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【摘要】数学建模是数学学科六大核心素养之一，创设真实情境是素养导向下高考数学的重要考查方式，简单多面体外接球问题是立体几何中的难点和重要的考点。事实上，2019年高考数学全国卷已经充分体现了对核心素养和情境化的考查，2019年高考数学全国Ⅲ卷的第16题就设置了一个3D打印的情境。logoup 3D绘图软件可以简单形象地画出球及各种多面体的3D图形，能生动形象地再现球与简单多面体的空间位置，并能通过3D打印机将模型打印出来。利用logoup 3D绘图软件绘制简单多面体及其外接球并通过3D打印机将绘制的模型打印出来，能达到三个目的，一是培养了学生数学建模的核心素养;二是为学生创设了一个真实的情境，在情境学习过程中数学核心素养得到了培养;三是使简单多面体外接球问题这个学习难点得以突破。笔者在教学过程中做了一些尝试，意在抛砖引玉，供大家参考。
【关键词】核心素养;外接球;logoup 3D绘图;创设情境
简单多面体外接球问题是立体几何中的难点和重要的考点，此类问题的关键是确定球心的位置进而求出球的半径。这类问题之所以成为学生的难点，主要是因为学生在头脑中没有形成清晰的空间形象，无法想象出球与简单多面体的空间位置。logoup 3D绘图软件可以简单形象地画出球及各种多面体的3D图形，能生动形象地再现球与简单多面体的空间位置，并能通过3D打印机将模型打印出来。
著名的学习金字塔告诉我们“做中学”或“实际演练”是主动学习的一种，学习效率可达到75%，学生在信息技术课中已经学习了logoup 3D绘图软件的使用，动手绘出简单多面体及其外接球，能有效帮助学生形成清晰的球与简单多面体的空间位置的空间形象，从而突破本问题的难点。
一、简单多面体外接球相关结论的推导
二、绘制直棱柱及其外接球
1.绘制边长为100的正方体及其外接球
将学生分为6个小组，让每个学生独立自主绘制2分钟，然后小组交流3分钟。
教师：同学们在绘制过程中遇到了什么困难？后来又是怎么解决的？
学生：绘制正方体后，光标位于正方体下底面的中心处，绘制球时，球心位于光标处，也就是说球心位于正方体的下底面的中心，所以必须移动光标，光标的位置和球的半径是解决本问题的关键。
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logouo 3D绘图代码：
1 color red
2 cube 100，100，100
3 up 50
4 t=50*sqrt（3）
5 color lime
6 ball t
设计意图：直观地感受了球心与正方体中心的空间位置，进一步巩固了正方体外接球的半径与正方体边长之间的关系。
2.绘制边长为100的正方体及其内切球
将1.1的问题改为绘制内切球，学生很快得出解决方案，只须将第6行改为ball 50即可，这时有學生提出绘制的图形不像！教师适时引导哪里不像？如何修改才会更像？经过小组讨论很快学生得出修改方案，先绘制球再绘制正方体。
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logouo 3D绘图代码：
1 color red
2 cube 100，100，100
3 up 50
4 color lime
5 ball 50
设计意图：体会到了用logouo 3D绘图的次序。
3.绘制长、宽、高分别为100、80、60的长方体及其外接球
要求：小组合作绘图方案，并分享成果。
教师：绘图次序是怎样的？
学生：先画长方体，再定球心，后求半径。
教师：球心位置如何确定？
学生：将光标上移30。
教师：球的半径怎么求？能用数学式子表述出来吗？
学生：设长方体的长、宽、高分别为a、b、c则球的半径为：
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logouo 3D绘图代码：
1 COLOR red
2 CUBE 100，80，60
3 up 30
4 COLOR lime
5 t=0.5*sqrt（pow（100，2） pow（80，2） pow（60，2））
6 BALL t
设计意图：直观地感受了球心与长方体中心的空间位置，进一步巩固了长方体外接球的半径与正方体边长之间的关系。
4.绘制底面边长为30、高为30的正六棱柱及其外接球
要求：小组合作绘图方案，并分享成果。
教师：请分享绘制过程中遇到的问题及解决方案。
学生：不能直接插入正六棱柱，只能先画好正六边形再拉伸，而且画正六边形时，软件设定的变量是边数和外接圆半径，需要将边长换算成半径。
教师：如何换算？
学生：正六边形的边长等于外接圆的半径。
教师：球心位置如何确定？
学生：将光标下移15。
教师：前面的例子都是光标上移，为什么这个例了是下称？
