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高中阶段，数学知识之间有着紧密的联系.对于一些棘手的数学问题，教师可以引导学生，认真地观察题目特征，研究题目特点，展开丰富的联想，跳出常规的思路，创造性地建構恰当的“载体”，从完全不同的角度，分析和解决问题,揭示数学知识之间的内在联系，培养学生的发散思维，在解决问题的过程中发现和感受数学之美.现举例说明：
一、构造向量模型
例1(2009年宿迁第一次调研)已知函数y=3•x+1+2-x，则其最大值是.
分析此题常规方法是采用换元法，即注意到函数中(x+1)+(2-x)=3,先设t=x+1,则2-x=3-t,函数化为y=3•t+3-t(0≤t≤3),令t=3sin2θ0≤θ≤π2,函数转化为y=3sinθ+3cosθ=23sinx+π6≤23.但此过程繁琐，不够简捷.若构造向量做载体，本题可获更优美的解.
解设a=(3,1)，b=(x+1,2-x),则f(x)=a•b,注意到|a|=2,|b|=3，f(x)≤m•n≤|m|ncos〈m，n〉≤|m||n|=23.
例2已知:a,b∈R+,a+b=1.求证:2a+1+2b+1≤22.
分析本题常规的解题方法是分析法，或基本不等式，但都缺乏新意.
证明设m=(1,1),n=(2a+1,2b+1)，则左边=m•n≤|m||n|=22=右边.证毕.
评注建构“向量”的数量积模型,可方便地解决一些函数中的最值问题或不等式证明题.
二、构造线性规划模型
例3（2008年浙江高考17）若a≥0,b≥0,且当x≥0,y≥0，x+y≤1时，恒有ax+by≤1,则以a,b为坐标点P(a,b)所形成的平面区域的面积等于.
分析这是2008年浙江高考第17题，难度较大.多数人将此题定义为恒成立问题，因此采用等价转化的策略解题,但是很难说清楚.换个思路，构造线性规划模型，思维和运算难度会有明显降低.
首先,将原题换一种表达方式：若x,y满足x≥0,
y≥0,
x+y≤1.当a≥0,b≥0恒有ax+by≤1，则以a,b为坐标点P(a,b)所形成的平面区域的面积等于．
解当ｂ＝0时，0≤a≤1.
当0<ｂ≤1时，由题意知：（x,y）在内.
∵b>0∴当x≥0,y≥0，x+y≤1时，恒有ax+by≤1,等价于右图中△ABC内无任何点在直线上方．
令x=0，得y=1b，令y=0,得x=1a.
只需1b≤1,1a≤1.解得0≤a≤1，0<ｂ≤1.
综上：0≤b≤1,0≤a≤1，所以面积为1.
评注含有双变量的一次不等关系，往往隐藏着线性规划模型.
三、构造函数模型
例４若x,y,z∈(0,1),求证:x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)<1.
分析要用不等式的方法证明此题较难.多数情况下，构造边长为1的等边△ABC，利用S△ADF+S△BDE+S△CEF＜S△ABC,即34x(1-z)+34y(1-x)+34z.(1-y)<34证明.其实，仔细观察后会发现x(1-y)+y(1-z)+x(1-x)是关于x的一次函数，因此构造函数解题更方便.
解设f(x)=x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)=(1-y-z)x+y-yz+z-1(0 于是原题等价于f(0)<1且f(x)<1.
f(0)=y-yz+z-1=-(1-z)(1-y)<0(∵y,z∈(0,1))，f(1)=1-y-z+y=yz+z-1=-yz<0,
即有f(x)<0,∴原不等式得证.
四、构造几何图形模型
例6（2009年江苏高考18）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：(x+3)2+(y-1)2=4和圆C2:(x-4)2+(y-5)2=4.
（1）若直线l过点A(4,0)，且被圆C1截得的弦长为23，求直线l的方程；
（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标.
分析第（2）题，若按代数方法求解，运算量很大，因此，出错的概率也较高.本题若另辟蹊径，构造平面几何图形，解题给人对称的美.
解构造以C1,C2为对角线的正方形PC1P′C2，得PC1=PC2.
过点P任作互相垂直的线段PA，PB交圆C1和圆C2于点A，B.当PA，PB过圆心时,弦长都是直径长4.
否则：△PAC1≌△PAC2.所以弦心距C1M1=C2M2.由圆的几何性质知:AC=BD.
设P（x,y），由PC1=PC2，PC1⊥PC2建立方程组，
解得点P坐标为-32,132或52,-12.
评注因为圆其自身是完美的对称图形，故而其代数上的不变量，往往存在几何上的合理性，所以，在解决直线与圆的问题时，建构恰当的平面几何图形，往往会找到解决问题的捷径.
