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平面直角坐标系为图形与数字的沟通搭建了一个平台,是数形结合思想的基础.在解决与平面直角坐标系有关的问题中,我们要对知识进行准确定位,避免落入陷阱,误入歧途.
误区一:颠倒横纵坐标的位置
例1在图1中,点M的坐标为__________.
错解:点M的对应值分别为-1,-2.
错因分析:坐标系中点的坐标是一个有序数对,应该用括号括起来.通过一个点向两条坐标轴作垂线,在x轴上垂足处的数值为横坐标,在y轴上垂足处的数值为纵坐标.
正解:(-2,-1).
点拨:在表示有序数对的括号中,位于前面的是横坐标,位于后面的是纵坐标.
误区二:混淆数与形的关系
例2点M的坐标为(2,5),则点M到x轴的距离为__________.
错解:由点M的横坐标是2,所以答案为2.
错因分析:误将点M的横坐标与点M到x轴的距离混为一谈.一个点到x轴的距离等于它的纵坐标的绝对值,到y轴的距离等于它的横坐标的绝对值.
正解:5.
点拨:在平面直角坐标系中画出此点,能更直观准确地发现坐标与距离的关系.
误区三:对问题考虑不全面
例3点P到x轴的距离是4,到y轴的距离是3,那么点P的坐标为__________.
错解:由题意可知,点P的纵坐标为4,横坐标为3,所以答案为(3,4).
错因分析:点P到x轴的距离是4,则它的纵坐标为4或者-4;到y轴的距离是3,则它的横坐标为3或者-3.
正解:(3,4),(-3,4),(3,-4)或者(-3,-4).
点拨:设点P的坐标为(x,y),则本题可以转化为|x|=3,|y|=4,求x,y的值,从而把新知识转化为旧知识,降低解题难度.
误区四:对平移理解不透
例4如图2,在平面直角坐标系中,每个小正方形的边长为1个单位长度,右边的小船图案是由左边的小船图案平移得到的.
(1)左边的小船向右平移了多少个长度单位?
(2)如果点P(-4.3,3.8)是左边的小船图案上的一点,那么平移后它的对应点P ′的坐标是什么?
错解:(1)图2中,左边的小船图案向右平移了7个长度单位;
(2)平移后,点P(-4.3,3.8)的对应点P ′的坐标是(-4.3-7,3.8),即(-11.3,3.8).
错因分析:在(1)中,把A、C两点之间的距离当成了平移距离.应该看整体平移的距离,为了便于观察,也可以看图形上的某一点在平移前后相差的距离;第(2)中,把向右平移时坐标的变化规律弄错.
正解:(1)图2中,左边的小船图案向右平移了11个长度单位;
(2)图案平移后,点P(-4.3,3.8)的对应点P ′的坐标是(-4.3+11,3.8),即(6.7,3.8).
点拨:在平面直角坐标系中,一个点(x,y)向左平移a(a>0)个单位长度,得到的对应点的横坐标为(x-a,y);向右平移a(a>0)个单位长度,得到的对应点坐标为(x+a,y).在图形平移过程中,图上每一点的移动方向和距离与整个图形的移动方向和距离是相同的.
误区五:错误地建立坐标系
例5如图3,若在象棋盘上建立直角坐标系,使“将”位于点(1,-2),“象”位于点 (3,-2),则“炮”位于点().
A.(1,-1)B.(-1,1)
C.(2,3)D.(3,2)
错解:建立如图4所示的平面直角坐标系,得出“炮”所在位置的坐标为(2,3),故选C.
错因分析:未能建立正确的平面直角坐标系.应该根据题目条件,特别是根据已知点的坐标来确定坐标系原点的位置.本题由“将”位于点(1,-2)上可知,“将”在原点的右边1个单位长度、下方2个单位长度的位置.反之,将“将”所在位置向左边平移1个单位长度,向上方平移2个单位长度,所到达的位置就是原点.因此,建立的平面直角坐标系如图5所示.“象”位于点(3,-2),从图5中可以看出,“炮”的坐标为(-1,1).
正解:B.
点拨:解决本题的关键是如何正确建立坐标系.
误区六:主观臆断
例6 在平面直角坐标系中,横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点.请你观察图6中(正方形A1B1C1D1、A2B2C2D2、A3B3C3D3……)每个正方形四条边上的整点的个数,推算出正方形A10B10C10D10四条边上的整点共有__________个.
错解:正方形A1B1C1D1四条边上共有8个整点,即23个整点;正方形A2B2C2D2的边长是正方形A1B1C1D1的2倍,则有24个整点……;以此类推,正方形AnBnCnDn四条边上有2n+2个整点.所以,正方形A10B10C10D10四条边上的整点有212=(24)3=163=4 096(个).答案为4 096.
错因分析:错解中只考察了正方形A1B1C1D1的整点情况,就利用边长关系得出正方形A2B2C2D2四条边上的整点数,进而得出结论,这些结果都是主观猜测的,故而出错.
正方形A1B1C1D1四条边上共有2×4=8(个)整点,正方形A2B2C2D2四条边上共有4×4=16(个)整点,正方形A3B3C3D3四条边上共有6×4=24(个)整点,所以,正方形AnBnCnDn四条边上的整点有2n×4=8n(个)整点.则当n=10时,8n=80.