学生：画好正六棱柱后光标位于上底面中心。
教师：球的半径怎么求？能用数学式子表述出来吗？
学生：设正六棱柱的底面边长为a，高为h，则正六棱柱的底面外接圆半径r=a，所以球的半径为：R。
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logouo 3D绘图代码： 1 NGON 6，30
2 COLOR red
3 FILL
4 EXTRUDE 30
5 UP-15
6 t=SQRT（POW（15，2） POW（30，2））
7 COLOR lime
8 BALL t
设计意图：本例要求绘制的正六棱柱与前例中要求绘制的正方体、长方体的绘制方法是不同的，正方体、长方体在软件中有现成的构件，插入即可，但正六棱柱在软件中没有现成的构件，需要先画好正六边形再拉伸而成，完成后光标位于正六棱柱上底面中心。通过本例可进一步体会球心位置的确定方法及外接球半径的求法。
5.绘制底面边长为30、高为30的正三棱柱及其外接球
教师：我们先要确定什么？怎么确定？
学生：先要确定正三角形外接圆的半径，设正三角形边長为a，则正三角形外接圆的半径r=a，所以r=30。
（代码略）
设计意图：巩固球心位置的确定方法及外接球半径的求法，并复习了正三角形外接圆半径的求法。
6.绘制底面为直角三角形，两直角边长分别为100、80，高为60的直三棱柱及其外接球
要求：小组合作绘图方案，并分享成果。
本例独特之处在于底面不是正多边形，软件没有现成的构件，球心的位置及球的半径是解决本例的关键。
教师：请分享绘制过程中遇到的问题及解决方案。
学生：先画底面直角三角形再拉伸，由于底面是直角三角形，软件没有现成的构件，只能一条线一条线地画，画好三角形后光标位于三棱柱的顶点处，需要将光标移到外接球球心处。
教师：底面直角三角形外接圆圆心在何处？
学生：斜边的中点处。
教师：球心位置如何确定？
学生：底面外接圆圆心向上拉伸到高的一半处。
教师：设三棱柱底面直角三角形两直角边分别为a、b，高为c，则它的外接球的半径怎么求？能用数学式子表述出来吗？
学生：底面外接圆半径r，由推论1，外接球的半径为：r。
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1 WIDTH 5
2 COLOR red
3 DRAW
4 GO 100
5 TURN 90 ATAN（5/4）
6 GOSQRT（POW（100，2） POW（80，2））
7 TURN 90 ATAN（4/5）
8 GO 80
9 DONE
10 FILL
11 EXTRUDE 60
12 MOVETOGETOX（） 40，GETOY（） 50，GETOZ（）-30
13 t=0.5*SQRT（（POW（100，2） POW（80，2）） POW（60，2））
14 COLORdark_gray
15 BALL t
设计意图：体会底面为非正多边形时，如何确定球心的位置，如何求出球的行径。
7.补形法求外接球的半径的原理及其应用范围
教师：学生们，例2.6中，求外接球的半径的公式是不是似曾相识？
学生：与例2.3中求长方体外接球的半径的公式是一样的。
教师：所以在求底面为直角三角的直三棱柱的外接球半径时，我们可以补一个全等的三棱柱使之成为长方体，再通过求长方体的外接球半径来达到目的，这种方法称为补形法。
教师：算一算，若例2.5用补形法求外接球的半径，结果是什么？你有什么发现？为什么？
（学生小组讨论后，分享成果）
学生：计算结果与之前的结果不一样！所以例2.5不能用补形法解决。因为正三角形补一个全等的正三角形得到的是一个菱形，而菱形对角不互补，没有外接圆，所以正三棱柱补形后不内接于球。
教师：满足什么条件的三棱柱才能用补形法？
学生：底面为直角三角形的直三棱柱可用补形法求外接球的半径。
设计意图：体会补形法求外接球的原理及适用范围。
通过以上几个例子，我们可以得出：
直棱柱外接球球心的位置：球心位于上下底面外接圆圆心连线段的中点处。
直棱柱外接球半径的求法：
设直棱柱底面外接圆半径为r，高为h，则其外接球半径为：
底面为直角三角形的直三棱柱可用补形法求外接球的半径。
三、绘制棱锥及其外接球
1.如图示，在三棱柱V-ABC中，AB⊥AC，VA⊥底面ABC，AB=100，AC=80，VA=60，绘制三棱柱V-ABC及其外接球。
要求：小组合作绘图方案，并分享成果。
教师：将本例中外接球球心位置、半径与例2.6比较，你发现了什么？
学生：外接球球心位置、半径与例2.6完全一样。
教师：想一想，本例能用补形法吗？如果能，如何补？
学生：可以，补成长方体。
（代码略）
设计意图：体会底面为非正多边形时，如何确定棱锥外接球心的位置及求外接球半径的方法。
2.绘制底面边长为80，高为100的正四棱锥及其外接球
