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摘 要：对于笔算教学来说，其程序性、机械性常常引发教师对教学的简单理解。如何让笔算教学走出功利性地掌握“算术”的局限，走向数学能力与素养提升的境界，需要握好“四理”：即认知之心理、法则之算理、应用之情理、多法之原理。多维视角下的“四理”教学，能有效推动儿童对笔算学习的监控、理解和运用。
关键词：四理；心理；算理；情理；原理
所谓笔算，一般指竖式计算。在计算机（器）尚未诞生的时代，以纸笔为计算工具的笔算对数学发展具有重要价值。其程序化处理让人类得以从复杂的计算中解放出来，走进更高层面的思维创造。然而，对于笔算教学来说，其程序性、机械性似乎也引发了教师对教学的简单理解。如何让笔算教学走出功利性地掌握某种“算术”的局限，走向数学能力与素养提升的境界，笔者认为，在教学过程中要握好“四理”：即认知之心理、法则之算理、应用之情理、多法之原理。下面以“笔算两、三位数乘一位数（连续进位）”一课为例做简要分析。
一、认知之心理
笔算两、三位数乘一位数（连续进位）是笔算乘法的一个难点。如果立足学生的视角，联系认知心理学分析，可以发现：每次都要进位，学生头脑中工作记忆的容量陡然增加了。因而该内容的学习在学生那里远没有成人那么容易。或许，这也是苏教版将该内容从二年级调整到三年级的一个重要原因。近几年，在使用修订版教材的过程中笔者发现，虽然该内容后移了一个学段，而且经由不进位乘到不连续进位乘等充分准备后学习，其即时检测和延时检测的效果仍然不理想。
其实，如果进一步研究学生的错误可以发现，学生主要是对其中反复实施的一种两步口算——边乘边加，理不清、算不准，尤其在相加又出现进位时更容易出错。再深究每一步的认知策略和认知负荷可以发现，先要借助乘法口诀直接提取得数，相加时一方面要存储相乘的得数，另一方面还要运算两位数加一位数，这样就需要较大的心理容量作支持；如果这种进位连续发生，后续进位时对记忆容量的要求會更高。
这样看来，要改善这种连续进位乘的教学效果，就需要引导学生对每一步运算进行具体分析，聚焦认知负荷较大的环节，实施有效监控。所以在学生会用竖式计算48×4，372×9等算式后，不能就此收手，应引导学生对计算过程进行反思：连续两次或三次进位时，最有可能在第几次进位时出错？为什么？引导学生关注后续进位，关注关键节点——乘加口算，如图1和图2。对于图2这种连续三次以上进位的，要进一步引导学生比较：在后面的连续两次进位中，哪一次更容易出错？为什么？引导学生聚焦认知负荷最大的一步——边乘边加后又要进位的，从而学会合理分配头脑中有限的认知容量。
二、法则之算理
由于加法在标准化笔算乘法中处于隐藏状态，再加上不少教师在不进位乘和不连续进位乘教学中算理分析的蜻蜓点水和分步算法的快速简化，使得学生对乘法笔算中为什么要有加法的参与并未真正理解，印象也就不太深刻。随着练习量加大，技能自动化，笔算乘法与加法的联系渐趋弱化，最终在某些学生的头脑中必不可少的加法演化成了一种可有可无的操作程序。其实，无论是进位数的忘加或错加，本质上都是对笔算乘法中加法的忽视，是对部分积损失的无视。缺失了算理分析的法则教学，引导学生渐渐走向了盲目追求程序化、自动化的误区，最终丧失了对法则的概念性理解。
修正上述错误，除对关键程序实施针对性监控和强化外，弄清算法程序背后的“理”是一条根本途径。当然，对于已有一定算理基础的两三位数乘一位数连续进位笔算教学，不必花费很多力气刻意介入。不妨结合错例讲评，引导学生自主展开分析过程。如有学生忘记加进位数（如图3），可以通过提问触发对算理的思考：表面上看是第二次相乘以后忘记加进位数3，其实丢失的是第几次相乘的结果？（第一次）丢失了多少？（30）相机将图3展开为图4，进而修正为图5。正本清源的算理分析让乘法笔算中隐蔽的加法得以显现，让进位数与其所在部分积的联系得以展现，更让进位数漏加的严重后果得以震撼呈现。
