齿轮传动系统的齿面摩擦力，改善系统的动态特性，以减小振动和噪声。
参考文献：
[1]Litvin F L， Zhang Y， Wang J C， et al. Design an geometry of facegear drives[J]. Transactions of ASME， Journal of Mechanical Design 1992，114：642—647.
[2]Faydor L Litvin， Ignacio GonzalezPerez， Alfonso Fuentes， et al. Design， generation and stress analysis of facegear drive with helical pinion[J]. Computer Methods in Applied Mechanics Engineering， 2005，194：3 870—3 901.
[3]Claudio Zanzi， Jose I Pedrero. Application of geometry of face gear drive[J]. Computer Methods in Applied Mechanics Engineering， 2005，194：3 047—3 066. [4]朱如鹏，潘生材，高德平.面齿轮传动的研究现状与发展[J].南京航空航天大学学报，1997，29（3）：357—362.
Zhu Rupeng， Pan Shengcai， Gao Deping. Current state and development of rearch on face gear[J]. Journal of NanJing University of Aeronautics and Astronautics. 1997，29（3）：357—362.
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[6]张靖，陈兵奎，康传章，等.齿面摩擦的直齿轮动力学分析[J].振动与冲击，2012，31（21）：126—132.
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XIN Hongbing， ZHAO Fu， QIN Yuhui. Nonlinear analysis of harmonic drive torsinal vibration[J]. Mechanical of Science and Technology， 2004，40（4）：21—25.
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[9]杨振，王三民，范叶森，等.正交面齿轮传动系统非线性振动特性研究[J].振动与冲击，2010，29（9）：218—221.
YANG Zhen， WANG Sanmin， FAN Yeseng， et al. Nonlinear dynamics of facegear transmission system[J]. Journal of Vibration and Shock， 2010，29（9）：218—221.
[10]唐进元，刘艳平.直齿面齿轮加载啮合有限元仿真分析[J].机械工程学报，2012，48（5）：124—131.
TANG Jinyuan， LIU Yangping. Loaded meshing simulation of facegear drive with spur involute pinion based on finite element analysis[J]. Chinese Journal of Mechanical Engineering. 2012，48（5）：124—131.
[11]王三民，沈允文，董海军，等.含间隙和时变啮合刚度的弧齿锥齿轮传动系统非线性振动特性研究[J].机械工程学报，2003，39（2）：28—32.
WANG Sanmin， SHEN Yunwen， Dong Haijun， et al. Nonlinear dynamical characteristics of a spiral bevel gear system with backlash and timevarying stiffness[J]. China Mechanical Engineering， 2003，39（2）：28—32.
Influences of frictional coefficient on vibration characteristic
of facegear transmission system
LI Xiaozhen， ZHU Rupeng， LI Zhengminqing， JIN Guanghu
（Jiangsu Key Laboratory of Precision and MicroManufacturing Technology， College of Mechanical and Electrical
Engineering， Nanjing University of Aeronautics and Astronautics， Nanjing 210016， China）
Abstract： In order to study the influences of frictional coefficient on nonlinear dynamics of facegear transmission system， a nonlinear dynamic model with multiple degrees of freedom is presented by the method of concentrated parameters. The model includes frictional， gear clearances， general transmission error， timevarying meshing stiffness， meshing damping， brace stiffness， support damping， exciting frequency， and external load， etc. The RungeKutta numerical integral method used to solve the dynamic differential equations. And the bifurcation characteristics were obtained under different rotation speeds and external loads. The calculation results show that the nonlinear dynamics characteristics of facegear transmission system contain periodic response and chaotic response， and the amplitude is increased with the frictional coefficient increasing.Key words： facegear； nonlinear vibration； frictional coefficient； vibration characteristic作者简介： 李晓贞（1983—），男，博士生。Email：lxz1006@aliyun.com
通信作者： 朱如鹏（1959-），男，教授，博士生导师。 电话：（025）84892500； Email： rpzhu@nuaal.edu.cn