要求：小组合作绘图方案，并分享成果。
本例的关键是确定球心的位置及球的半径。
教师：外接球的半径怎么求？ 教师：球心位置如何确定？
学生：底面中心向上拉伸到33处。
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1 NGON 4，56.5685425
2 COLORRGB（255，0，0）
3 FILL
4 BODY
5 SCALE 0
6 UP 100
7 DONE
8 UP-66
9 COLOR gray
10 BALL 66
设计意图：体会如何确定正棱锥外接球心的位置及求外接球半径的方法。
四、拓展：绘制圆锥及其内切球
1.相关结论的推导
定理2 已知球O是底面半径为r，高为h的圆锥的内切球，则球O的半径为
2.绘制底面半径为30，高为40的圆锥及其内切球
教师：内切球的半径怎么求？
教师：球心位置如何确定？
學生：底面中心向上拉伸到15处。
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1 COLOR red
2 CONE 30，40
3 UP 15
4 COLOR blue
5 BALL 15
设计意图：体会如何确定圆锥外接球心的位置及求外接球半径的方法。
《普通高中数学课程标准》（2017年版）明确指出：“学科核心素养是育人价值的集中体现.是学生通过学科学习而逐步形成的正确价值观念、必备品格和关键能力。数学学科核心素养是数学课程目标的集中休现，是具有数学基本特征的思维品质、关键能力以及情感、态度与价值观的综合体现，是在数学学习和应用的过程中逐步形成和发展的。数学学科核心养素包括：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析。”
教育部考试中心任子朝先生在《从能力立意到素养导向》一文中指出：“素养导向的高考命题注重情境化试题的考查。情境活动指能够表现出学生学科素养的情境活动，是学科素养的载体，情境包指现实的生活实践情境活动与学术探究情境活动。在考查过程要理论结合实践，特别是结合生产、生活实际设计试题，采用源于社会、源于生活的真实的情境，考查学生分析和解决具有实际意义的问題的能力。”
事实上，2019年高考数学全国卷已经充分体现了对核心素养和情境化的考查，2019年高考数学全国Ⅲ卷的第16题就设置了一个3D打印的情境。
利用logoup 3D绘图软件绘制简单多面体及其外接球并通过3D打印机将绘制的模型打印出来，能达到三个目的，一是培养了学生数学建模的核心素养;二是为学生创设了一个真实的情境，在情境学习过程中数学核心素养得到了培养;三是使简单多面体外接球问题这个学习难点得以突破。
当前，信息技术飞速发展，利用3D打印等先进的信息技术辅助数学教学，是数学教学改革的发展方向。
参考文献：
[1]教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）.
[2]任子朝.从能力立意到素养导向[J].中学数学教学参考，2018，13.
【关键词】核心素养;外接球;logoup 3D绘图;创设情境
简单多面体外接球问题是立体几何中的难点和重要的考点，此类问题的关键是确定球心的位置进而求出球的半径。这类问题之所以成为学生的难点，主要是因为学生在头脑中没有形成清晰的空间形象，无法想象出球与简单多面体的空间位置。logoup 3D绘图软件可以简单形象地画出球及各种多面体的3D图形，能生动形象地再现球与简单多面体的空间位置，并能通过3D打印机将模型打印出来。
著名的学习金字塔告诉我们“做中学”或“实际演练”是主动学习的一种，学习效率可达到75%，学生在信息技术课中已经学习了logoup 3D绘图软件的使用，动手绘出简单多面体及其外接球，能有效帮助学生形成清晰的球与简单多面体的空间位置的空间形象，从而突破本问题的难点。
一、简单多面体外接球相关结论的推导
二、绘制直棱柱及其外接球
1.绘制边长为100的正方体及其外接球
将学生分为6个小组，让每个学生独立自主绘制2分钟，然后小组交流3分钟。
教师：同学们在绘制过程中遇到了什么困难？后来又是怎么解决的？
学生：绘制正方体后，光标位于正方体下底面的中心处，绘制球时，球心位于光标处，也就是说球心位于正方体的下底面的中心，所以必须移动光标，光标的位置和球的半径是解决本问题的关键。
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2 cube 100，100，100
3 up 50
4 t=50*sqrt（3）
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6 ball t
设计意图：直观地感受了球心与正方体中心的空间位置，进一步巩固了正方体外接球的半径与正方体边长之间的关系。