正解:80.
点拨:探索规律的问题要进行推导和验证,不能主观臆断.
误区一:颠倒横纵坐标的位置
例1在图1中,点M的坐标为__________.
错解:点M的对应值分别为-1,-2.
错因分析:坐标系中点的坐标是一个有序数对,应该用括号括起来.通过一个点向两条坐标轴作垂线,在x轴上垂足处的数值为横坐标,在y轴上垂足处的数值为纵坐标.
正解:(-2,-1).
点拨:在表示有序数对的括号中,位于前面的是横坐标,位于后面的是纵坐标.
误区二:混淆数与形的关系
例2点M的坐标为(2,5),则点M到x轴的距离为__________.
错解:由点M的横坐标是2,所以答案为2.
错因分析:误将点M的横坐标与点M到x轴的距离混为一谈.一个点到x轴的距离等于它的纵坐标的绝对值,到y轴的距离等于它的横坐标的绝对值.
正解:5.
点拨:在平面直角坐标系中画出此点,能更直观准确地发现坐标与距离的关系.
误区三:对问题考虑不全面
例3点P到x轴的距离是4,到y轴的距离是3,那么点P的坐标为__________.
错解:由题意可知,点P的纵坐标为4,横坐标为3,所以答案为(3,4).
错因分析:点P到x轴的距离是4,则它的纵坐标为4或者-4;到y轴的距离是3,则它的横坐标为3或者-3.
正解:(3,4),(-3,4),(3,-4)或者(-3,-4).
点拨:设点P的坐标为(x,y),则本题可以转化为|x|=3,|y|=4,求x,y的值,从而把新知识转化为旧知识,降低解题难度.
误区四:对平移理解不透
例4如图2,在平面直角坐标系中,每个小正方形的边长为1个单位长度,右边的小船图案是由左边的小船图案平移得到的.
(1)左边的小船向右平移了多少个长度单位?
(2)如果点P(-4.3,3.8)是左边的小船图案上的一点,那么平移后它的对应点P ′的坐标是什么?
错解:(1)图2中,左边的小船图案向右平移了7个长度单位;
(2)平移后,点P(-4.3,3.8)的对应点P ′的坐标是(-4.3-7,3.8),即(-11.3,3.8).
错因分析:在(1)中,把A、C两点之间的距离当成了平移距离.应该看整体平移的距离,为了便于观察,也可以看图形上的某一点在平移前后相差的距离;第(2)中,把向右平移时坐标的变化规律弄错.
正解:(1)图2中,左边的小船图案向右平移了11个长度单位;
(2)图案平移后,点P(-4.3,3.8)的对应点P ′的坐标是(-4.3+11,3.8),即(6.7,3.8).
点拨:在平面直角坐标系中,一个点(x,y)向左平移a(a>0)个单位长度,得到的对应点的横坐标为(x-a,y);向右平移a(a>0)个单位长度,得到的对应点坐标为(x+a,y).在图形平移过程中,图上每一点的移动方向和距离与整个图形的移动方向和距离是相同的.
误区五:错误地建立坐标系
例5如图3,若在象棋盘上建立直角坐标系,使“将”位于点(1,-2),“象”位于点 (3,-2),则“炮”位于点().
A.(1,-1)B.(-1,1)
C.(2,3)D.(3,2)
错解:建立如图4所示的平面直角坐标系,得出“炮”所在位置的坐标为(2,3),故选C.
错因分析:未能建立正确的平面直角坐标系.应该根据题目条件,特别是根据已知点的坐标来确定坐标系原点的位置.本题由“将”位于点(1,-2)上可知,“将”在原点的右边1个单位长度、下方2个单位长度的位置.反之,将“将”所在位置向左边平移1个单位长度,向上方平移2个单位长度,所到达的位置就是原点.因此,建立的平面直角坐标系如图5所示.“象”位于点(3,-2),从图5中可以看出,“炮”的坐标为(-1,1).
正解:B.
点拨:解决本题的关键是如何正确建立坐标系.
误区六:主观臆断
例6 在平面直角坐标系中,横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点.请你观察图6中(正方形A1B1C1D1、A2B2C2D2、A3B3C3D3……)每个正方形四条边上的整点的个数,推算出正方形A10B10C10D10四条边上的整点共有__________个.
错解:正方形A1B1C1D1四条边上共有8个整点,即23个整点;正方形A2B2C2D2的边长是正方形A1B1C1D1的2倍,则有24个整点……;以此类推,正方形AnBnCnDn四条边上有2n+2个整点.所以,正方形A10B10C10D10四条边上的整点有212=(24)3=163=4 096(个).答案为4 096.
错因分析:错解中只考察了正方形A1B1C1D1的整点情况,就利用边长关系得出正方形A2B2C2D2四条边上的整点数,进而得出结论,这些结果都是主观猜测的,故而出错.
正方形A1B1C1D1四条边上共有2×4=8(个)整点,正方形A2B2C2D2四条边上共有4×4=16(个)整点,正方形A3B3C3D3四条边上共有6×4=24(个)整点,所以,正方形AnBnCnDn四条边上的整点有2n×4=8n(个)整点.则当n=10时,8n=80.
正解:80.
点拨:探索规律的问题要进行推导和验证,不能主观臆断.