此外，还有一种错误（如图6），本质上也是算理不清，不理解“16”和“3”的计数单位是相同的，两者本应合并。此类错误不少教师曾尝试让学生通过估算去监控，如估算积大约是多少或者积是几位数，使学生认识到错误。显然，对于这样的错误，如果不从算理上分析，还是不能从根本上得到修正。
三、应用之情理
要改善此类盲目使用笔算的状况，需要教师突破头脑中固有的笔算中心主义，尝试给笔算建立一个开阔的、整体的视野（如图7，美国NCTM1989年《学校数学课程与评价标准》）。把笔算放到一个相对完整的问题解决系统之中，避免为算而算；将笔算定位为解决问题的一种工具，而非唯一工具；想方设法打破笔算“技压群芳”的局面，感悟各种计算方法的价值，促进笔算与口算、用计算器算、估算等方法的有机整合，最终学会依据具体情境合理选择和使用笔算。
由此看来，对于连续进位乘的练习设计来说，应该展现出一种开阔的、多角度的视野。如：面对23×7，6×34，517×8，8×642等，计算前不宜简单地抛给学生，而要引导学生先着眼整体去思考“怎样算，又对又好？”，从而激发算法优选的意识。讲评时让学生明确这里“好”的标准是：能口算的要优先使用口算。
四、多法之原理
其实，对于笔算来说，方法一般不止一种。如今的标准化算法是历经上千年的历史演变而成的。除了标准算法，还有许多曾经被淘汰的替代性算法。这些替代性算法对于数学的发展来说也许已没有太多意义，但对于儿童的数学认知发展来说意义重大。研究表明，儿童精致协调的认知结构的形成都离不开这些相对自然、原始、笨拙的替代性策略的使用。同时，替代性算法的介入，还能打破标准算法“一枝独秀”的局面，引发笔算系统的深层构建，引导学生走进算法研究的更深处，洞悉其中相融共通的数学原理。
教学实践表明，多样化的算法彻底打破了学生对笔算的僵化思考，不少学生甚至能自主创造一些跟上面不同的算法，比如先两边后中间，或者先中间后两边等，并为自己创造的算法找到了可靠的验证方法：只要求出的是9个2、9个70与9个300这三个部分的和，这种算法就是正确的。显然，这种多样化探究引发了学生对内在数学原理——乘法分配律的自然感悟。
总之，笔算教学中，以多维视角把握好认知之心理、法则之算理、应用之情理、多法之原理等，能有效推动儿童对笔算学习的监控、理解和运用，全面提升数学能力与素养。
关键词：四理；心理；算理；情理；原理
所谓笔算，一般指竖式计算。在计算机（器）尚未诞生的时代，以纸笔为计算工具的笔算对数学发展具有重要价值。其程序化处理让人类得以从复杂的计算中解放出来，走进更高层面的思维创造。然而，对于笔算教学来说，其程序性、机械性似乎也引发了教师对教学的简单理解。如何让笔算教学走出功利性地掌握某种“算术”的局限，走向数学能力与素养提升的境界，笔者认为，在教学过程中要握好“四理”：即认知之心理、法则之算理、应用之情理、多法之原理。下面以“笔算两、三位数乘一位数（连续进位）”一课为例做简要分析。
一、认知之心理
笔算两、三位数乘一位数（连续进位）是笔算乘法的一个难点。如果立足学生的视角，联系认知心理学分析，可以发现：每次都要进位，学生头脑中工作记忆的容量陡然增加了。因而该内容的学习在学生那里远没有成人那么容易。或许，这也是苏教版将该内容从二年级调整到三年级的一个重要原因。近几年，在使用修订版教材的过程中笔者发现，虽然该内容后移了一个学段，而且经由不进位乘到不连续进位乘等充分准备后学习，其即时检测和延时检测的效果仍然不理想。
其实，如果进一步研究学生的错误可以发现，学生主要是对其中反复实施的一种两步口算——边乘边加，理不清、算不准，尤其在相加又出现进位时更容易出错。再深究每一步的认知策略和认知负荷可以发现，先要借助乘法口诀直接提取得数，相加时一方面要存储相乘的得数，另一方面还要运算两位数加一位数，这样就需要较大的心理容量作支持；如果这种进位连续发生，后续进位时对记忆容量的要求會更高。