2.绘制边长为100的正方体及其内切球
将1.1的问题改为绘制内切球，学生很快得出解决方案，只须将第6行改为ball 50即可，这时有學生提出绘制的图形不像！教师适时引导哪里不像？如何修改才会更像？经过小组讨论很快学生得出修改方案，先绘制球再绘制正方体。
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2 cube 100，100，100
3 up 50
4 color lime
5 ball 50
设计意图：体会到了用logouo 3D绘图的次序。
3.绘制长、宽、高分别为100、80、60的长方体及其外接球
要求：小组合作绘图方案，并分享成果。
教师：绘图次序是怎样的？
学生：先画长方体，再定球心，后求半径。
教师：球心位置如何确定？
学生：将光标上移30。
教师：球的半径怎么求？能用数学式子表述出来吗？
学生：设长方体的长、宽、高分别为a、b、c则球的半径为：
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2 CUBE 100，80，60
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5 t=0.5*sqrt（pow（100，2） pow（80，2） pow（60，2））
6 BALL t
设计意图：直观地感受了球心与长方体中心的空间位置，进一步巩固了长方体外接球的半径与正方体边长之间的关系。
4.绘制底面边长为30、高为30的正六棱柱及其外接球
要求：小组合作绘图方案，并分享成果。
教师：请分享绘制过程中遇到的问题及解决方案。
学生：不能直接插入正六棱柱，只能先画好正六边形再拉伸，而且画正六边形时，软件设定的变量是边数和外接圆半径，需要将边长换算成半径。
教师：如何换算？
学生：正六边形的边长等于外接圆的半径。
教师：球心位置如何确定？
学生：将光标下移15。
教师：前面的例子都是光标上移，为什么这个例了是下称？
学生：画好正六棱柱后光标位于上底面中心。
教师：球的半径怎么求？能用数学式子表述出来吗？
学生：设正六棱柱的底面边长为a，高为h，则正六棱柱的底面外接圆半径r=a，所以球的半径为：R。
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3 FILL
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8 BALL t
设计意图：本例要求绘制的正六棱柱与前例中要求绘制的正方体、长方体的绘制方法是不同的，正方体、长方体在软件中有现成的构件，插入即可，但正六棱柱在软件中没有现成的构件，需要先画好正六边形再拉伸而成，完成后光标位于正六棱柱上底面中心。通过本例可进一步体会球心位置的确定方法及外接球半径的求法。
5.绘制底面边长为30、高为30的正三棱柱及其外接球
教师：我们先要确定什么？怎么确定？
学生：先要确定正三角形外接圆的半径，设正三角形边長为a，则正三角形外接圆的半径r=a，所以r=30。
（代码略）
设计意图：巩固球心位置的确定方法及外接球半径的求法，并复习了正三角形外接圆半径的求法。
6.绘制底面为直角三角形，两直角边长分别为100、80，高为60的直三棱柱及其外接球
要求：小组合作绘图方案，并分享成果。
本例独特之处在于底面不是正多边形，软件没有现成的构件，球心的位置及球的半径是解决本例的关键。
教师：请分享绘制过程中遇到的问题及解决方案。
学生：先画底面直角三角形再拉伸，由于底面是直角三角形，软件没有现成的构件，只能一条线一条线地画，画好三角形后光标位于三棱柱的顶点处，需要将光标移到外接球球心处。
教师：底面直角三角形外接圆圆心在何处？
学生：斜边的中点处。
教师：球心位置如何确定？
学生：底面外接圆圆心向上拉伸到高的一半处。
教师：设三棱柱底面直角三角形两直角边分别为a、b，高为c，则它的外接球的半径怎么求？能用数学式子表述出来吗？
学生：底面外接圆半径r，由推论1，外接球的半径为：r。
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1 WIDTH 5
2 COLOR red
3 DRAW
4 GO 100
5 TURN 90 ATAN（5/4）
6 GOSQRT（POW（100，2） POW（80，2））
7 TURN 90 ATAN（4/5）
8 GO 80
9 DONE
10 FILL
11 EXTRUDE 60
12 MOVETOGETOX（） 40，GETOY（） 50，GETOZ（）-30
13 t=0.5*SQRT（（POW（100，2） POW（80，2）） POW（60，2））
14 COLORdark_gray
