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摘要:本文从涉及企业资金分配的各个环节着手,分析了影响资金分配的几个关键因素,以动态规划为基础,从而将资金分配问题转换成企业收益最大化问题,提出了资金分配问题收益最大化这一数学模型思想,进而将这一问题简化成一个数学问题。
关键词:资金分配 动态规划 多阶段问题
DOI:10.3969/j.issn.1672-8289.2010.10.080
1、 引入
设某资产市场中共有n种资产可供投资者进行选择,某一投资者要在该市场中进行m(m>1)阶段的投资,在每一阶段中该投资者都可在这n种资产中选择投资。设该投资者可预测到从开始到第m个投资阶段中各个阶段单位资产投资的平均收益与风险。不妨设,在第j(i=l,…,m)个阶段初购买第j(i=l,…,n)种资产,到该阶段末时的平均收益率为,平均风险损失率为;而且,若第j—l阶段末已持有一部分资产,则在第j(j=2,…,m)个阶段初,可以决定这些资产是继续持有、还是出售,而出售资产所得的资金可用于该阶段的资产购买。根据实际情况,每个阶段中每一种资产的买卖均需按交易的金额交纳一定比例的交易费,不妨假设在第j(j=l,…,m)个阶段中买卖第i(i=1,…,n)种资产的交易费率为。
多阶段资产投资的决策问题就是要求设计该投资者的一种资产投资组合方案,使得在投资总风险低于一定风险上限要求的前提下,到第m个阶段末时该投资者的投资总收益(即m个阶段的投资收益总和)尽可能大。
2、多阶段资产投资决策的动态规划模型
为叙述方便,我们引入以下一些记号:
——第j阶段初,投资者拥有的第i种资产的金额(j=1,…,m ; i = 1 , …,n);
——第j阶段韧,投资者拥有的自由资金的金额(j=1,…,m );
——第j阶段初,投资者对第i种资产的交易金额(j=1,…,m ; i = 1 , …,n);
其中: <0表示投资者出售第i种资产;
>0表示投资者购买第j种资产。
( , ,…, , )表示第j阶段初投资者持有的资产金额和自由资金金额的状态,我们称之为第j阶段初的投资状态变量,简记为“s (j=l,…,m)。
( , ,…, )表示第j阶段投资者的资产投资交易的情况。我们称之为第j阶段的投资决策变量,简记为 (j=1,…,m)。
另记
Q—投资者所能承受的投资风险的上限值;
M—投资开始时,投资者向资产市场投入的自由投资资金量。
下面分析投资决策变量、状态变量间的关系及其所受约束。
1.状态变量
首先,由状态变量的定义和假设l,可得:
=0 (i=l,….n), =M………………………… (1)
其次,由决策变量的定义知,当第j(j=1,…,m)阶段初的投资状态为s时,投资者在该阶段中的投资决策会影响其在该阶段末的投资状态s。具体情况如下:
①投资者对第i(j=1,…,n)种资产的投资 会影响该阶段末时该资产的持有量,即等于 + 。所以,投资者对第i(i=1,…,n)种资产进行投资,到该时期末其所得的收益为 ( + )。因此,该阶段末投资者持有的第i种资产的金额 就为
并且由“不允许卖空”假设可知
②投资者对第i(i=l,…,n)种资产的投资 也会影响该阶段末时的自由资金持有量,即等于所购买的资产金额 与所付的交易费的总和。因此,到该阶段末投资者所持有的自由资金就为
而且,由假设l知,投资者进行投资所消耗的资金额不能超过其总可利用资金的金额,故该阶段末时投资者的自由资金量不能为负值,即
亦即(5)
所以,当投资者在第j(j=1,…,m)阶段的决策变量为 时,投资者在第j阶段初的状态变量s 与第j+1`阶段初(即第j阶段末)的状态变量s必满足(1)—(5)式。
2.决策变量
首先,由假设2知:在第j(j=l,…,m)阶段初,投资者实际出售的资产值不能超过其此时的资产持有量。
即
故有
其次,考虑到投资者在第j(j=1,…,m)阶段中进行投资的总体风险是由其在该阶段末时所持有的总资产产生的。其中,该阶段末投资者对第i(i=1,…,n)种资产的持有量为 + (i=1,…,n),故第j种资产的投资风险就为 ( + )(i=1,…,n)。因此,由假设3知,投资者在第j(j=1,…,m)阶段进行投资的总体风险为:
根据投资风险上限要求,有
注意到上式是非线性的,其可以等价于一个线性约束,形式如下
综上可知,投资考在第j(j=1,…,m)阶段初的投资状态变量为时,其所进行的投资决策必满足(6)—(7)式。令
表示投资者从第k阶段初的状态s 开始,依次按决策变量
进行投资,到第m阶段末时所得的实际收益值。
因此,投资者的m阶段投资决策,就是在满足条件(1)—(7)的前提下,寻找每个阶段中的投资决策变量,使得这m个阶段投资的总收益 尽可能大。
而由前面对状态变量和决策变量的分析可知,相邻阶段的状态是相关的,因此,可以根据阶段状态变量间的递推关系得出投资者的投资决策目标。
令表示投资者从第k阶段初开始,依次按决策变量进行投资,到第m阶段末时投资者所能获得的最大总收益。
根据决策变量的无后效性及状态变量间的关系可得:
故投资者的投资决策可用一个动态规划表示。该动态规划基本方程为(8)式,约束条件为(7)、(6)、(5)。
通过求解这个动态规划模型,可得到投资者m阶段投资的最优决策。考虑到当投资项目较多时,状态向量维数较高,涉及较大的计算量与存储量,故考虑使用逐次迭代法,求近似解。
所谓逐次迭代法是一种降低状态维数的近似法,其基本思想是,先保持部分状态变量不变,对其余变量实现最优化,然后以迭代方式反复进行这个过程,直到得到某种程度的收敛为止。
参考文献
[1] Natali Hrironenko , Yuri Yatsenko , Optimal equipment replacement without paradoxes:A continuous analysis [J] , ScienceDirect Operations Research Letters 35(2007) 245-250
[2] 汪遐昌,运筹学方法与配套软件[M].西南财经大学出版社,2005.11:2～25
[3] 管梅谷,郑汉鼎.线性规划[M].济南:山东科技出版社,1983:51～57.
作者简介:
屈红文 ,河南工业大学理学院讲师。
关键词:资金分配 动态规划 多阶段问题
DOI:10.3969/j.issn.1672-8289.2010.10.080
1、 引入
设某资产市场中共有n种资产可供投资者进行选择,某一投资者要在该市场中进行m(m>1)阶段的投资,在每一阶段中该投资者都可在这n种资产中选择投资。设该投资者可预测到从开始到第m个投资阶段中各个阶段单位资产投资的平均收益与风险。不妨设,在第j(i=l,…,m)个阶段初购买第j(i=l,…,n)种资产,到该阶段末时的平均收益率为,平均风险损失率为;而且,若第j—l阶段末已持有一部分资产,则在第j(j=2,…,m)个阶段初,可以决定这些资产是继续持有、还是出售,而出售资产所得的资金可用于该阶段的资产购买。根据实际情况,每个阶段中每一种资产的买卖均需按交易的金额交纳一定比例的交易费,不妨假设在第j(j=l,…,m)个阶段中买卖第i(i=1,…,n)种资产的交易费率为。
多阶段资产投资的决策问题就是要求设计该投资者的一种资产投资组合方案,使得在投资总风险低于一定风险上限要求的前提下,到第m个阶段末时该投资者的投资总收益(即m个阶段的投资收益总和)尽可能大。
2、多阶段资产投资决策的动态规划模型
为叙述方便,我们引入以下一些记号:
——第j阶段初,投资者拥有的第i种资产的金额(j=1,…,m ; i = 1 , …,n);
——第j阶段韧,投资者拥有的自由资金的金额(j=1,…,m );
——第j阶段初,投资者对第i种资产的交易金额(j=1,…,m ; i = 1 , …,n);
其中: <0表示投资者出售第i种资产;
>0表示投资者购买第j种资产。
( , ,…, , )表示第j阶段初投资者持有的资产金额和自由资金金额的状态,我们称之为第j阶段初的投资状态变量,简记为“s (j=l,…,m)。