综上可知，数学模型的“构造”是建立在对所掌握的知识深刻理解的基础上的，它需要解题者细致入微地观察、大胆地创造和严密地论证.尽管构造法不是解决问题的唯一途径，并且构造方法也不是唯一的，但它到处闪烁着思维的火花和创造的灵感，揭示着知识之间的本质联系，使我们在解决问题的同时，获得学习的愉悦感和成功的体验.
一、构造向量模型
例1(2009年宿迁第一次调研)已知函数y=3•x+1+2-x，则其最大值是.
分析此题常规方法是采用换元法，即注意到函数中(x+1)+(2-x)=3,先设t=x+1,则2-x=3-t,函数化为y=3•t+3-t(0≤t≤3),令t=3sin2θ0≤θ≤π2,函数转化为y=3sinθ+3cosθ=23sinx+π6≤23.但此过程繁琐，不够简捷.若构造向量做载体，本题可获更优美的解.
解设a=(3,1)，b=(x+1,2-x),则f(x)=a•b,注意到|a|=2,|b|=3，f(x)≤m•n≤|m|ncos〈m，n〉≤|m||n|=23.
例2已知:a,b∈R+,a+b=1.求证:2a+1+2b+1≤22.
分析本题常规的解题方法是分析法，或基本不等式，但都缺乏新意.
证明设m=(1,1),n=(2a+1,2b+1)，则左边=m•n≤|m||n|=22=右边.证毕.
评注建构“向量”的数量积模型,可方便地解决一些函数中的最值问题或不等式证明题.
二、构造线性规划模型
例3（2008年浙江高考17）若a≥0,b≥0,且当x≥0,y≥0，x+y≤1时，恒有ax+by≤1,则以a,b为坐标点P(a,b)所形成的平面区域的面积等于.
分析这是2008年浙江高考第17题，难度较大.多数人将此题定义为恒成立问题，因此采用等价转化的策略解题,但是很难说清楚.换个思路，构造线性规划模型，思维和运算难度会有明显降低.
首先,将原题换一种表达方式：若x,y满足x≥0,
y≥0,
x+y≤1.当a≥0,b≥0恒有ax+by≤1，则以a,b为坐标点P(a,b)所形成的平面区域的面积等于．
解当ｂ＝0时，0≤a≤1.
当0<ｂ≤1时，由题意知：（x,y）在内.
∵b>0∴当x≥0,y≥0，x+y≤1时，恒有ax+by≤1,等价于右图中△ABC内无任何点在直线上方．
令x=0，得y=1b，令y=0,得x=1a.
只需1b≤1,1a≤1.解得0≤a≤1，0<ｂ≤1.
综上：0≤b≤1,0≤a≤1，所以面积为1.
评注含有双变量的一次不等关系，往往隐藏着线性规划模型.
三、构造函数模型
例４若x,y,z∈(0,1),求证:x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)<1.
分析要用不等式的方法证明此题较难.多数情况下，构造边长为1的等边△ABC，利用S△ADF+S△BDE+S△CEF＜S△ABC,即34x(1-z)+34y(1-x)+34z.(1-y)<34证明.其实，仔细观察后会发现x(1-y)+y(1-z)+x(1-x)是关于x的一次函数，因此构造函数解题更方便.
解设f(x)=x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)=(1-y-z)x+y-yz+z-1(0
f(0)=y-yz+z-1=-(1-z)(1-y)<0(∵y,z∈(0,1))，f(1)=1-y-z+y=yz+z-1=-yz<0,
即有f(x)<0,∴原不等式得证.
四、构造几何图形模型
例6（2009年江苏高考18）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：(x+3)2+(y-1)2=4和圆C2:(x-4)2+(y-5)2=4.
（1）若直线l过点A(4,0)，且被圆C1截得的弦长为23，求直线l的方程；
（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标.
分析第（2）题，若按代数方法求解，运算量很大，因此，出错的概率也较高.本题若另辟蹊径，构造平面几何图形，解题给人对称的美.
解构造以C1,C2为对角线的正方形PC1P′C2，得PC1=PC2.
过点P任作互相垂直的线段PA，PB交圆C1和圆C2于点A，B.当PA，PB过圆心时,弦长都是直径长4.
否则：△PAC1≌△PAC2.所以弦心距C1M1=C2M2.由圆的几何性质知:AC=BD.
设P（x,y），由PC1=PC2，PC1⊥PC2建立方程组，
解得点P坐标为-32,132或52,-12.
评注因为圆其自身是完美的对称图形，故而其代数上的不变量，往往存在几何上的合理性，所以，在解决直线与圆的问题时，建构恰当的平面几何图形，往往会找到解决问题的捷径.
综上可知，数学模型的“构造”是建立在对所掌握的知识深刻理解的基础上的，它需要解题者细致入微地观察、大胆地创造和严密地论证.尽管构造法不是解决问题的唯一途径，并且构造方法也不是唯一的，但它到处闪烁着思维的火花和创造的灵感，揭示着知识之间的本质联系，使我们在解决问题的同时，获得学习的愉悦感和成功的体验.