这样看来，要改善这种连续进位乘的教学效果，就需要引导学生对每一步运算进行具体分析，聚焦认知负荷较大的环节，实施有效监控。所以在学生会用竖式计算48×4，372×9等算式后，不能就此收手，应引导学生对计算过程进行反思：连续两次或三次进位时，最有可能在第几次进位时出错？为什么？引导学生关注后续进位，关注关键节点——乘加口算，如图1和图2。对于图2这种连续三次以上进位的，要进一步引导学生比较：在后面的连续两次进位中，哪一次更容易出错？为什么？引导学生聚焦认知负荷最大的一步——边乘边加后又要进位的，从而学会合理分配头脑中有限的认知容量。
二、法则之算理
由于加法在标准化笔算乘法中处于隐藏状态，再加上不少教师在不进位乘和不连续进位乘教学中算理分析的蜻蜓点水和分步算法的快速简化，使得学生对乘法笔算中为什么要有加法的参与并未真正理解，印象也就不太深刻。随着练习量加大，技能自动化，笔算乘法与加法的联系渐趋弱化，最终在某些学生的头脑中必不可少的加法演化成了一种可有可无的操作程序。其实，无论是进位数的忘加或错加，本质上都是对笔算乘法中加法的忽视，是对部分积损失的无视。缺失了算理分析的法则教学，引导学生渐渐走向了盲目追求程序化、自动化的误区，最终丧失了对法则的概念性理解。
修正上述错误，除对关键程序实施针对性监控和强化外，弄清算法程序背后的“理”是一条根本途径。当然，对于已有一定算理基础的两三位数乘一位数连续进位笔算教学，不必花费很多力气刻意介入。不妨结合错例讲评，引导学生自主展开分析过程。如有学生忘记加进位数（如图3），可以通过提问触发对算理的思考：表面上看是第二次相乘以后忘记加进位数3，其实丢失的是第几次相乘的结果？（第一次）丢失了多少？（30）相机将图3展开为图4，进而修正为图5。正本清源的算理分析让乘法笔算中隐蔽的加法得以显现，让进位数与其所在部分积的联系得以展现，更让进位数漏加的严重后果得以震撼呈现。
此外，还有一种错误（如图6），本质上也是算理不清，不理解“16”和“3”的计数单位是相同的，两者本应合并。此类错误不少教师曾尝试让学生通过估算去监控，如估算积大约是多少或者积是几位数，使学生认识到错误。显然，对于这样的错误，如果不从算理上分析，还是不能从根本上得到修正。
三、应用之情理
要改善此类盲目使用笔算的状况，需要教师突破头脑中固有的笔算中心主义，尝试给笔算建立一个开阔的、整体的视野（如图7，美国NCTM1989年《学校数学课程与评价标准》）。把笔算放到一个相对完整的问题解决系统之中，避免为算而算；将笔算定位为解决问题的一种工具，而非唯一工具；想方设法打破笔算“技压群芳”的局面，感悟各种计算方法的价值，促进笔算与口算、用计算器算、估算等方法的有机整合，最终学会依据具体情境合理选择和使用笔算。
由此看来，对于连续进位乘的练习设计来说，应该展现出一种开阔的、多角度的视野。如：面对23×7，6×34，517×8，8×642等，计算前不宜简单地抛给学生，而要引导学生先着眼整体去思考“怎样算，又对又好？”，从而激发算法优选的意识。讲评时让学生明确这里“好”的标准是：能口算的要优先使用口算。
四、多法之原理
其实，对于笔算来说，方法一般不止一种。如今的标准化算法是历经上千年的历史演变而成的。除了标准算法，还有许多曾经被淘汰的替代性算法。这些替代性算法对于数学的发展来说也许已没有太多意义，但对于儿童的数学认知发展来说意义重大。研究表明，儿童精致协调的认知结构的形成都离不开这些相对自然、原始、笨拙的替代性策略的使用。同时，替代性算法的介入，还能打破标准算法“一枝独秀”的局面，引发笔算系统的深层构建，引导学生走进算法研究的更深处，洞悉其中相融共通的数学原理。
教学实践表明，多样化的算法彻底打破了学生对笔算的僵化思考，不少学生甚至能自主创造一些跟上面不同的算法，比如先两边后中间，或者先中间后两边等，并为自己创造的算法找到了可靠的验证方法：只要求出的是9个2、9个70与9个300这三个部分的和，这种算法就是正确的。显然，这种多样化探究引发了学生对内在数学原理——乘法分配律的自然感悟。
总之，笔算教学中，以多维视角把握好认知之心理、法则之算理、应用之情理、多法之原理等，能有效推动儿童对笔算学习的监控、理解和运用，全面提升数学能力与素养。