( , ,…, )表示第j阶段投资者的资产投资交易的情况。我们称之为第j阶段的投资决策变量,简记为 (j=1,…,m)。
另记
Q—投资者所能承受的投资风险的上限值;
M—投资开始时,投资者向资产市场投入的自由投资资金量。
下面分析投资决策变量、状态变量间的关系及其所受约束。
1.状态变量
首先,由状态变量的定义和假设l,可得:
=0 (i=l,….n), =M………………………… (1)
其次,由决策变量的定义知,当第j(j=1,…,m)阶段初的投资状态为s时,投资者在该阶段中的投资决策会影响其在该阶段末的投资状态s。具体情况如下:
①投资者对第i(j=1,…,n)种资产的投资 会影响该阶段末时该资产的持有量,即等于 + 。所以,投资者对第i(i=1,…,n)种资产进行投资,到该时期末其所得的收益为 ( + )。因此,该阶段末投资者持有的第i种资产的金额 就为
并且由“不允许卖空”假设可知
②投资者对第i(i=l,…,n)种资产的投资 也会影响该阶段末时的自由资金持有量,即等于所购买的资产金额 与所付的交易费的总和。因此,到该阶段末投资者所持有的自由资金就为
而且,由假设l知,投资者进行投资所消耗的资金额不能超过其总可利用资金的金额,故该阶段末时投资者的自由资金量不能为负值,即
亦即(5)
所以,当投资者在第j(j=1,…,m)阶段的决策变量为 时,投资者在第j阶段初的状态变量s 与第j+1`阶段初(即第j阶段末)的状态变量s必满足(1)—(5)式。
2.决策变量
首先,由假设2知:在第j(j=l,…,m)阶段初,投资者实际出售的资产值不能超过其此时的资产持有量。
即
故有
其次,考虑到投资者在第j(j=1,…,m)阶段中进行投资的总体风险是由其在该阶段末时所持有的总资产产生的。其中,该阶段末投资者对第i(i=1,…,n)种资产的持有量为 + (i=1,…,n),故第j种资产的投资风险就为 ( + )(i=1,…,n)。因此,由假设3知,投资者在第j(j=1,…,m)阶段进行投资的总体风险为:
根据投资风险上限要求,有
注意到上式是非线性的,其可以等价于一个线性约束,形式如下
综上可知,投资考在第j(j=1,…,m)阶段初的投资状态变量为时,其所进行的投资决策必满足(6)—(7)式。令
表示投资者从第k阶段初的状态s 开始,依次按决策变量
进行投资,到第m阶段末时所得的实际收益值。
因此,投资者的m阶段投资决策,就是在满足条件(1)—(7)的前提下,寻找每个阶段中的投资决策变量,使得这m个阶段投资的总收益 尽可能大。
而由前面对状态变量和决策变量的分析可知,相邻阶段的状态是相关的,因此,可以根据阶段状态变量间的递推关系得出投资者的投资决策目标。
令表示投资者从第k阶段初开始,依次按决策变量进行投资,到第m阶段末时投资者所能获得的最大总收益。
根据决策变量的无后效性及状态变量间的关系可得:
故投资者的投资决策可用一个动态规划表示。该动态规划基本方程为(8)式,约束条件为(7)、(6)、(5)。
通过求解这个动态规划模型,可得到投资者m阶段投资的最优决策。考虑到当投资项目较多时,状态向量维数较高,涉及较大的计算量与存储量,故考虑使用逐次迭代法,求近似解。
所谓逐次迭代法是一种降低状态维数的近似法,其基本思想是,先保持部分状态变量不变,对其余变量实现最优化,然后以迭代方式反复进行这个过程,直到得到某种程度的收敛为止。
参考文献
[1] Natali Hrironenko , Yuri Yatsenko , Optimal equipment replacement without paradoxes:A continuous analysis [J] , ScienceDirect Operations Research Letters 35(2007) 245-250
[2] 汪遐昌,运筹学方法与配套软件[M].西南财经大学出版社,2005.11:2～25
[3] 管梅谷,郑汉鼎.线性规划[M].济南:山东科技出版社,1983:51～57.
作者简介:
屈红文 ,河南工业大学理学院讲师。