15 BALL t
设计意图：体会底面为非正多边形时，如何确定球心的位置，如何求出球的行径。
7.补形法求外接球的半径的原理及其应用范围
教师：学生们，例2.6中，求外接球的半径的公式是不是似曾相识？
学生：与例2.3中求长方体外接球的半径的公式是一样的。
教师：所以在求底面为直角三角的直三棱柱的外接球半径时，我们可以补一个全等的三棱柱使之成为长方体，再通过求长方体的外接球半径来达到目的，这种方法称为补形法。
教师：算一算，若例2.5用补形法求外接球的半径，结果是什么？你有什么发现？为什么？
（学生小组讨论后，分享成果）
学生：计算结果与之前的结果不一样！所以例2.5不能用补形法解决。因为正三角形补一个全等的正三角形得到的是一个菱形，而菱形对角不互补，没有外接圆，所以正三棱柱补形后不内接于球。
教师：满足什么条件的三棱柱才能用补形法？
学生：底面为直角三角形的直三棱柱可用补形法求外接球的半径。
设计意图：体会补形法求外接球的原理及适用范围。
通过以上几个例子，我们可以得出：
直棱柱外接球球心的位置：球心位于上下底面外接圆圆心连线段的中点处。
直棱柱外接球半径的求法：
设直棱柱底面外接圆半径为r，高为h，则其外接球半径为：
底面为直角三角形的直三棱柱可用补形法求外接球的半径。
三、绘制棱锥及其外接球
1.如图示，在三棱柱V-ABC中，AB⊥AC，VA⊥底面ABC，AB=100，AC=80，VA=60，绘制三棱柱V-ABC及其外接球。
要求：小组合作绘图方案，并分享成果。
教师：将本例中外接球球心位置、半径与例2.6比较，你发现了什么？
学生：外接球球心位置、半径与例2.6完全一样。
教师：想一想，本例能用补形法吗？如果能，如何补？
学生：可以，补成长方体。
（代码略）
设计意图：体会底面为非正多边形时，如何确定棱锥外接球心的位置及求外接球半径的方法。
2.绘制底面边长为80，高为100的正四棱锥及其外接球
要求：小组合作绘图方案，并分享成果。
本例的关键是确定球心的位置及球的半径。
教师：外接球的半径怎么求？ 教师：球心位置如何确定？
学生：底面中心向上拉伸到33处。
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2 COLORRGB（255，0，0）
3 FILL
4 BODY
5 SCALE 0
6 UP 100
7 DONE
8 UP-66
9 COLOR gray
10 BALL 66
设计意图：体会如何确定正棱锥外接球心的位置及求外接球半径的方法。
四、拓展：绘制圆锥及其内切球
1.相关结论的推导
定理2 已知球O是底面半径为r，高为h的圆锥的内切球，则球O的半径为
2.绘制底面半径为30，高为40的圆锥及其内切球
教师：内切球的半径怎么求？
教师：球心位置如何确定？
學生：底面中心向上拉伸到15处。
成果分享：
1 COLOR red
2 CONE 30，40
3 UP 15
4 COLOR blue
5 BALL 15
设计意图：体会如何确定圆锥外接球心的位置及求外接球半径的方法。
《普通高中数学课程标准》（2017年版）明确指出：“学科核心素养是育人价值的集中体现.是学生通过学科学习而逐步形成的正确价值观念、必备品格和关键能力。数学学科核心素养是数学课程目标的集中休现，是具有数学基本特征的思维品质、关键能力以及情感、态度与价值观的综合体现，是在数学学习和应用的过程中逐步形成和发展的。数学学科核心养素包括：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析。”
教育部考试中心任子朝先生在《从能力立意到素养导向》一文中指出：“素养导向的高考命题注重情境化试题的考查。情境活动指能够表现出学生学科素养的情境活动，是学科素养的载体，情境包指现实的生活实践情境活动与学术探究情境活动。在考查过程要理论结合实践，特别是结合生产、生活实际设计试题，采用源于社会、源于生活的真实的情境，考查学生分析和解决具有实际意义的问題的能力。”
事实上，2019年高考数学全国卷已经充分体现了对核心素养和情境化的考查，2019年高考数学全国Ⅲ卷的第16题就设置了一个3D打印的情境。
利用logoup 3D绘图软件绘制简单多面体及其外接球并通过3D打印机将绘制的模型打印出来，能达到三个目的，一是培养了学生数学建模的核心素养;二是为学生创设了一个真实的情境，在情境学习过程中数学核心素养得到了培养;三是使简单多面体外接球问题这个学习难点得以突破。
当前，信息技术飞速发展，利用3D打印等先进的信息技术辅助数学教学，是数学教学改革的发展方向。
参考文献：
[1]教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）.
[2]任子朝.从能力立意到素养导向[J].中学数学教学参考，2018，13.